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2014届高考数学一轮复习教学案数列的概念与简单表示法


第一节

数列的概念与简单表示法

[知识能否忆起] 1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义: ①数列:按照一定顺序排列的一列数. ②数列的项:数列中的每一个数. (2)数列的分类: 分类标准 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项间的 大小关系 递减数列 常数列 满足条件 项数有限 项数无限 an+1>an an

+1<an an+1=an 其中 n∈N*

(3)数列的通项公式: 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 2.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(n≥2)(或前几项) 间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式. [小题能否全取] 2 3 4 5 1.(教材习题改编)数列 1, , , , ?的一个通项公式是 3 5 7 9 n A.an= 2n+1 n C.an= 2n-3 答案:B n B.an= 2n-1 n D.an= 2n+3 ( )

2.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 C.49 B.16 D.64

)

解析:选 A a8=S8-S7=64-49=15. n 3.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则这个数列是( n+1 A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.摆动数列 )

n+1 ?n+1?2-n?n+2? n 1 解析:选 A an+1-an= - = = >0. n+2 n+1 ?n+1??n+2? ?n+1??n+2?
?2·n 1?n为偶数?, ? 3 4.(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是 an = ? 则 a4·3 = a ? ?2n-5?n为奇数?,


________. 解析:a4·3=2×33· a (2×3-5)=54. 答案:54 q 3 5.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+ ,且 a2= , n 2 3 a4= ,则 a8=________. 2

?2p+2=2, 解析:由已知得? q 3 ?4p+4=2,
q 3 1 2 9 则 an= n+ ,故 a8= . 4 n 4 9 答案: 4 1.对数列概念的理解

?p=1, ? 解得? 4 ? ?q=2.

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且 还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的 数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区 别. 2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的特殊函数,数列的 通项公式也就是相应的函数解析式,即 f(n)=an(n∈N*).

由数列的前几项求数列的通项公式

典题导入 [例 1] (2012· 天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,?的通项公式 的是( ) ?-1?n+1 B.an= 2 ?-1?n 1+3 D.an= 2


A.an=1 nπ C.an=2-?sin 2 ? ? ?

nπ [自主解答] 由 an=2-?sin 2 ?可得 a1=1,a2=2, ? ? a3=1,a4=2,?. [答案] C

若本例中数列变为:0,1,0,1,?,则{an}的一个通项公式为________. 答案:
?0?n为奇数?, ? an=? ? ?1?n为偶数?.

?或a =1+?-1? 或a =1+cos nπ? n 2 2 ? n ?

n

由题悟法 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与 n 之间的关系、 规律, 可使用添项、 通分、 分割等办法, 转化为一些常见数列的通项公式来求. 对 于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n
+1

来调整.

2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到 一般”的思想.

以题试法 1.写出下面数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 (3)3,33,333,3 333,?;

3 1 3 1 3 (4)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6 解:(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. 2n-1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?,所以 an= n . 2 9 99 999 9999 (3)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3,而分子分别是 10-1,102- 3 3 3 3 1,103-1,104-1,?. 1 所以 an= (10n-1). 3 (4)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2 -1,偶数项为 2+1, 2+?-1?n 所以 an=(-1)n· ,也可写为 n

?-n,n为正奇数, a =? 3 ?n,n为正偶数.
1
n

由 an 与 Sn 的关系求通项 an

典题导入 [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,根据下列条件分别求它们的通项 an. (1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1. [自主解答] (1)由题可知,当 n=1 时,a1=S1=2×12+3×1=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1. 当 n=1 时,4×1+1=5=a1,故 an=4n+1. (2)当 n=1 时,a1=S1=3+1=4, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n 1+1)=2×3n 1. 当 n=1 时,2×31 1=2≠a1,
? n=1, ?4, 故 an=? n-1 ?2×3 , n≥2. ?
- - -

由题悟法 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用 a1=S1 求出 a1; (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2

