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江苏省淮安中学2011-2012学年高二数学上学期期末考试试题

时间:2012-04-02


2011江苏省淮安中学 2011-2012 学年高二上学期期末考试数学试题
填空题: 填空题 (每题 5 分,共 70 分)
1、若平面 α //平面 β ,平面 α ∩ 平面 γ =直线 m ,平面 β ∩ 平面 γ =直线 n ,则 m 与 n 的位 置关系是 2、抛物线 x = 4 y 的焦点坐标是
2

3、命题“ ? x

∈ R , x + x + 1 ≤ 0 ”的否定是
2

4、过点 A(2,6),且垂直于直线 x-y-2=0 的直线方程为 5、两条平行直线 5 x ? 12 y ? 2 = 0 与 5 x ? 12 y + 24 = 0 之间的距离等于 6、曲线 y = 2e x 在 x=0 处的切线方程是 7、用长、宽分别是 3π 与 π 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱底面的半径为_ 8、函数 y = x ?

x ( x ≥0)的单调减区间为

9、与双曲线

5 x2 y2 ? = 1 有公共渐近线,且一条准线方程为 x = 的双曲线方程为 5 3 2
__

10、函数 y = 3 x ? x 3 , x ∈ [0 , 3] 的值域是__

11、若圆 x 2 + y 2 = t 2 与圆 x 2 + y 2 + 6 x ? 8 y + 24 = 0 外切,则正数 t 的值是 12、已知平面内两点 A(?4,1) , B ( ?3,?1) ,直线 y = kx + 2 与线段 AB 恒有公共点,则实数 k 的取值范围是

13、如图,已知 F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y2 + = 1 (m > n > 0) 的左、右 m2 n2

焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x 2 + y 2 = n 2 相切于点

Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为

.

14、设 a > 0 ,函数 f ( x ) = x +

a , g ( x) = x ? ln x ,若对任意的 x1 , x2 ∈ [1, e] ,都有 x

f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,则 a 的取值范围为
-1-

用心

爱心

专心

(14 二、解答题: 分+14 分+14 分+16 分+16 分+16 分,共 90 分) 解答题: 15、 (本小题满分 14 分) 已知 p : ?7 ≤ x ≤ 9 , q : 1 ? m ≤ x ≤ 1 + m( m > 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求 m 的取 值范围。

16、 (本小题满分 14 分) 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 的中点. (1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ⊥ 平面 BDD1 ; (3)求三棱锥 D—PAC 的体积。 DD1

17、 (本小题满分 14 分) (1)求椭圆 C 的方 已知椭圆 C 的中心 O 在原点,长轴在 x 轴上,焦距为 6 ,短轴长为 8, 程; (2)过点 ( ?5,0) 作倾斜角为

π
4

的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,求 ?ABO 的面积。

18、 (本小题满分 16 分) 某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已知 AB=AC=18km,现计 划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y , (1)设
∠PBO = α ,把 y 表示成 α 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和

最小?

用心

爱心

专心

-2-

19、 (本小题满分 16 分) 已知圆 M 的方程为 x 2 + ( y ? 2)2 = 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y = 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点作 圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ∠APB = 60o ,试求点 P 的坐标; (2) P 点的坐标为 (2,1) , P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点, CD = 若 过 当
ks.5u

2 时, 求直线 CD

的方程; (3)经过 A, P, M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不 经过,请说明理由。

20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = x ? ax ? bx + a , x ∈ R , a , b 为常数。
3 2 2

(1)若函数 f ( x ) 在 x =1 处有极值 10,求实数 a , b 的值; (2)若 a =0,(I)方程 f ( x ) =2 在 x ∈[-4,4]上恰有 3 个不相等的实数解,求实数 b 的取 值范围;(II)不等式 f ( x ) +2 b ≥0 对 ? x ∈[1,4]恒成立,求实数 b 的取值范围。

用心

爱心

专心

-3-

高二数学期末考试试卷答案
一、填空题

11、4 二、解答题

12、 [ ,1]

1 4

13、

5 3

14、 [e ? 2 , + ∞)

15、解:Q p ? q

?1 ? m ≤ ?7 ∴? ?1 + m ≥ 9
p
∴m ≠ 8

(10 分)

∴m ≥ 8

(12 分)

又q

(13 分)

故 m ∈ (8,+∞) (14 分)

(3) 由于 PD ⊥ 平面 ADC, (12 分) 所以 V D ? PAC = VP-ADC = (14 分) 17、解: (1)设椭圆方程为:

1 1 S ?ADC ? PD = 3 6

x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,由题意得: c = 3, b = 4, a = 5 a 2 b2

所以椭圆 C 方程为

x2 y2 + = 1 (7 分) 25 16

?y = x + 5 ? (2)不妨设 A(-5,0) ,直线 AB 方程为: y = x + 5 ,由 ? x 2 y2 + =1 ? ? 25 16 45 ? ? x = ? 41 1 1 160 400 ? 得? (11 分) 所以 S ?OAB = OA? | y B |= × 5 × = 2 2 41 41 ? y = 160 ? ? 41
用心 爱心 专心

(14 分)

-4-

说明:用根与系数关系和弦长公式去做,同样给分。 18、解: (1)由等腰直角三角形 ABC 中 AB=AC=18km 得: OB =OA= 9 2 km, 又 ∠ABC = π ,所以 0 ≤ α ≤ π . ……2 分 4 4 所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为

y = 2 PB + PA = 2 ×

9 2 2 ? sin α + (9 2 ? 9 2 tan α ) = 9 2 + 9 2 × (7 分) cos α cos α
2 ? sin α . cos α
(0 ≤α ≤ π ) 4 (8 分)

故所求函数关系式为 y = 9 2 + 9 2 ×

答:变电站建于距 O 点 3 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小.

