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高等数学第一章函数与极限试题 2


高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题
1.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数, " M ? N " 表示“M 的充分必 要条件是 N”,则必有 (A) F(x)是偶函数 ? f(x)是奇函数. (B) F(x)是奇函数 ? f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 ? f(x)是周期函数. (D) F(x)

是单调函数 ? f(x)是单调函数 2.设函数 f ( x) ?
e 1
x x ?1

,则 ?1

(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. (B) x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点 (C) x=0 是 f(x)的第一类间断点,x=1 是 f(x)的第二类间断点. (D) x=0 是 f(x)的第二类间断点,x=1 是 f(x)的第一类间断点.
x ?1 3.设 f (x)= x

1 ,x≠0,1,则 f [ f ( x ) ]= ( D )
1 1? x
1 X

A) 1-x

B)

C)

D) x

4.下列各式正确的是 ( C ) A)

1 lim (1+ ) x
x ?0 ?
x ??

x

=1
x

B)

1 lim (1+ ) x
x ?0 ?

x

=e

C)

1 lim (1- ) x

=-e

D)

1 lim (1+ ) x
x ??

?x

=e

x?a x ) ? 9 ,则 a ? ( C )。 x?a A.1; B. ? ; C. ln 3 ; x ?1 x ) ?( C 6.极限: lim( ) x ?? x ? 1

5.已知 lim( x ??

D. 2 ln 3 。

A.1;

B. ? ;
x
=( A

C. e ?2 ;


D. e 2

3 lim 7.极限: x?? x ? 2 3

A.1;

B. ? ;
0

C.0;
C )

D.2.

8.极限: xlim ?
A.0;

x ? 1 ? 1 =( x

B. ? ;
?

C

1 2



D.2.

9.

极限: lim ( x 2 ? x ? x) =( x??

D )

A.0;

B. ? ;
x ?0

C.2;


D.

1 2



10.极限:
A.0;

lim tan x ? sin x =( C sin 3 2 x

B. ? ;

C.

1 16



D.16.

二. 填空题
11.极限 lim x sin x ?? 12. 13.
x ? x?

2x = x ?1
2

2

.

arctanx lim x
x ?0

=_______________.
在 点



y ? f (x)

x0









f lim[ f ( x) ? f ( x? )] =______f’(xo)_________;
sin 5 x ? _________0.2__; 0 x 2 15. lim(1 ? ) n ? _______e*e__________; n ?? n

14. xlim ?x

x2 ?1 16. 若函数 y ? 2 ,则它的间断点是___________2___1_____ x ? 3x ? 2

17.

绝对值函数

f ( x) ? x ? ?0, x ? 0; ?
,值域是

? x, x ? 0;

x

?? x, x ? 0. ?

其定义域是

全体实数

大于等于 0

18.

? 1, x ? 0; ? 符号函数 f ( x ) ? sgn x ? ? 0, x ? 0; ?? 1, x ? 0. ?
其定义域是 ,值域是三个点的集合

19. 20.

无穷小量是 函数 y ? f (x ) 在点 x0 连续,要求函数 y ?f (x) 满足的三个条件是

三. 计算题
21.求 lim( x ?0
1? x 1 ? ). ?x x 1? e

22.设 f(e x?1 )=3x-2,求 f(x)(其中 x>0);
x ?5

23.求 lim (3-x) x ? 2 ;
x?   2

24.求 lim (
x?  ?

x ?1 x ) ; x ?1

25.求 lim
x?   0

sin x 2 tan 2 x( x 2 ? 3x)
x?a x ) ? 9 ,求 a 的值; x?a
n n 1 n

26. 已知 lim( x ??

27. 计算极限 lim(1 ? 2 ? 3 ) n ?? 28.
f ?x ? ?

x?2 ? lg?5 ? 2 x ? 求它的定义域。 x ?1

29. 判断下列函数是否为同一函数: ⑴ ⑵ f(x)=sin2x+cos2x
x2 ? 1 f ( x) ? x ?1

g(x)=1
g ( x) ? x ? 1

⑶ ⑷ ⑸

f ( x) ?

?

x ?1

?

2

g ( x) ? x ? 1 g ( x) ? x ? 1

f ?x ? ?