时 an 的表达式; (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把 数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写. 以题试法 n 1 2.(2012· 聊城模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= ,则 =( a5 n+1 5 A. 6 1 C. 30 6 B. 5 D.30 )

n-1 n 1 1 1 解析:选 D 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = ,则 a5= = . n n+1 n?n+1? 5×6 30 数列的性质

典题导入 [例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an=n2-21n+20. (1)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值; (2)n 为何值时,该数列的前 n 项和最小? 21 361 21 [自主解答] (1)因为 an=n2-21n+20=?n- 2 ?2- , 可知对称轴方程为 n= =10.5. ? ? 4 2 又因 n∈N*,故 n=10 或 n=11 时,an 有最小值,其最小值为 112-21×11+20=-90. (2)设数列的前 n 项和最小,则有 an≤0,由 n2-21n+20≤0,解得 1≤n≤20,故数列 {an}从第 21 项开始为正数,所以该数列的前 19 或 20 项和最小.

an 在本例条件下,设 bn= ,则 n 为何值时,bn 取得最小值?并求出最小值. n
2 an n -21n+20 20 解:bn= = =n+ -21, n n n

20 20 令 f(x)=x+ -21(x>0), f′(x)=1- 2 , f′(x)=0 解得 x=2 5或 x=-2 5(舍). 则 由 而 x x 20 4<2 5<5,故当 n≤4 时,数列{bn}单调递减;当 n≥5 时,数列{bn}单调递增.而 b4=4+ 4 20 -21=-12,b5=5+ -21=-12,所以当 n=4 或 n=5 时,bn 取得最小值,最小值为- 5 12.

由题悟法

1.数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数 an=f(n),利用求解函数最值的方法 求解,但要注意自变量的取值. 2.前 n 项和最值的求法 (1)先求出数列的前 n 项和 Sn,根据 Sn 的表达式求解最值; (2)根据数列的通项公式,若 am≥0,且 am+1<0,则 Sm 最大;若 am≤0,且 am+1>0,则 Sm 最小,这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法 n 3.(2012· 江西七校联考)数列{an}的通项 an= 2 ,则数列{an}中的最大值是( n +90 A.3 10 1 C. 19 B.19 D. 10 60 )

1 1 1 解析:选 C an= ,由基本不等式得, ≤ ,由于 n∈N*,易知当 n=9 90 90 2 90 n+ n+ n n 1 或 10 时,an= 最大. 19

1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a2 等于( A.4 C.1 B.2 D.-2

)

解析:选 A 由题可知 Sn=2(an-1), 所以 S1=a1=2(a1-1),解得 a1=2. 又 S2=a1+a2=2(a2-1),解得 a2=a1+2=4. 2 4 6 8 2.按数列的排列规律猜想数列 ,- , ,- ,?的第 10 项是( 3 5 7 9 16 A.- 17 20 C.- 21 18 B.- 19 22 D.- 23 )

解析:选 C 所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部 分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式,an=(-1)n
+1

2n , 2n+1

20 故 a10=- . 21 3.数列{an}的前 n 项积为 n2,那么当 n≥2 时,an=( A.2n-1 ?n+1?2 C. n2 B.n2 n2 D. ?n-1?2 )

解析:选 D 设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n2, Tn n2 当 n≥2 时,an= = . Tn-1 ?n-1?2 4.已知数列{an}满足 a1>0, A.递增数列 C.常数列 an+1 1 = ,则数列{an}是( an 2 B.递减数列 D.不确定 )

an+1 1 解析:选 B ∵ = <1.又 a1>0,则 an>0, an 2 ∴an+1<an.∴{an}是递减数列. 5.(2012· 北京高考)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录 的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为( )

A.5 C.9

B.7 D.11

Sn 解析:选 C 依题意 表示图象上的点(n,Sn)与原点连线的斜率,由图象可知,当 n=9 n Sn 时, 最大,故 m=9. n 6.(2013· 江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状.称数列 5,9,14,20,?为“梯形 数”.根据图形的构成,此数列的第 2 012 项与 5 的差,即 a2 012-5=( )