(16 分)

19、 (1) P (2m, m) , 解: 设 由题可知 MP = 2 , 所以 (2m) 2 + ( m ? 2) 2 = 4 , 解之得: = 0, m = m 故所求点 P 的坐标为 P (0, 0) 或 P ( , ) .( 5 分)

4 , 5

8 4 5 5

(2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 = k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离



2 2 ?2 k ? 1 ,所以 = ,( 7 分) 2 2 1+ k 2

解得, k = ?1 或 k = ?

1 , 7

ks.5u

故所求直线 CD 的方程为: x + y ? 3 = 0 或 x + 7 y ? 9 = 0 .( 10 分) (3)设 P (2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

m + 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P, M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) + ( y ?
2

m m ? 1) 2 = m 2 + ( ? 1) 2 2 2

(12 分)

化简得: x 2 + y 2 ? 2 y ? m( 2 x + y ? 2) = 0 ,此式是关于 m 的恒等式,故

用心

爱心

专心

-5-

(14 分)

4 ? ?x = 5 ?x = 0 ? 解得 ? 或? ? y = 2 ?y = 2 ? 5 ?
4 2 5 5
(16 分)

所以经过 A, P, M 三点的圆必过异于点 M 的定点 ( , )

(2)(I)由 f(x)=2,得 f(x)-2=0,令 g(x)=f(x)-2=x3-bx-2,则方程 g(x)=0 在 x∈[-4,4] 上恰有 3 个不相等的实数解。 ∵g’(x)=3x2-b, (ⅰ)若 b≤0,则 g’(x)≥0 恒成立,且函数 g(x)不为常函数,∴g(x)在区间[-4,4]上为 增函数,不合题意,舍去。 (6 分) (ⅱ)若 b>0,则函数 g(x)在区间(-∞,- b 3)上为增函数,在区间(- b 3, b 3)上

为减函数,在区间(

b 3,+∞)上为增函数,由方程 g(x)=0 在 x∈[-4,4]上恰有 3 个不

? g ( ? 4) ≤ 0 ? ? g (? b ) > 0 ? 3 相等的实数解,可得 ? (9 分) ?g( b ) < 0 ? 3 ? ? g ( 4) ≥ 0
33 ? ?b ≤ 2 ? ?b > 3 解得 ? ?b > 0 ? 31 ?b ≤ ? 2

∴b∈ (3,

31 ] 2

( 10 分 )

(II)法一:由不等式 f(x)+2b≥0,得 x3-bx+2b≥0,即(x-2)b≤x3, (ⅰ)若 x-2=0 即 x=2 时,b∈R; (11 分) x3 x3 (ⅱ)若 x-2<0 即 x∈ [1, 2) 时,b≥ 在区间 [1, 2) 上恒成立,令 h(x)= ,则 b x-2 x-2 2x2(x-3) ≥h(x)max。∵h’(x)= ,∴h’(x)<0 在 x∈ [1, 2) 上恒成立,所以 h(x)在区间 [1, 2) 上 (x-2)2 是减函数,∴h(x)max=h(1)=-1,∴b≥-1。
3

(13 分)

x (ⅲ)若 x-2>0 即 x∈ (2, 4] 时,b≤ 在区间 (2, 4] 上恒成立,则 b≤h(x)min。 x-2 由(ⅱ)可知,函数 h(x)在区间 (2,3) 上是减函数,在区间 (3, 4] 上是增函数,
用心 爱心 专心 -6-

∴h(x)min=h(3)=27,∴b≤27 (15 分) 综上所述,b∈[-1,27] (16 分) 法二: f ( x ) + 2b ≥ 0 (11 分) 当 b ≤ 0 时, T / ( x) = 3 x 2 ? b ≥ 0 , T (x ) 在[1,4]上为增函数, T ( x) min = T (1) = 1 + b , 所以 1 + b ≥ 0 ,

x 3 ? bx + 2b ≥ 0

设 T ( x) = x 3 ? bx + 2b

T / ( x) = 3x 2 ? b

?1 ≤ b ≤ 0

(12 分) b 3)上为增函数,在区间(- b 3, b 3)上为减函数,

当 b > 0 时,T (x ) 在区间(-∞,- 在区间( b 3,+∞)上为增函数,



b ≤ 1 ,即 0 < b ≤ 3 时, T (x) 在[1,4]上为增函数, T ( x) min = T (1) = 1 + b 3
0<b≤3
(13 分)

所以 1 + b ≥ 0 , 若1 <

b b b < 4 时, 3 < b < 48 时, T (x) 在 [1, ] 上为减函数,在 [ ,4] 上为增函数, 3 3 3 b ) ≥ 0 , 得 3 < b ≤ 27 3

所以 T ( x) min = T (

(14 分)



b ≥ 4 时,即 b ≥ 48 时, T (x) 在[1,4]上为减函数, T ( x) min = T (4) = 64 ? 2b ≥ 0 , 3

得 b ≤ 32 ,舍去。 (15 分) 故 b 的取值范围是 [?1 , 27] (16 分)

用心

爱心

专心

-7-


江苏省淮安中学2011-2012学年高二上学期期末考试语文试题

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