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平面向量的坐标运算及共线坐标表示(用)


2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示

复习回顾

平面向量基本定理:
如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线 的向量,那么对于这一平面内的任一向 量 a ,有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得
a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2

向量的基底

: 不共线的平面向量 e1 , e 2 叫做这一平 面内所有向量的一组基底.

平面向量的坐标表示
?? 如图, i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 ?? 的单位向量,若以 i, j 为基底,则

y
a
C

D

A ? 对于该平面内的任一向量 a , j o i B 有且只有一对实数x、y,可使 ? ? ? a ? x i +y j
这里,我们把(x,y)叫做向量 a的(直角)坐标,记作

x

? a ? ( x, y )



其中,x叫做 a 在x轴上的坐标,y叫做 a 在y轴上的坐标, ①式叫做向量的坐标表示。

探究:

平面向量可以用坐标表示,向量 的运算可以用坐标来运算吗? 如何计算? (1)已知a =(x1 , y1),b = (x2 , y2) , 求a + b , a – b . (2)已知a =(x1 , y1)和实数 ? , 求 a 的坐标 . ?

向量的坐标运算
a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 则:? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? a ? (?x1 , ?y1 )

说明: 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的

相应坐标的和与差;
数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应 坐标的积。

? ? 练习,已知a ? (2,1), b ? (?3, 4), ? ? ? ? ? ? 求a ? b, a ? b,3a ? 4b的坐标。
? ? 解:? b ? (2,1) ? (?3, 4) ? ? 1, a ( 5) ? ? a ? b ? (2,1) ? (?3, 4) ? 5, 3) ( ? ? ? 3a ? 4b ? 3(2,1) ? 4(?3, 4) ? ? 6, ) ( 19

???? 例1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),求向量 AB
标. ???? ??? ??? ? ? 解: AB ? OB ? OA

的坐

=(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1)。 说明:一个向量的坐标等于向量终点的坐 标减去始点的坐标。

例2.在直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段AB中点的坐标。 解:设M(x,y)是线段AB的中点,则
???? 1 ??? ??? ? ? ? OM ? (OA ? OB) 2

例3得到的公式,

1 ( x, y) ? [( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 )] 叫做线段中点的 2 坐标公式,简称

x1 ? x2 y1 ? y2 x? ,y? 2 2

中点公式。

例3.已知□ABCD的三个顶点A(-2, 1)、B(-1,

3)、C(3, 4),求顶点D的坐标。
???? ??? ???? ??? ???? ? ? 解:OD ? OA ? AD ? OA ? BC ??? ???? ??? ? ? ? OA ? OC ? OB

C(3,4) y

=(-2,1)+(3,4) -(-1,3) A(-1,3) =(2, 2) 所以D点的坐标是(2, 2).
A(-2,1)

D(x,y)

1
O

1

x

练习1. 设向量a=(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a- c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则 向量d为 .

解: 4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0, 所以d=-6a-4b+4c=(-2, -6).

2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量
? v ? (4, ?3) ,设起始P(-10,10), 则5秒钟后点

P的坐标为(

).

解:5秒种后,P点坐标为 (-10, 10)+5(4, -3)=(10, -5).

3.设A(2, 3),B(5, 4),C(7, 10) 满足

??? ??? ? ? ???? AP ? AB ? ? AC

(1) λ为何值时,点P在直线y=x上?

(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y),则 (2) 由已知

(x-2, y-3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
所以x=5λ+5,y=7λ+4.
1 解得λ = 2

所以λ<-1.

? ? 1. 向量 a 与非零向量 b 平行(共线)的等价条件是有且 ? ? 只有一个实数 ? , 使得a ? ?b
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论? 设 即

? ? ? ? a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 ?

