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知能巩固提升(十五) 课后巩固作业(十五) 2.3.1

时间:2014-05-24


圆学子梦想 铸金字品牌

温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

知能巩固提升(十五)/课后巩固作业(十五)
(时间:30 分钟 满分:50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2012·抚州高二检测)已知η =2ξ +3,且 E(?) ? ,则 E(η )=( (A)
3 5 3 5

)

(B)

6 5

(C)

21 5

(D)

12 5

2.某计算机网络有 n 个终端,每个终端在一天中使用的概率为 p,则这个网络在 一天中平均使用的终端个数为( (A)np(1-p) (B)np
1 2

) (D)p(1-p) )

(C)n
1 3

3.已知 ?~B(n, ) , ?~B(n, ) ,且 E(ξ )=15,则 E(η )等于( (A)5 (B)10 (C)15 (D)20

4.(2012·天津高二检测)已知随机变量 X 和 Y,其中 Y=12X+7,且 E(Y)=34, 若 X 的分布列如下表,则 m 的值为( X P (A)
1 3

) 2 m 3 n 4
1 12

1
1 4 1 4

(B)

(C)

1 6

(D)

1 8

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(易错题)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ 的分布列如下表: X P 1 ?
-1-

2 !

3 ?

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请小牛同学计算ξ 的数学期望,尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字 迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ )=______. 6.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随 机变量ξ 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E(ξ )=______(结果用 最简分数表示). 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.某寻呼台共有客户 3 000 人,若寻呼台准备了 100 份小礼品,邀请客户在指 定时间来领取,假设任一客户去领奖的概率为 4%.问:寻呼台能否向每一位顾客 都发出领奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少份 礼品? 8.(2012·浙江高考)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白 球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会 均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X). 【挑战能力】 (10 分)在灯谜晚会上,一猜谜者需猜两道谜语(M1 和 M2),猜谜者可自由选择猜 的顺序,若他先猜一道,则只有当他猜对时才可以继续猜另一道,若猜错则不 允许猜另一道.假设他猜对 M1 或 M2 这两件事是相互独立的. (1)若他猜对 M1 的概率为 ,猜对 M2 的概率为 ,而猜对 M1 可得奖金 180 元,猜 对 M2 可得奖金 90 元,问他应先猜哪道谜语可使他获得奖金的期望值最大?
-2-

1 3

2 3

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(2)若他猜对 Mi 的概率为 pi,猜对 Mi 可得 Vi 元(i=1,2),问他应先猜哪道谜语可 使他获得奖金的期望值最大?

答案解析
1.【解析】选 C. E(?) ? E(2? ? 3) ? 2E( ?) ? 3 ? 2 ? ? 3 ?
3 5 21 . 5

2.【解析】选 B.每天平均使用的终端个数 X~B(n,p),每天平均使用的终端个 数值即 E(X)=np.
15 ,∴n=30, 3.【解析】选 B. E(?)= n= 1 2

∴ ?~B(30, ) ,∴ E(?)=30 ? =10 . 4.【解题指南】利用分布列的性质及数学期望的定义及性质求解. 【解析】选 A.由 Y=12X+7,则 E(Y)=12E(X)+7=34,从而 E ? X ?= , ∴ E ? X ?=1? +2 ? m+3 ? n+4 ?
1 4 1 9 1 1 1 = ,又 m+n+ + = 1 ,联立求解得 m= . 12 4 12 4 3 9 4

1 3

1 3

5.【解析】设“?”处的数值为 x,则“! ”处的数值为 1-2x,则 E(ξ)=1〃x +2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 答案:2 【变式训练】一离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1

且 E(X)=1.5,则 a-b=____. 【解析】∵ ?
?a ? b ? 0.8, ?a ? 0.4, ∴? ?a ? 2b ? 0.3 ? 1.5, ?b ? 0.4,
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∴a-b=0. 答案:0 6.【解析】由题意知,ξ的可能取值为 0,1,2,则
P(?=0)=
2 1 C5 C1 C2 10 10 1 5 C2 2 ? , P( ? = 1) = ? , P( ? = 2) = ? . 2 2 2 C7 21 C7 21 C7 21

∴ξ的分布列为 ξ P 0 1 2
1 21

10 10 21 21 10 10 1 12 4 ∴ξ的数学期望 E(?)=0 ? +1? +2 ? = = . 21 21 21 21 7 4 答案: 7

7.【解析】设来领奖的人数ξ=k(k=0,1,2,…,3 000),
k k 所以 P(?=k)=C3 000 0.04 ?1 ? 0.04 ? 3 000 ? k



可见ξ~B(3 000,0.04), 所以 E(ξ)=3 000×0.04=120(人)>100(人). 所以寻呼台不能向每一位顾客都发出领奖邀请,寻呼台至少应准备 120 份礼品, 才能使每一位领奖人都得到礼品. 8.【解题指南】主要考查古典概型及离散型随机变量的分布列、数学期望的概 念,同时考查抽象概括能力与运算求解能力. 【解析】(1)X=3,4,5,6,
C3 5 5 P ? X ? 3? ? 3 ? , C9 42 P ? X ? 4? ?
2 1 C5 C4 10 ? , C3 21 9

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2 C1 5 5 C4 ? , 3 C9 14

P ? X ? 5? ?

C3 1 4 P ? X ? 6? ? 3 ? , C9 21

所以 X 的分布列为: X P 3 4 5
5 14

6
1 21

5 10 42 21 15 ? 80 ? 75 ? 12 91 ? . (2)X 的数学期望 E ? X ? ? 42 21

【挑战能力】 【解析】(1)若他先猜 M1,设他所得奖金为ξ1,则ξ1 取值可能为 0,180,270, 其分布列为 ξ1 P 0 180
1 1 ? 3 3

270
1 2 ? 3 3

2 3 1 1 1 2 于是 E(?1 ) ? 180 ? ? ? 270 ? ? ? 80 ; 3 3 3 3

若他先猜 M2,设他所得奖金为ξ2,则ξ2 取值可能为 0,90,270,其分布列为 ξ2 P
2 2 3 3 2 1 3 3

0
1 3

90
2 2 ? 3 3

270
2 1 ? 3 3

于是 E(?2 )=90 ? ? ? 270 ? ? ? 100 ; 由于 E(ξ1)<E(ξ2),先猜 M2 可使他获得奖金的期望值最大. (2)设先猜 M1 所得奖金为ξ,则ξ取值可能为 0,V1,V1+V2,其分布列为 ξ P 0 1-p1 V1 p1(1-p2) V1+V2 p 1p 2

于是 E(?)=Vp 1 1 ?1 ? p2 ? ? ? V 1 ?V 2 ? p1p2 ;
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设先猜 M2 所得奖金为η,则η取值可能为 0,V2,V1+V2,其分布列为

η P

0

V2 p2(1-p1)

V1+V2 p 1p 2

?1? p2 ?

于是 E(η)=V2p2(1-p1)+(V1+V2)p1p2. 为比较 E(ξ)与 E(η)的大小,只需比较 V1p1(1-p2)与 V2p2(1-p1)的大小. 当 V1p1(1-p2)>V2p2(1-p1)时,E(ξ)>E(η),此时应先猜 M1; 当 V1p1(1-p2)=V2p2(1-p1)时,E(ξ)=E(η),此时先猜哪一道都一样; 当 V1p1(1-p2)<V2p2(1-p1)时,E(ξ)<E(η),此时应先猜 M2.

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