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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):5.1数列的概念与函数特性

时间:2013-07-16


第五章





[知识能否忆起] 1.数列的定义
按 一定次序 排列的一列数叫作数列,数列中的每一个 数叫作这个数列的 项 .其中数列的第 1 项 a 也称 首项 ;
1

an 是数列的第 n 项,也叫数列的 通项 .

2.数列的分类: 分类标 准

项数

类型
有穷数列

满足条件
项数 有限

无穷数列
项与项 递增数列

项数 无限
an+1 > an 其中 n∈N*

间的大
小关系

递减数列
常数列

an+1 < an
an+1=an

3.数列与函数的关系
(1)从函数观点看,数列可以看作定义域为 正整数 集N+(或N+的有限子集) 的函数,当自变量从小到大 依次取值时,该函数对应的一列 函数值 就是这个数列. (2)数列同函数一样有解析法、图像法、列表法三种 表示方法.

4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与 n 之间的函数关系可以

用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子叫作这个数
列的通项公式.
5.数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系 (1)Sn=a1+a2+?+an;
?S ,n=1, ? 1 (2)an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

[小题能否全取]
1.下列说法正确的是 ( )

A.数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列 B.数列 1,2,3 与数列 1,2,3,?是同一数列 1 C.1,4,2, , 5不是数列 3 D.数列{2n-3}与-1,1,3,5,?,不一定是同一数列
解析:由数列的定义及数列的通项公式的定义知,选项 D 正确.

答案:D

2 3 4 5 2.(教材习题改编)数列 1, , , , ?的一个通项公式 3 5 7 9 是 ( )

n A.an= 2n+1 n C.an= 2n-3

n B.an= 2n-1 n D.an= 2n+3

答案:B

n 3.已知数列{an}的通项公式为an= ,则这个数列是 n+1 ( )

A.递增数列
C.常数列
解析:

B.递减数列
D.摆动数列

n+1 n an + 1 - an = - = n+2 n+1

?n+1?2-n?n+2? 1 = >0. ?n+1??n+2? ?n+1??n+2?

答案:A

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n-1,则 a8 =______.
解析:a8=S8-S7=(28-1)-(27-1)=28-27=27=128.

答案:128

5 . ( 教 材 习 题 改 编 )已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an =
?2·n-1?n为偶数?, ? 3 ? ?2n-5?n为奇数?, ?

则 a4·3=________. a

解析:a4·a3=2×33·(2×3-5)=54.
答案:54

1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅 与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关, 这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的 数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重 复出现,这也是数列与数集的区别. 2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的 函数解析式,即f(n)=an(n∈N*).

[例 1]

(2013· 天津南开中学月考)下列公式可作为 ( )

数列{an}: 1,2,1,2,1,2, …的通项公式的是

A.an=1
? nπ? C.an=2-?sin 2 ? ? ?

?-1?n+1 B.an= 2 ?-1?n 1+3 D.an= 2


[自主解答] 由an=2- a2=2, a3=1,a4=2,….

? nπ? ?sin ? 2? ?

可得a1=1,

[答案] C

若本例中数列变为:0,1,0,1,?,则{an}的一个 通项公式为________.
答案:
?0?n为奇数?, ? an=? ?1?n为偶数?. ? ? 1+?-1?n 1+cos ? 或an= ?或an= 2 2 ?

nπ? ?
? ?

1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注

意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,
可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列 的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(- 1)n+1来调整. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是 不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

1.写出下面数列的一个通项公式.
(1)3,5,7,9,?;
1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32

(3)3,33,333,3 333,?; 3 1 3 1 3 (4)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6

解:(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

(2) 每 一 项 的 分 子 比 分 母 少 1 , 而 分 母 组 成 数 列 2n-1 21,22,23,24,?,所以 an= n . 2 9 99 999 9999 (3)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3 3 3 3

3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?. 1 n 所以 an= (10 -1). 3

(4)奇数项为负, 偶数项为正, 故通项公式的符号为(-1)n; 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值 的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数 项为 2-1,偶数项为 2+1, 2+?-1?n 所以 an=(-1)n· n ,也可写为 ? 1 ?-n,n为正奇数, an=? ?3 ,n为正偶数. ?n

由an与Sn的关系求通项an

[例2]

已知数列{an}的前n项和Sn,根据下列条件分

别求它们的通项an.

(1)Sn=2n2+3n;

(2)Sn=3n+1.

[自主解答] (1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2× 2 1 +3× 1=5, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n -1)]=4n+1. 当n=1时,4× 1+1=5=a1,故an=4n+1. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4,

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2× n-1. 3 当n=1时,2× 1 1=2≠a1, 3
?4, ? 故an=? - ?2× n 1, 3 ?


n=1, n≥2.

已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式, 其求解过程分为三步: (1)先利用a1=S1求出a1;

(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an
=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;

(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an
的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写; 如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.

2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=1,S2=2, 且 Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N+且 n≥2),求该数列 的通项公式.

解:由 S1=1 得 a1=1,又由 S2=2 可知 a2=1. ∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N+且 n≥2), ∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N+且 n≥2), 即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N+且 n≥2), ∴an+1=2an(n∈N+且 n≥2),故数列{an}是从第 2 项起以 2 为公比的等比数列. ∴数列{an}的通项公式为
?1, ? an=? n-2 ?2 , ?

n=1, n≥2.