A.2 018×2 012 C.1 009×2 012

B.2 018×2 011 D.1 009×2 011 ?n+6??n-1? ,所以 a2 012-5=1 2

解析:选 D 因为 an-an-1=n+2(n≥2),所以 an=5+

009×2 011. 7.已知数列{an}满足 ast=asat(s,t∈N*),且 a2=2,则 a8=________. 解析:令 s=t=2,则 a4=a2×a2=4, 令 s=2,t=4,则 a8=a2×a4=8. 答案:8 an-1 8.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,且 an= (n≥3),则 a2 012=________. an-2 an-1 a2 1 1 解析:将 a1=1,a2=2 代入 an= 得 a3= =2,同理可得 a4=1,a5= ,a6= ,a7 a1 2 2 an-2 =1,a8=2,故数列{an}是周期数列,周期为 6,故 a2 012=a335×6+2=a2=2. 答案:2 9.已知{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 log2(Sn+1)=n+1,则 an=________. 解析:由已知条件可得 Sn+1=2n 1. 则 Sn=2n 1-1,当 n=1 时,a1=S1=3,
? ?3,n=1, + 当 n≥2 时, n=Sn-Sn-1=2n 1-1-2n+1=2n, a n=1 时不适合 an, an=? n 故 ?2 ,n≥2. ? ?3,n=1, ? 答案:? n ? ?2 ,n≥2.
+ +

10.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). 故从第 7 项起各项都是正数. 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn.求数列{an} 与{bn}的通项公式. 解:∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n, 当 n=1 时,a1=S1=4 也适合, ∴{an}的通项公式是 an=4n(n∈N*). ∵Tn=2-bn, ∴当 n=1 时,b1=2-b1,b1=1.

当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1), ∴2bn=bn-1. 1 ∴数列{bn}是公比为 ,首项为 1 的等比数列. 2 1 - ∴bn=?2?n 1. ? ? 12.(2012· 福州质检)数列{an}中,已知 a1=2,an+1=an+cn(n∈N*,常数 c≠0),且 a1, a2,a3 成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)由题知,a1=2,a2=2+c,a3=2+3c, 因为 a1,a2,a3 成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2,又 c≠0,故 c=2. (2)当 n≥2 时,由 an+1=an+cn 得 a2-a1=c, a3-a2=2c, ? an-an-1=(n-1)c, n?n-1? 以上各式相加,得 an-a1=[1+2+…+(n-1)]c= c, 2 又 a1=2,c=2,故 an=n2-n+2(n≥2), 当 n=1 时,上式也成立, 所以数列{an}的通项公式为 an=n2-n+2(n∈N*).

1.(2013· 嘉兴质检)已知数列{an}满足 a1=1,an+1an=2n(n∈N*),则 a10=( A.64 C.16 B.32 D.8

)

an+2 + 解析:选 B 因为 an+1an=2n,所以 an+1an+2=2n 1,两式相除得 =2.又 a1a2=2,a1 an =1,所以 a2=2, 则 a10 a8 a6 a4 4 · · · =2 ,即 a10=25. a8 a6 a4 a2

2.数列{an}中,Sn 为{an}的前 n 项和,n(an+1-an)=an(n∈N*),且 a3=π,则 tan S4 等 于( ) A.- 3 3 B. 3

C.- 3

D.

