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2011年长春市高中毕业班第二次调研测试(2011年长春二模理科数学)

时间:2012-04-17


2011 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2011 年长春市高中毕业班第二次调研测试



学(理科)

长春 136 中学闻志君提供
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题

为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹 清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 如果事件A B 斥,那么 P ( A + B) = P ( A) + P ( B ) . 、互 如果A B 互独立,那么 P ( AB) = P ( A) ? P ( B ) . 、相 如果事件A 一次试验中发生的概率为p 那么 n 次独立重复试验中事件A 好发生 k 次的概率为 在 , 恰
k Pn ( k ) = Cn p k (1 ? p ) n ? k .

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题,
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 .... 目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 已知复数 A. -2 2.

a ?i ? i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上,则实数 a 的值为 i
B. -1 C. 0 D. 2

已知集合 M = { x | ?3 < x < 0} , N = { x | ?1≤x≤1} ,则图中阴影部分表示的集合为 A. [ ?1,1) C. (?∞, ?3] U [?1, +∞ ) B. ( ?3, ?1) D. ( ?3,1]
U M N

3.

若点 P (cos α ,sin α ) 在直线 y = ?2 x 上,则 sin 2α + 2cos 2α = A. ?

14 5

B. ?

7 5

C. ?2

D.

4 5

4.

已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, S n 是 {an } 的前 n 项和,且 9S3 = S6 ,则数列 {

1 } 的前 5 项和为 an

A. 5.

85 32

B.

31 16

C.

15 8

D.

85 2

设 F1 、 F2 分别是双曲线 x 2 ? A. 2 2 B.

uuur uuuu r uuur uuuu r y2 在 = 1 的左、右焦点.若点P 双曲线上,且 PF1 ? PF2 = 0 ,则 PF1 + PF2 = 9 10 C. 4 2 D. 2 10

6.

在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折叠,其正视图和俯视图如图所示. 此时连结顶 点 B、D 形成三棱锥 B-ACD,则其侧视图的面积为 12 12 A. B. B A 5 25 正视图 72 144 C. D. D C 25 25
俯视图

7.

8.

某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均 天做 作业的时间为 x 分钟.有 1000 名小学生参加了此项调查, 得数据用程序框图处理, 若输出的结果是 680, 则平均每天做 时间在 0~60 分钟内的学生的频率是 A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 用 1、2、3、4、5、6 组成一个无重复数字的六位数,要求三个 3、5 有且只有两个相邻,则不同的排法种数为 A. 18 B. 108 C. 216 D. 432
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

开始 T = 1, S = 0 输入x x ≤ 60?

每 人 每 调 查 所 作 业 的


S = S+ 1

奇数 1、


T = T+ 1

9.

已知定义域为 R 的偶函数 f ( x) 在 (?∞, 0] 上是减函数,且

否 T > 1000?

是 2,则不等式 f (log 4 x ) > 2 的解集为 输出S 1 A. (0, ) U (2, +∞) B. (2, +∞ ) 结束 2 2 2 C. (0, D. (0, ) U ( 2, +∞ ) ) 2 2 10. 气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启 用的第一天起连续使用,第 n 天的维修保 n 养费为 + 4.9( n ∈ N*) 元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平 10 均每天耗资最少)为止,一共使用了 P A. 600 天 B. 800 天 C. 1000 天 D. 1200 天 N 11. 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于 uuur 1 uuu r 底面 ABCD , PN = PB ,则三棱锥 P ? ANC 与四棱锥 D C 3 P ? ABCD 的体积比为 A B
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:6 D. 1:8 12. 设 f ( x) 的定义域为 D ,若 f ( x) 满足下面两个条件,则称 f ( x) 为闭函数. ① f ( x) 在 D 内是单调函数;②存在 [ a, b ] ? D ,使 f ( x) 在 [ a , b ] 上的值域为 [ a , b ] .

1 f( ) = 2

如果 f ( x) = 2 x + 1 + k 为闭函数,那么 k 的取值范围是
A. ?1 < k ≤ ?

1 2

B. ≤ k <1

1 2

C. k > ?1

D. k <1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).

13. 若命题“ ?x ∈ R , 2 x 2 ? 3ax + 9 < 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
1 2 3 4

.