?x ? 1?2

y=ax2

s=at2

30. 已知函数 f(x)=x2-1,
求 f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)

3n 2 ? 5n ? 1 31. 求 nlim ??? 6n 2 ? 4n ? 7
32. 求 nlim ? ??
1? 2 ??? n n2

33. 求 nlim ( n ? 1 ? n ) ???
2 n ? 3n 34. 求 nlim n ? ?? 2 ? 3 n

35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限
? x ? 1, x ? 2 ⑴ y?? ? x, x ? 2
1 x?3 x?3 37. lim 2 x ?3 x ? 9
x?2

?sin x, x ? 0 ? ⑵ y ? ?1 ? 3 x, x ? 0 ?

x?0

36. lim x?3

38. lim x ?0

1? x ?1 x
2x3 ? x 2 ? 1 x3 ? x ? 1 2x 2 ? x ? 1 41. x3 ? x ? 1

39. 求当 x→∞时,下列函数的极限 y ? 40. 求当 x→∞时,下列函数的极限 y ?
sin 3 x x 1 ? cos x 42. lim x ?0 x2

41. lim x ?0

1 43. lim?1 ? ? ? ?
n??

n ?3

?

n?
2n

1 44. lim?1 ? ? ? ?
n??

?

n?
1 x ) kx
x

45. lim(1 ? x ??

1 46. lim?1 ? ? ? ? x?? ? x?
x?0

47. lim?1 ? kx?x

1

48. 研究函数在指定点的连续性
? sin x ,x ? 0 ? f ( x) ? ? x ?1, x ? 0 ?
x0=0

49. 指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。 f ( x ) ? 50. 指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。

1 ,x=1 x ?1

?1 ? ,x ? 0 ,x=0 f ( x) ? ? x ?0, x ? 0 ?

51. 指出下列函数在指定点是否间断, 如果间断, 指出是哪类间断点。
?x 2 , x ? 0 ,x=0 f ( x) ? ? 1, x ? 0 ?

52. 证明 f(x)=x2 是连续函数 53. lim x ?0
ln(1 ? x ) x

? x2 ?1 ? ? ln x ? 54. lim? ? x?1 ? x ? 1 ? ?

55. 试证方程 2x3-3x2+2x-3=0 在区间[1,2]至少有一根 56. 57.
x ?0

lim tan x ? sin x sin 3 2 x

试证正弦函数 y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。

58. 59. 60.

函数 f (x) = ?x? = ? x,x ? 0; ?? x,x ? 0 在点 x = 0 处是否连续? ?
? x sin 1 ,x ? 0; x 函数 f ( x ) = ? 是否在点 x ? 0 连续? ? 0, x ? 0
x 求极限 lim a ? 1 . x ?0

x

答案: 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排 除法找到答案. 【详解】
F ?( x) ? f ( x).

方法一:任一原函数可表示为 F ( x) ? ?0 f (t )dt ? C ,且

x

当 F(x) 为 偶 函 数 时 , 有 F (? x) ? F ( x) , 于 是 F ?(? x) ? (?1) ? F ?( x) , 即
? f ( ? x) ? f ( x) , 也即 f (? x) ? ? f ( x) , 可见 f(x)为奇函数; 反过来, f(x) 若

为奇函数,则 ?0 f (t )dt 为偶函数,从而 F ( x) ? ?0 f (t )dt ? C 为偶函数,可 见(A)为正确选项. 方法二:令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则 取 F(x)= x 2 , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多 次考查过. 请读者思考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点,其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义,因此是间断点. 且
x ?1?

x

x

1 2

lim f ( x) ? ? ,所以 x=0 为第二类间断点;
x ?0 x ?1

lim f ( x) ? 0 , lim f ( x ) ? ?1 ,所以 x=1 为第一类间断点,故应选(D). ?

x x ? ?? ,lim ? ?? . 从而 lim e x ?1 ? ?? , 【评注】 应特别注意:lim x ?1? x ? 1 x ?1? x ? 1 x ?1?

x

x ?1?

lim e

x x ?1

? 0.

3 4 5 6 7 8

C A C
C

A
C

∵x→∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。先恒等变形,将函数“有理化” :
1 原式 = lim ( x ? 1 ? 1)( x ? 1 ? 1) ? lim ? 1 . (有理化法) x ?0 x ?0 x( x ? 1 ? 1) x ?1 ?1 2

9 D 10


C
x? 1 x2 tan x (1? cos x) 1 原式 ? lim ? lim 2 3 ? . 3 x ?0 x ?0 x (2 x) 8 16



注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。如上例 中若对分子的每项作等价替换,则 错误! 原式 ? lim x ?0

x?x ?0 . (2 x) 3

二.填空题 11. 12. 13. 2 1
0

14 . 15 . 16.

5

e ?2
x ? 1,2
[ 0, ?? )
{?1,0,1}

17 . ( ?? ,?? ) 18. ( ?? ,?? ) 19 . 20 .