3 3

解析:选 B 法一:由 n(an+1-an)=an 得 nan+1=(n+1)an, 4 可得 3a4=4a3,已知 a3=π,则 a4= π. 3 2 又由 2a3=3a2,得 a2= π, 3 π 10 由 a2=2a1,得 a1= ,故 S4=a1+a2+a3+a4= π, 3 3 10 tan S4=tan π= 3. 3 法二:∵由 n(an+1-an)=an, an+1 an 得 nan+1=(n+1)an 即 = , n+1 n an an-1 an-2 a3 π ∴ = = =?= = . n n-1 n-2 3 3 π ∴an= n, 3 π 10 10 ∴S4=a1+a2+a3+a4= (1+2+3+4)= π,tan S4=tan π= 3. 3 3 3 2a2+3an+m n 3. (2012· 甘肃模拟)已知数列{an}中, 1=1, a 且满足递推关系 an+1= (n∈N*). an+1 (1)当 m=1 时,求数列{an}的通项公式 an; (2)当 n∈N*时,数列{an}满足不等式 an+1≥an 恒成立,求 m 的取值范围. 2a2+3an+1 n 解:(1)∵m=1,由 an+1= (n∈N*),得 an+1 ?2an+1??an+1? an+1= =2an+1, an+1 ∴an+1+1=2(an+1), ∴数列{an+1}是以 2 为首项,公比也是 2 的等比数列. 于是 an+1=2·n 1,∴an=2n-1. 2 (2)∵an+1≥an,而 a1=1,知 an≥1, ∴ 2a2+3an+m n ≥an,即 m≥-a2-2an, n an+1


依题意,有 m≥-(an+1)2+1 恒成立. ∵an≥1,∴m≥-22+1=-3,即满足题意的 m 的取值范围是[-3,+∞).

1.下列说法中,正确的是(

)

A.数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列
?n+1? 1 ?的第 k 项为 1+ C.数列? k ? n ?

D.数列 0,2,4,6,8,?可记为{2n}
?n+1? n+1 1 1 ?的通项公式为 an= 解析:选 C ∵数列? =1+ ,∴ak=1+ .故 C 正确;由 n n k ? n ?

数列的定义可知 A、B 均错;D 应记作{2(n-1)}. 1 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为( 2 A.5 9 C. 2 解析:选 B 7 B. 2 13 D. 2 1 1 1 1 a1= -a2= -2,a2=2,a3= -2,a4=2,?,知 a2n=2,a2n-1= -2, 2 2 2 2 )

1 1 7 故 S21=10× +a1=5+ -2= . 2 2 2 3.如图关于星星的图案中,第 n 个图案中星星的个数为 an,则数列{an}的一个通项公 式是( )

A.an=n2-n+1 n?n+1? C.an= 2

n?n-1? B.an= 2 n?n+2? D.an= 2

解析:选 C 从图中可观察星星的构成规律,n=1 时,有 1 个;n=2 时,有 3 个;n =3 时,有 6 个;n=4 时,有 10 个,? 故 an=1+2+3+4+?+n= n?n+1? . 2

an 4.已知数列{an}中,a1=3,an+1= ,则其通项公式为________. 2an+1 2an+1 1 1 1 1 ?1? 1 解析:两边取倒数,得 = =2+ ,故有 - =2.故数列?a ?是首项为 = an an a1 ? n? an+1 an+1 an 6n-5 1 1 1 3 ,公差为 2 的等差数列,所以 = +2(n-1)= ,故 an= . 3 an 3 3 6n-5 答案: 3 6n-5

5.已知数列{an}满足:a1=1,(n-1)an=n×2nan-1(n∈N,n≥2),则数列{an}的通项公 式为________. an-1 n-1 n-1 an-2 an n 解析:当 n≥2,有(n-1)an=n×2nan-1,故 = ×2n,则有 = ×2 , an-1 n-1 an-2 n-2 an-3 = n n-2 a2 2 an n ?n-1×2n-1? - ×2n 2 ,?, = ×22.上述 n-1 个式子累乘,得 = ?n-1×2 ? × ? ? a1 1 a1 ? ? ?n-2 n-3 ?

×?

?n-2×2n-2?×?×?2×22?=n×2n+(n-1)+(n-2)+?+2=n×2?n-1??n+2?.又因为 a =1,所以 ? 1 ?1 ? 2 ?n-3 ?

?n-1??n+2? an=n×2 ,而当 n=1 时,a1=1×20=1,也满足上式,故数列{an}的通项公式 2 ?n-1??n+2? 为 an=n×2 . 2 ?n-1??n+2? 答案:an=n×2 2


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