14. 2 ×1 = 2, 2 ×1× 3 = 3 × 4, 2 ×1× 3 × 5 = 4 × 5 × 6, 2 ×1× 3 × 5 × 7 = 5 × 6 × 7 × 8, … 依此类推,第 n 个等 式为 15. 给出下列六种图象变换方法: .

1 ①图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变; 2 ②图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; π π ③图象向右平移 个单位; ④图象向左平移 个单位; 3 3 2π 2π ⑤图象向右平移 个单位;⑥图象向左平移 个单位. 3 3 x π 请用上述变换中的两种变换,将函数 y = sin x 的图象变换到函数 y=sin( + )的图象,那么这两种变换 2 3 (填上一种你认为正确的答案即可). 的 序号依次是 ... 16. 已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F 与椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的一个焦点重合,它们在第一象限 a 2 b2 内的交点为 T ,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为 .

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 上 在海岛A 有一座海拔 1km 的山峰,山顶设有一个 轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午 11:00 岛北偏东 15° 、俯角为 30° 的B ,到 11:10 时,又 处 偏西 45° 、俯角为 60° 的C . 处 (1) 求船的航行速度; (2) 求船从B C 驶过程中与观察站 P 最短距离. 到行 的 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ⊥ 平面 ABC ,
D
P 北 C A 东 B

观 察 站 P有 一 艘 . 时,测得此船在 测得该船在岛北

A

A1

AB = BC = CA = AA1 , D 为 AB 的中点.
B

C B1

C1

(1) 求证: BC1 ∥平面 DCA1 ; (2) 求二面角 D ? CA1 ? C1 的平面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩 在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后, 分成 6 组画出频率分布直方图 的一部分 (如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕 业生的情况. 若从今年的高 中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人 中成绩不合格 ...

的人数,求 X 的分布列及数学期望; (3) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之

间,乙成绩在

9.5~10.5 米之间,现甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远的概率. 20. (本小题满分 12 分)

3 3 和 x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , D 是 AB 的中点. x y=? 3 3 (1) 求动点 D 的轨迹 C 的方程;
已知A B 别是直线 y = 、分 (2) 过点 N (1, 0) 作与 x 轴不垂直的直线 l ,交曲线 C 于 P 、Q 点,若在线段 ON 上存在点 M ( m, 0) ,使得以 两
MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形,试求 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) =

x ?1 . ex

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 若函数 y = g ( x ) 对任意 x 满足 g ( x ) = f (4 ? x ) ,求证:当 x > 2 , f ( x) > g ( x); (3) 若 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,求证: x1 + x2 > 4. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E, E

EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证: (1) ∠DEA = ∠DFA ; (2) AB2=BE ? BD-AE ? AC.
F A

D

O

B

C 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中, 以原点O 极点, x 轴非负半轴为极轴, 为 以 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,

? 建立极坐标系. 设曲线C 数方程为 ? x = 3 cos θ ( θ 为参数) 参 ,直线 l 的极坐标方程为 ? y = sin θ ? ?

4 (1) 写出曲线C 普通方程和直线 l 的直角坐标方程; 的 (2) 求曲线C 的点到直线 l 的最大距离. 上 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.
已知 f ( x) = 1 + x 2 ,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

π ρ cos(θ ? ) = 2 2 .

2011 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2011 年长春市高中毕业班第二次调研测试 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.B 3. C 4. B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B 11.C 12.A 简答与提示: a- i 1. A 化简复数 -i=-1-(a+1)i,由题意知 a+1=-1,解得 a=-2. i

2. 3.

B

阴影部分表示的集合为 {x | ?3 < x < ?1 } .

C ∵点 P 在 y=-2x 上,∴sinα -2cosα ∴sin2α 2cos2α 2sinα α 2(2cos2α 1)=-4cos2α 4cos2α 2 = , + = cos + - + - =-2.
n ?1 B ∵ 9 S 3 = S 6 ,∴ 8( a1 + a2 + a3 ) = a4 + a5 + a6 ,∴ 8 = q 3 ,∴ q = 2 ,∴ an = 2 .∴

4.

1 1 = ( ) n ?1 , an 2

5. 6.

