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2015年哈三中二模数学(理)

时间:2015-04-19


2015 年哈三中二模拟考试数学(理)

1

2

3

4

5

2015 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学(理工)答案
一、选择题 1-5 BADBC 6-10 CCDDA (14)72 (15) 11-12 AB


二、填空题(13) 39

32 (16) 2 3 3

17. (Ⅰ) 由 a sin B ? 3a cos B ? 3c , 得s n i As n i B ? 3s n i Ac o s B ? 3s n i C ??2分

sin Asin B ? 3 sin A cos B ? 3 sin(A ? B), sin Asin B ? 3 cos Asin B??4分
tan A ? 3 , A ?
2 2 2

? ?? 6分 3
2

(Ⅱ) a ? b ? c ? 2bc cos A ? 7b ??8分

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ?? ??10分 2ab 2 7

sin C ?

3 3 2 7

, tanC ? ?3 3 ??12分

18. (Ⅰ)由题知, a ? 0.25 ,设该群中某成员抢到钱数不小于 3 元为事件 A,则

P( A) ? 0.25 ? 0.1 ? 0.35 .

………………………………4 分

(Ⅱ)(2) 由直方图知,抢到钱数在 2 元以下的共 15 人,其中 1 元以下的有 3 人. 所以 X 可能取值为 0,1,2,3,
1 2 3 C12 220 C3 C12 198 , P( X ? 1) ? , P( X ? 0) ? 3 ? ? 3 C15 455 C15 455 1 3 C3 C32C12 1 36 ,……………8 分 P ( X ? 3 ) ? ? ? 3 3 C15 455 C15 455

P( X ? 2) ?

所以 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

220 455

198 455

36 455

1 455

…………10 分 所以 X 的期望为 E ( X ) ? 0 ?

220 198 36 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? ……………12 分 455 455 455 455 5

19.(Ⅰ)连结 B1C ,交 BC1 于点 M ,则 M 为 BC1 中点,又 D 为 AC 中点, 故 MD ∥ AB1 ,又因为 AB1 ? 平面BDC1 , MD ? 平面BDC1 ,所以 AB1 ∥面 BDC1 .-4 分

6

(Ⅱ)以 C1 为原点,如图建立空间直角坐标系. 设 AA 1 ? a ,则

A(2, a,0), B1 (0,0,2) , D(1, a,0), A1 (2,0,0) , B1 A ? (2, a,?2) , DA ? (1,0,0) , B1 D ? (1, a,?2) ,

A1 B1 ? (?2,0,2) ,
设 平 面 AB1D 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 则 ?

? ?m ? B1 A ? 0 ,得 ? m ? DA ? 0 ?

m ? (0,2, a) ,

------5 分 ------6 分

同理得平面 A1 B1 D 的法向量为 n ? (a,1, a) ,

cos 45? ? cos m, n ,得 a ? 2 .

---------8 分

AC1 ? (?2,?2,0) , m ? (0,2,2) ,设直线 AC1 与平面 AB1 D 所成角为 ? ,则
sin ? ? cos AC 1 , m ? 1 , ? ? 30? . --------12 分 2

x2 y2 ? ? 1 ----------4 分 20. (1) 6 2

(2) M ( x1 , y1 ) N ( x 2 , y 2 )
4 6 ? x ? my? 2 OM ? ON sin ? ? cos? ? 2 2 2 2 ? (m ? 3) y ? 4m y ? 2 ? 0 3 y ?x ? ?1 ? 2 ?6

当? ? 90? , x1 x2 ? y1 y2 ? 0

,

(m 2 ? 1) y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0, (m 2 ? 1)

?2 4m ? 2m 2 ?4?0 2 m ?3 m ?3

m??

15 ----------7 分 3
?

当 ? ? 90 , OM ? ON sin ? ?

4 6 4 6 cos? , | OM || ON | sin ? ? 3 3

S?

8 4m 2 2 8 1 2 6 ) ?4 2 ? | OM || ON | sin ? ? ? y1 ? y 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? ( 2 3 m ?3 m ?3 3 2 3 ,

m ? ? 3, m ? 0 ,综上所述, m ? ? 3, m ? 0 , m ? ?