在某一极限过程中,以 0 为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量 ① 函数 y ? f (x) 在点 x0 有定义; ② ③ x→x0 时极限
x? x0

lim f ( x )

存在;
x ? x0

极限值与函数值相等,即

lim f ( x ) ? f ( x 0 )

三. 计算题 21 . 【分析】 " ? ? ?" 型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则. 【详解】
x ? x2 ?1 ? e?x 1? x 1 x ? x2 ?1 ? e?x = lim lim( ? ) ? lim x ?0 x ?0 1 ? e ? x x ?0 x2 x x(1 ? e ? x )

= lim x ?0 22. f (x)=3lnx+1 23.
3

1 ? 2x ? e?x 2 ? e?x 3 ? . = lim x ?0 2 2 2x

x>0

e

24. e 25.
1 6

2

26. ln 3 ; 27. 3 28. 解:由 x+2≥0解得 x≥-2 由 x-1≠0解得 x≠1

由 5-2x>0解得 x<2.5 函数的定义域为
{x|2.5>x≥-2 且 x≠1}或表示为(2.5,1)∪(1,-2)

29. ⑴、⑸是同一函数,因为定义域和对应法则都相同,表示变量的 字母可以不同。⑵⑶不是同一函数,因为它们的定义域不相同。⑷不 是同一函数,因为它们对应的函数值不相同,即对应法则不同。 30. 解:f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x, f(f(x))=f(x2-1)=(x2-1)2-1=x4-2x2 f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=99
3n 2 ? 5n ? 1 5 3? ? 2 3n ? 5n ? 1 n2 n 31 . 解:nlim 6n 2 ? 4n ? 7 ? nlim 6n 2 ? 4n ? 7 ? nlim ??? ??? ??? 4 6? ? n n2 1 n2 7 n2

1 1 ? lim 2 3?0?0 1 n??? n??? n n??? n ? ? ? 1 1 6?0?0 2 lim 6 ? 4 lim ? 7 lim 2 n??? n??? n n??? n lim 3 ? 5 lim
n(n ? 1) 1? 2 ??? n n2 ? n 1 2 ? lim ? lim ? 32. 解: nlim ??? n??? n??? 2n 2 n2 n2 2

33 . 解: nlim ( n ? 1 ? n ) ? nlim ??? ???
1 ? lim n ? 1 ? n n???

( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ) n ?1 ? n
1 n??? n ?0 n ?1 lim ? lim 1 n??? n n??? lim

? lim

n???

1 n ? n ?1 ?1 n

2 2 ( ) n ? 1 lim ( ) n ? lim 1 2 ?3 0 ?1 n??? 3 n??? ? lim 3 ? ? ? ?1 34 . 解: nlim n n ??? 2 ? 3 n??? 2 n 2 n 0 ?1 ( ) ? 1 lim ( ) ? lim 1 n??? 3 n??? 3
n n

35 . 解:⑴

lim lim 因为 x ?2 ? y ? 2, x ?2? y ? 3 , xlim y ? xlim y ?2? ?2?
所以 函数在指定点的极限不存在。 ⑵ 因为 xlim y ? sin 0 ? 0, xlim y ? ?0 ? ?0 ?
1 ? 0 ? 0 , lim y ? lim y x ?0 ? x ?0 ? 3

所以 函数在指定点的极限 lim y ? 0 x?0
lim

36 .

lim1 1 1 1 x ?3 ? ? ? x ?3 x ? 3 lim x ? lim 3 3 ? 3 6
x ?3 x ?3

x?3 x ?3 1 1 ? lim ? lim ? 2 x ?3 x ? 9 x ?3 ? x ? 3?? x ? 3? x ?3 x ? 3 6 37 . lim

38 . lim x ?0

( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1) 1? x ?1 ?x ?1 1 ? lim ? lim ? lim ?? x ?0 x ?0 x 2 x( 1 ? x ? 1) x( 1 ? x ? 1) x ?0 1 ? x ? 1
1 1 ? 3 x x 1 1 1? 2 ? 3 x x 2?

3 2 39 . lim 2 x 3 ? x ? 1 ? lim x ?? x ?? x ? x ?1

1 1 lim 2 ? lim ? lim 3 x ?? x ?? x x ?? x 2?0?0 ? ? ?2 1 1 1? 0 ? 0 lim1 ? lim 2 ? lim 3 x ?? x ?? x x ?? x 2 1 1 ? 2 ? 3 2x2 ? x ? 1 x x 40. lim 3 ? lim x x ?? x ? x ? 1 x ?? 1 1 1? 2 ? 3 x x 1 1 1 2 lim ? lim 2 ? lim 3 x ?? x x ?? x x ?? x 0?0?0 ? ? ?0 1 1 1? 0 ? 0 lim1 ? lim 2 ? lim 3 x ?? x ?? x x ?? x sin 3x sin 3x ? lim ?3 ? 3 41. lim x ?0 x ?0 x 3x
x x? ? 2 sin sin ? ? 1 ? cos x 2 ? 1 ? lim 2? ? 1 ? lim 42. lim 2 x ?0 x ?0 x ?0 x x ? 2? 2 x 4( ) 2 ? ? 2 2 ? ?
2 2

43.