1 1 ? [1 ? ( )5 ] ?1? 2 = 31 . ∴ ? ? 前 5 项和为 1 16 ? an ? 1? 2 uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r D PF1 · PF2 =0,则| PF1 + PF2 |=2| PO |=| F1 F2 |=2 10. C 由正视图和俯视图可知,平面 ABC ⊥ 平面 ACD .三棱锥 B-ACD 侧视图为等腰直角三角形,直
12 72 ,∴侧视图面积为 . 5 25 D 程序框图统计的是作业时间为 60 分钟以上的学生的数量,因此由输出结果为 680 知,有 680 名学 生的作业时间超过 60 分钟,因此作业时间在 0~60 分钟内的学生总数有 320 人,故所求频率为 0.32.
角边长为
2 2 3 D 第一步,先将 1、3、5 分成两组,共 C3 A2 种方法;第二步,将 2、4、6 排成一排共 A3 种方法;第

7.

8.

2 三步 : 将两组奇数插三个偶数形成的四个空位,共 A4 种方法.

y 2

综上共有

C A A A =3×2×6×12=432.
9. A 作出函数 f ( x ) 的示意图如图,则 log 4 x > 或 log 4 x <

2 3

2 2

3 3

2 4

1 2

1 2

O

1 x 2

?

1 ,解得 2

x > 2或0 < x <

1 . 2

32000 +
10. B 设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为

(5 +

n + 4.9)n 10 32000 n 2 = + + 4.95 ,当且 n n 20
P N D A B C

32000 n 时,取得最小值,此时 n=800. = n 20 uuur 1 uuu r 1 1 11. C ∵ PN = PB ,∴ VP ? ANC = VB ? ANC = VN ? ABC 3 2 2
仅当

1 2 1 2 1 = × VP ? ABC = × × VP ? ABCD . 2 3 2 3 2 ∴ VP ? ANC : VP ? ABCD = 1:6.
12. A

? f (a) = a 1 , f ( x) = 2 x + 1 + k 为 [? , +∞ ) 上的增函数,又 f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [ a, b] ,∴ ? 2 ? f (b) = b 1 1 即 f ( x) = x 在 [ ? , +∞ ) 上有两个不等实根,即 2 x + 1 = x ? k 在 [ ? , +∞ ) 上有两个不等实根. n 2 2 y m 1 (方法一)问题可化为 y = 2 x + 1 和 y = x ? k 在 [ ? , +∞ ) 上有 2 P 1
2

-1 2

O

x

两 个 不 同 交 点 . 对 于 临 界 直 线 m , 应 有 ?k ≥ , 即 k ≤ ?

1 2

1 .对于临界直线 n , 2
[来源:Zxxk.Com]

y′ = ( 2 x + 1)′ =

1 1 ,令 =1,得切点P 坐标为 0,∴ P (0,1) , 横 2x +1 2x +1

∴ n : y = x + 1 ,令 x = 0 ,得 y = 1 ,∴ ? k <1,即 k > ?1 .综上, ?1 < k ≤ ? (方法二)化简方程 2 x + 1 = x ? k ,得 x 2 ? (2k +2) x + k 2 ? 1 = 0 .

1 . 2

1 1 2 ? ? ? g (? 2 )≥0 ?( k + 2 ) ≥0 ? ? 1 ? 3 ? 2 2 令 g ( x) = x ? (2k +2) x + k ?1 ,则由根的分布可得 ?k + 1 > ? ,即 ?k > ? , 2 ? 2 ? ?? >0 ?k > ?1 ? ? ? ? 1 1 解得 k > ?1 .又 2 x + 1 = x ? k ,∴ x ≥ k ,∴ k ≤ ? .综上, ?1 < k ≤ ? . 2 2
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 14.

[ ?2 2, 2 2] 2n × 1× 3 × … × (2n ? 1) = ( n + 1) × ( n + 2) × … × (2n)

15. ④②或②⑥(填出其中一种即可) 16.