15 3

---------12 分

7

5 x ?1 9 2 21.(Ⅰ)当 a ? 时, f ?( x ) ? 2 x( x ? 1) 2 ,………………………………2 分 x2 ?
单调区间为 ? 0, ? 和 ?2,??? 为增函数; ? ,2 ? 上为减函数…………………4 分

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

(Ⅱ)由 f ?( x) ?

x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,要使 f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数 x( x ? 1) 2

只需 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 在 (0,??) 恒大于等于 0,得 a ?

x 2 ? 2x ? 1 恒成立, x



x 2 ? 2x ? 1 1 ? x ? ? 2 ? 4 ,得实数 a 的取值范围为 (??,4] ;……………8 分 x x

2 先考察当 a ? 4 时方程 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的解的个数

由 f ( x) ? ln x ?

4 4 ? 2, 在 (0,??) 上为增函数,且 f (1) ? ln 1 ? x ?1 1?1

2 2 而 x ? 2 x ? 3 也当 x ? 1 时得 2 ,且函数 y ? x ? 2x ? 3 在 (0,1) 上递减,

4 ? x 2 ? 2 x ? 3 在 (0,1] 上有且只有一个解 x ? 1 ……………9 分 x ?1 4 ? x 2 ? 2 x ? 3 在 (1,??) 上无解 下面证明方程 ln x ? x ?1
所以方程 ln x ? 易证 ln x ? x ? 1 在 (1,??) 上恒成立
2 只需证明 x ? 2 x ? 3 ?

4 ? x ? 1 在 (1,??) 上恒成立即可, x ?1

2 记 F ( x) ? x ? 3x ? 4 ?

4 4 ,得 F ?( x) ? 2 x ? 3 ? , x ?1 ?x ? 1?2
,得 G ?( x) ? 2 ?

再记 G( x) ? 2 x ?

?x ? 1?

4

2

?x ? 1?3

8

? 0 在 (1,??) 上恒成立

所以 G ( x ) 在 (1,??) 上增,而 G(1) ? 3 ,所以 F ?( x ) 在 (1,??) 上恒正,
2 所以 F ( x ) 在 (1,??) 上增,而 F (1) ? 0 ,所以 x ? 2 x ? 3 ?

4 ? x ? 1 在 (1,??) 上成立 x ?1

a ? x 2 ? 2 x ? 3 只有一个解……………10 分 x ?1 a 4 ? ln x ? 而当 a ? 4 时, ln x ? , x ?1 x ?1
综上:当 a ? 4 时,方程 ln x ?
8

4 ? x 2 ? 2 x ? 3 ,所以 a ? 4 时方程无解……………12 分 x ?1 DC DB , 2 22. (Ⅰ) 由 ?ACD ? ?DBC , 得 ?D ? B C ∽ ?DCE ??3分 DC ? DE ? DB??5分 DE DC
且由上知 ln x ? (Ⅱ)设 OD ? AC ? M OM ? CM
2 2

? r 2 MD2 ? CM 2 ? CD 2 ??8分

r 2 ? 1 ? (r ? 1) 2 ? 12, r ? 3??10分
23. (Ⅰ)由已知 M : y ? x 2 ? 1, x ? ? 2, 2 ; N : x ? y ? t ???2分 联立方程有一个解,可得 ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1或 t ? ? 5 ???5分 4 (Ⅱ)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 ( x , x 2 ? 1) , x ? 2 ,则 0 0 0
2 x0 ? x0 ? 1

?

?

d?

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ?3 2, ? 8 2

当 x0 ? ?

1 3 2 时取等号,满足 x0 ? 2 ,所以所求的最小距离为 ???10分 2 8

24. (Ⅰ) a ? ?2 ,原不等式 ? 2x ? 2 ? x ? 1??1分

x ? 1时 2x ? 2 ? x ? 1 ? 2x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 3 ??3分
x ? 1时 2 x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? 2 x ? x ? 1 ? x ? 1 3

综上原不等式的解集为 ? ,3? ??5分 3 (Ⅱ) f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? a ? x ? x ? 3 ?? 7分

?1 ? ? ?

2x ? a ? x ? x ? 3 ? 2x ? a ? 3 ?

?3?a 3? a ?x? 2 2

?3?a 3?a ? 1且 ? 2 ? ?5 ? a ? ?1 ??10分 2 2

9


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