1 lim(1 ? ) n n ?? n ? e ?e = 1 1 lim(1 ? ) 3 n ?? n
?? 1 ? n ? ? ? 1 ?n ? ? lim??1 ? ? ? ? ?lim?1 ? ? ? ? e 2 n?? ?? n ? ? ?n??? n ? ? ? ? ? ?
kx kx 1 ?? 1 ? ?k ? ? 1 ? ?k ? lim ??1 ? ? ? ? ?lim?1 ? ? ? ? e k x ?? ?? kx ? ? ? x??? kx ? ? ? ? ? ? 1 1

2

2

44.

45.

46. 47.

?x ?? 1 ? ? ? lim??1 ? ? ? x?? ?? ? x ? ? ? ?

?1

?x ? ? 1 ? ? ? ?lim?1 ? ? ? ? x??? ? x ? ? ? ?

?1

? e ?1

1 ? ? ? ?lim?1 ? kx?kx ? ? e k ? x?0 ?

k

48.解 ? lim f ( x ) ? lim
x? x0 x?0

sin x ?1 x

而 f ( x0 ) ? f (0) ? 1 ?lim f ( x ) ? f (0)
x?0

函数 在x ? 0处连续。
49. 间断,函数在 x=1 处无定义且左右极限不存在,第二类间断点 50. 间断,函数在 x=0 处左右极限不存在,第二类间断点 51. 间断, lim f ( x) ? 0 但 f(0)=1,两者不相等,第一类间断点 x ?0 52. 证明: ? x0∈(-∞,+∞)
lim lim 2 lim 2 因为 x? x f ( x) ? x? x x ? ( x? x x) ? x0 ,f(x0)=x02
2
0 0 0

lim 所以 x? x f ( x) ? f ( x0 )
0

因此,函数 f(x)=x 是连续函数。

2

53. 54.

解:
解:

ln(1 ? x) lim ? lim ln(1 ? x) x ? ln lim(1 ? x) x ? ln e ? 1 x?0 x?0 x?0 x
1 1

? x2 ?1 ? lim? ? x ? 1 ? ln x ? ? lim?? x ? 1?ln x ? ? 2 ? 0 ? 0 ? x?1 x ?1 ? ?

55 . 证明:设 f(x)=2x3-3x2+2x-3, 则 f(x)在[1,2]上连续,f(1)=-2<0,f(2)=5>0 根据零点定理,必存在一点ξ ∈(1,2)使 f(ξ )=0,
则 x=ξ 就是方程的根。
x? 1 x2 tan x (1? cos x) 1 原式 ? lim ? lim 2 3 ? x ?0 x ?0 (2 x) 3 8x 16

56. 57.

证 ?x? (-∞, +∞),任给 x 一个增量Δ x,对应的有函数 y 的增量 Δ y = sin( x +Δ x)-sin x = 2 sin ?x ? cos( x ? ?x ) . 2 2

∵ 0 ? ?y ? 2 sin ?x ? 2 ?
2

?x ,再由 x 的任意性知正 ? ?x ,由夹逼准则知,△y → 0(Δ x→0) 2

弦函数 y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续,即它是连续函数。

58.



注意 f (x)是分段函数,且点 x ? 0 两侧 f 表达式不一致。
x ?0

解法 1 ∵f (0 - 0) = lim ( ? x ) ? 0 , ? f (0 + 0) = xlim x ? 0 , ?0 ? 又 f (0 ) = 0, 解法 2 ∴ lim f ( x ) ? 0 . x?
0

∴ 函数 f (x) = ?x?在点 x = 0 处连续(图 1—19) 。 ∵ lim f ( x) ? lim (? x) ? 0 ? f (0) , ? ?
x ?0 x ?0

∴ 函数在点 x ? 0 左连续;

又∵ xlim f ( x) ? xlim x ? 0 ? f (0) , ∴ 函数在点 x ? 0 右连续,所以函数在点 x ? 0 连续。 ?0 ? ?0 ?

59.



虽然 f 是分段函数,但点 x = 0 两侧函数表达式一致。

M ?0 lim lim ∵ x? f ( x) ? x? x sin 1 ??? 0 ? f (0) , x 0 0

∴ f (x) 在点 x = 0 处连续

60.



令 a x–1 = t,则 x = log a (1+t ) ,当 x→0 时,t→0,

∴ 原式 ? lim ?
t 0

1 t 1 ? lim ? ? ln a . log a (t ? 1) t ?0 log (t ? 1) t1 log a e a

x x 特别地, lim e ? 1 ? 1 ,这表明 x→0 时,x ? e - 1. x ?0 x


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