2 ?1
原命题的否定形式为 ?x ∈ R , 2 x 2 ? 3ax + 9 ≥0,为真命题. 即 2 x 2 ? 3ax + 9 ≥0 恒

简答与提示: 13. [ ?2 2, 2 2]

成立,∴只需 ? = ( ?3a ) 2 ? 4 × 2 × 9 ≤0,解得 a ∈ [ ?2 2, 2 2] . 14. 2n × 1× 3 × … × (2n ? 1) = ( n + 1) × ( n + 2) × … × (2n) . π x π (4) (2) (2) 15. ④②或②⑥(填出其中一种即可) y=sinx ?? y=sin(x+ ) ?? y=si n( + ), y=sinx ?? y → → 或 → 3 2 3 1 1 2π x π (6) =sin x ?? y=sin (x+ )=sin( + ). → 2 3 2 3 2 16.

2 ? 1 依题意 c =

p b2 , = p ,∴ b 2 = 2ac ,∴ c 2 + 2ac ? a 2 = 0 , 2 a

∴ e 2 + 2e ? 1 = 0 ,解得 e =

2 ?1.

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力,具体涉及到余弦定理、正弦定理, 三角形的面积公式. 【试题解析】解:⑴设船速为 x km/h,则 BC =

x km. 6

在 Rt △ PAB 中,∠ PBA 与俯角相等 为30°,∴ AB = 同理, Rt △ PCA 中, AC =

1 = 3. tan 30°
(4分)

在△ ACB 中,∠ CAB = 15°+45°=60°, ∴由余弦定理得 BC = ( 3) 2 + ( ∴ x = 6×

1 3 . = tan 60° 3

3 2 3 21 , ) ? 2× 3 × cos 60° = 3 3 3

21 (6分) = 2 21 km/h,∴船的航行速度为 2 21 km/h. 3 ⑵(方法一) 作 AD ⊥ BC 于点 D ,∴当船行 驶到点 D 时, AD 最小,从而 PD 最小.
此时, AD = AB ? AC ? sin 60° = BC



3 3 × 3 2 = 3 7. 14 21 3

(10分)

3 259 ∴ PD = 1 + ( . 7) 2 = 14 14
∴船在行驶过程中与观察站P 最短距离为 259 km. 的 14 (方法二) 由⑴知在△ ACB 中,由正弦定理 (12分)

AC BC , = sin B sin 60°
(8分)

3 3 × 2 = 21 . ∴ sin B = 3 14 21 3 作 AD ⊥ BC 于点 D ,∴当船行驶到点 D 时, AD 最小,从而 PD 最小. 21 3 此时, AD = AB sin B = 3 × = 7. 14 14
∴ PD = 1 + ( 3 7) 2 = 259 .
14 14

(10分)

∴船在行驶过程中与观察站P 最短距离为 259 km. 的 (12分) 14 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空 间向量在立体几何中的应用. 【试题解析】(方法一)⑴证明:如图一,连结 AC1 与 A1C 交于点 K ,连结 DK . 在△ ABC1 中, D 、 K 为中点,∴ DK ∥ BC1 . 又 DK ? 平面 DCA1 , BC1 ? 平面 DCA1 , ∴ BC1 ∥平面 DCA1 . ⑵解:二面角 D ? CA1 ? C1 与二面角 D ? CA1 ? A 互补. (5 分) (3 分)

如图二,作 DG ⊥ AC ,垂足为 G , 又平面 ABC ⊥ 平面 ACC1 A1 ,∴ DG ⊥ 平面 ACC1 A1 .

CA 作 GH ⊥ 1 ,垂足为 H ,连结 DH ,则 DH ⊥ CA1 ,
∴∠ DHG 为二面角 D ? CA1 ? A 的平面角. 设 AB = BC = CA = AA1 = 2 , 在等边△ ABC 中, D 为中点,∴ AG = ∴ DG = (8 分)

1 3 AC ,在正方形 ACC1 A1 中, GH = AC1 , 4 8

3 3 3 30 , GH = × 2 2 = . 2 ,∴ DH = 2 8 4 4
3 2 4 = 15 . 5 30 4
5

GH ∴ cos ∠DHG = = DH

(11 分)

[来源:Zxxk.Com]

∴所求二面角的余弦值为 ? 15 .
A1 K C B B1 C1

(12 分)
z
(0,0, 3 ) A ( 1,0, 2
3 2

A D

A G D C B B1 H

A1

A1 (0,2, 3 )