? x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a ? ?b 得 x1 y2 ? x2 y1 ? 0
? ? ? ? a // b (b ? 0) 的等价条件是

这就是说:

x1 y2 ? x2 y1 ? 0

平面向量共线的坐标表示

a=(x 3、 1 ,y1), , b=(x2 ,y2) 其中a ≠ 0
→ →







→ →

→ a∥ b ? 有且只有一个实数λ,使得 b=λ a

即:(x2 , y2) =λ(x1 , y1) =(λx1 , λy1)

所以

?

x2=λx1 y2=λy1

消去λ得: x1y2- x2 y1=0

? ? x1y2- x2 y1=0 a∥ b ( a ? 0) → → b=(x2 ,y2) 其中 a=(x1 ,y1),
→ →

向量共线的充要条件的两种表示形式: ? ? ? ? (1) a ? b(a ? 0)

?
(2)


有且只有一个实数λ,使得 b=λ a





a=(x1 ,y1), b=(x2 ,y2)



? ? ? ? a ? b(a ? 0)

x1y2- x2 y1=0

典型例题
例1 已知 a =(4,2),b=(6,y) 且a ∥b,求y的值. 解:∵ a ∥b ∴4y-2×6=0

? a ? (?1, x),

解得y=3

? b ? ( ? x , 2)

典型例题
例2 已知点A(1,3), B(3,13),C(6,28) 求证:A、B、C三点共线. 证明:∵AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) ∴ 2×25=5×10 ∴AB∥BC 又∵ 直线AB、直线BC有公共点B ∴ A、B、C三点共线

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )



(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
??? 1 ???? ???? ? ? 解: (1) OP ? (OP ? OP2 ) 1 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 所以,点P的坐标为 ( 2 2
M y P P1 P2

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

O
(1)

x

例4:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 。
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。
y P P1 P1 y P

P2

P2

O

x
(2)

O

x

y P P1

P2

y

P2

P
P1

O

x

O

x

(2)如图2.3 ? 15,当点P是线段P P2的一个三等分点时, 1 PP 1 PP 有两种情况,即,1 ? 或 1 ? 2. PP2 2 PP2

PP 1 如果 1 ? ,那么 PP2 2 1 OP ? OP1 ? P P ? OP1 ? P P2 1 1 3 1 2 1 ? OP1 ? (OP2 ? OP1 ) ? OP1 ? OP2 3 3 3 ? 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ? ?? , ? 3 3 ? ?
P P1

y

P2

O

x

2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 即点P的坐标是( , ) 3 3

直线l上两点 p1 、 p2,在l上取不同于 p1 、p 2的任一点P,

则P点与p1 p2的位置有哪几种情形?
P在之 P1 P2 间 P在 P1 P2 的延长线上, P在P2 P1的延长线上.

P1

P

P2

? ?0

P1 P2 ? ? ?1

P

P

P1
?1 ? ? ? 0

P2

存在一个实数λ,使 P1 P ? ? PP2 ,λ叫做点P分有向线 段 P1 P2 所成的比. 能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ 的取值范围吗?

设 P1 ( x1 , y1 ), 2 ( x2 , y2 ) ,P分 P1 P2 所成的比为 ? ,如何 P
求P点的坐标呢?

?   P ? ( x ? x1 , y ? y1 ) P1
PP2 ? ( x2 ? x , y2 ? y ) P1 P ? ? PP2

?    ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y ) (x
? x ? x1 ? ? ( x 2 ? x ) ?    ? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y )

? ?x ? ? ?? ?y ? ? ?

x1 ? ?x2 1? ? y1 ? ?y2 1? ?

有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式
x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1? ? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

有向线段 P P 的中点坐标公式
1 2

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2

小结
(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和;
 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )   

(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差;
 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )   

(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标 乘以该实数;

?a ? (? x, ? y).

1、向量平行(共线)的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a / / b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a / / b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1

2.点A的坐标( x1 , y2 ), 点B的坐标( x2 , y2 ) 则线段AB的中点坐标(x,y)为: x1 ? x2 y1 ? y2 x? ;y? 2 2

x1 ? 2 x ? x2 ; y1 ? 2 y ? y2

3.点P的坐标( x1 , y1 ), 点P2的坐标( x2 , y2 ) 1 则线段P1P2的三等分点坐标(x,y)为: 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 x? ;y? 或 3 3 x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y2 x? ;y? 3 3
记公式:近水楼台多得月


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