)D

C1

O

C(-1,0,0)

(-1,2,0)

C1

y
B1 (1,2,0)

x B(1,0,0)

图一

图二

图三

(方法二)证明:如图三以 BC 的中点O 原点建系,设 AB = BC = CA = AA1 = 2 . 为
设 n = ( x, y, z ) 是平面 DCA1 的一个法向量,

r

r uuu r uuur uuu r 3 ?n ? CD = 0 3 ? 则 ? r uuur .又 CD = ( , 0, ) , CA1 = (1, 2, 3) , 2 2 ?n ? CA1 = 0 ?
∴?

? 3x + z = 0 ?

? x + 2 y + 3z = 0 ? uuuu r r uuuu r ∵ BC1 = (?2, 2, 0) ,∴ n ? BC1 = ?2 + 2 + 0 = 0 .
又 BC1 ? 平面 DCA1 ,∴ BC1 ∥平面 DCA1 .

.令 x = 1, z = ? 3, y = 1 ,∴ n = (1,1, ? 3) .

r

(3 分)

(5 分)

⑵解:设 m = ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 CA1C1 的一个法向量,

ur

ur uuuu r uuuu r uuur ?m ? CC1 = 0 ? 则 ? ur uuur .又 CC1 = (0, 2, 0) , CA1 = (1, 2, 3) , ?m ? CA1 = 0 ?
∴?

[来源:Zxxk.Com]

ur ? y1 = 0 ? .令 z1 = 1, x1 = ? 3 ,∴ m = ( ? 3, 0,1) . ? x1 + 3 z1 = 0 ?
ur r ?2 3 15 . =? 5 2 5

(8 分)

∴ cos < m , n >=

(11 分)

∴所求二面角的余弦值为 ?

15 . 5

(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查统计与概率的相关知识, 具体涉及到频率分布直方图、 二项分布及几何概型. 【试题解析】解:(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 = 50 (人). 0.14
(4 分)

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (2) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为

14 7 7 ,∴ X ~ B (2, ) . = 50 25 25

P( X = 0) = ( P( X = 2) = (

18 2 324 18 252 1 7 , P( X = 1) = C2 ( )( ) = , ) = 25 625 25 25 625
(7 分)

7 2 49 . ) = 25 625 所求分布列为
X P 0
324 625

1
252 625

2
49 625

7 14 = 25 25 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为 E( X ) = 2 ×

(9 分)

?8≤x≤10 ,事件A 甲比乙投掷远的概率”满足 “ ? ?9.5≤y≤10.5
的区域为 x > y ,如图所示.

y
10.5 9.5 D F A 8 9 C E B 10

1 1 1 × × 1 ∴由几何概型 P ( A) = 2 2 2 = . 1× 2 16

x
(12 分)

20. (本小题满分 1 2 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与 圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】解:⑴设 D( x, y ), A( x1 ,

3 3 x1 ), B( x2 , ? x2 ). 3 3

∵ D 是线段 AB 的中点,∴ x =

x1 + x2 3 x1 ? x2 , y= ? . 2 3 2

(2 分)

∵| AB |= 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) 2 + (

3 3 3 2 × 2 x ) 2 = 12 . x1 + x2 ) 2 = 2 ,∴ (2 3 y ) + ( 3 3 3
(5 分)

化简得点 D 的轨迹C 方程为 的

x2 + y2 = 1. 9 x2 + y 2 = 1 ,得 9

[来源:学科网]

⑵设 l : y = k ( x ? 1)( k ≠ 0) ,代入椭圆

(1 + 9k 2 ) x 2 ? 18k 2 x + 9k 2 ? 9 = 0 ,∴ x1 + x2 =
9k 2 ?k ∴ PQ 中点 H 的坐标为 ( , ). 2 1 + 9k 1 + 9k 2

?2k 18k 2 ,∴ y1 + y2 = . (7 分) 2 1 + 9k 2 1 + 9k

∵以 MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形,∴ k MH ? k = ?1 ,

?k 8k 2 1 + 9k 2 ? k = ?1 ,即 m = ∴ . 1 + 9k 2 9k 2 ?m 1 + 9k 2
∵ k ≠ 0 ,∴ 0 < m <

y P H O M N Q x

(9 分)

8 . 9

(11 分)

又点 M (m,0) 在线段 ON 上,∴ 0 < m < 1 . 综上, 0 < m <

8 . 9

(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研究函数的单调性、 极值,并考查数学证明. 【试题解析】解:⑴∵ f ( x) = 令 f ′( x ) =0,解得 x = 2 .

x ?1 2? x ,∴ f ′( x ) = x . x e e

(2 分)

x
f ′( x ) f ( x)

( ?∞, 2)
+ ↗

2 0 极大值

(2, +∞ )


1 e2

↘ (3 分) (4 分)

∴ f ( x) 在 ( ?∞, 2) 内是增函数,在 (2, +∞ ) 内是减函数. ∴当 x = 2 时, f ( x) 取得极大值 f (2) =

1 . e2

⑵证明: g ( x ) = f (4 ? x ) = ∴ F ′( x ) =

3? x x ?1 3 ? x , 令F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) = x ? 4 ? x , 4? x e e e
(6 分)

2 ? x 2 ? x (2 ? x)(e 4 ? e 2 x ) ? 4? x = . ex e e x+4

4 2x 当 x > 2 时, 2 ? x <0, 2x >4,从而 e ? e <0,

∴ F ′( x ) >0, F ( x ) 在 (2, +∞ ) 是增函数.

∴ F ( x) > F (2) =

1 1 ? = 0, 故当x > 2时,f ( x) > g ( x)成立. e2 e2

(8 分)

⑶证明:∵ f ( x) 在 ( ?∞, 2) 内是增函数,在 (2, +∞ ) 内是减函数. 、 ∴当 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,x x2 不可能在同一单调区间内. 1 不妨设 x1 < 2 < x2 ,由⑵可知 f ( x2 ) > g ( x2 ) , 又 g ( x2 ) = f (4 ? x2 ) ,∴ f ( x2 ) > f (4 ? x2 ) . ∵ f ( x1 ) = f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) > f (4 ? x2 ) . ∵ x2 > 2, 4 ? x2 < 2, x1 < 2 ,且 f ( x ) 在区间 ( ?∞, 2) 内为增函数, ∴ x1 > 4 ? x2 ,即 x1 + x2 > 4. (12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要平面几何的证明,具体涉及到四点共圆、相交弦定理及三角形相似等内容. 【试题解析】证明:⑴连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°, (2 分) 又 EF⊥AB,∠EFA=90°,则 A、D、E、F 四点共圆, ∴∠DEA=∠DFA. ⑵由(1)知,BD ? BE=BA ? BF.
F A C O E D

(5 分)
B

AB AC 又△ABC∽△AEF,∴ ,即 AB ? AF=AE ? AC. = AE AF
∴ BE ? BD-AE ? AC =BA ? BF-AB ? AF =AB(BF-AF) =AB2.

(7 分) (10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、参数方程与普 通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容. 【试题解析】解:⑴由 ρ cos(θ ? ∴l : x + y ? 4 = 0 .

π
4

) = 2 2 得 ρ (cos θ + sin θ ) = 4 ,
(3 分)

由?

? x = 3 cos θ x2 ? 得C : + y2 = 1. 3 ? y = sin θ ?

(5 分)

x2 ⑵在 C : + y 2 = 1 上任取一点 P ( 3 cos θ ,sin θ ) ,则点P 直线 l 的距离为 到 3
| 2sin(θ + ) ? 4 | | 3 cos θ + sin θ ? 4 | 3 = d= ≤3. 2 2 π 5 ∴当 sin(θ + )= -1,即 θ = ? π 时, d max = 3 . 3 6

π

(8 分) (10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值三角不等式及不等式证明等内容. 【试题解析】解:∵|f(a)-f(b)|=| 1+a - 1+b |=
2 2

|a2-b2| 1+a2+ 1+b2

(2 分) (5 分)

|a-b||a+b|

|a-b|(|a|+|b|)
2



1 +a + 1 +b


2



1+a2+ 1+b2

|a-b|(|a|+|b|) =|a-b|. a2+ b2


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