数列的函数特性

[例3] 20.

已知数列{an}的通项公式为an =n2 -21n+

(1)n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)n为何值时,该数列的前n项和最小?

[自主解答]

(1)因为 an =n

2

? 21 ? 2 -21n+20= ?n- ? - 2? ?

361 21 ,可知对称轴方程为 n= =10.5.又因 n∈N*,故 n= 4 2 10 或 n=11 时,an 有最小值, 其最小值为 112-21×11+20 =-90.

(2)设数列的前 n 项和最小,则有 an≤0,由 n2-21n+ 20≤0,解得 1≤n≤20,故数列{an}从第 21 项开始为正数, 所以该数列的前 19 或 20 项和最小.

an 在本例条件下,设bn= n ,则n为何值时,bn取得最小 值?并求出最小值.
2 an n -21n+20 20 解:bn= = =n+ -21, n n n 20 20 令 f(x)=x+ x -21(x>0),则 f′(x)=1- 2 ,由 f′(x)=0 x 解得 x=2 5或 x=-2 5(舍).而 4<2 5<5,故当 n≤4 时,数 列{bn}单调递减;当 n≥5 时,数列{bn}单调递增. 20 20 而 b4=4+ -21=-12,b5=5+ -21=-12,所以当 n=4 4 5 或 n=5 时,bn 取得最小值,最小值为-12.

1.数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数an= f(n),利用求解函数最值的方法求解,但要注意自变量的取

值.
2.前n项和最值的求法 (1)根据数列的求和公式: 先求出数列的前n项和Sn,根据Sn的表达式求解最值; (2)根据数列的通项公式:若am≥0,且am+1<0,则Sm最大;

若am≤0,且am+1>0,则Sm最小,这样便可直接利用各项的符
号确定最值.

n 3.(2013· 江西七校联考)数列{an}的通项 an= 2 ,则数列 n +90 {an}中的最大值是 ( )

A.3 10 1 C. 19 解析: an=

B.19 10 D. 60 ,由基本不等式得,

1 ≤ , 90 90 2 90 n+ n n+ n 1 由于 n∈N+,易知当 n=9 或 10 时,an= 最大. 19 答案:C

1

1

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们 都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数 列中的项时,不如通项公式直接,下面介绍由递推公式 求通项公式的几种方法.

1.累加法 [典例1] 12,则a8= A.0 B.3 (2011· 四川高考)数列{an}的首项为3,{bn} ( ) 为等差数列且bn =an+1 -an(n∈N*).若b3 =-2,b10 =

C.8
[解析]

D.11
由已知得bn =2n-8,an+1 -an =2n-8,

所以a2-a1 =-6,a3 -a2=-4,…,a8-a7=6,由累

加法得a8-a1=-6+(-4)+(-2)+0+2+4+6=0,所
以a8=a1=3. [答案] B

[题后悟道]

对形如 an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和

的)的递推公式求通项公式时,常用累加法,巧妙求出 an -a1 与 n 的关系式.

2.累乘法
[典例 2] (2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中,a1=1,前 n+2 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求a2,a3;

(2)求{an}的通项公式. 4 [解] (1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2, 3
解得 a2=3a1=3. 5 由 S3= a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3, 3 3 解得 a3= (a1+a2)=6. 2

(2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时,有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+1 整理得 an= a . n-1 n-1 n+1 3 4 n 于是 a2= a1,a3= a2,?,an-1= a ,an= a . 1 2 n-2 n-2 n-1 n-1 n?n+1? 将以上 n-1 个等式中等号两端分别相乘,整理得 an= . 2 n?n+1? 综上可知,{an}的通项公式 an= . 2

[题后悟道] 对形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的) an 的递推公式求通项公式时,常用累乘法,巧妙求出 与 a1 n的关系式.

3.构造新数列 [典例3] 已知数列{an}满足a1 =1,an+1 =3an +2;

则an=________.
[解析] ∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 又 a1+1=2,∴an+1=2·n-1, 3 ∴an=2·n 1-1. 3


[答案] 2×3n-1-1

[题后悟道]

对于形如“an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1)”的

递推公式求通项公式,可用迭代法或构造等比数列法. 上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对 应解法,从这些题型及解法中可以发现,很多题型及方法都 是相通的,如果能够真正理解其内在的联系及区别,也就真 正做到了举一反三、触类旁通,使自己的学习游刃有余,真 正成为学习的主人.

?针对训练 an 1.已知数列{an}中,a1=3,an+1= ,则其通项公式为 2an+1 ________. 2an+1 1 1 1 1 解析:两边取倒数,得 = =2+ ,故有 - an an an+1 an+1 an
?1? 1 1 ? ?是首项为 = ,公差为 =2.故数列 a a1 3 ? n?

2 的等差数列,所

6n-5 1 1 3 以 = +2(n-1)= ,故 an= . an 3 3 6n-5 3 答案:an= 6n-5

2.已知数列{an}满足:a1=1,(n-1)an=n×2nan-1(n∈N, n≥2),则数列{an}的通项公式为________.
an n 解析:当 n≥2,有(n-1)an=n×2 an-1,故 = an-1 n-1
n

an-1 n-1 n-2 n-2 a2 n-1 an-2 ×2 ,则有 = ×2 , = ×2 ,?, a1 an-2 n-2 an-3 n-3
n

? 2 an ? n n? ? 2 = ×2 .上述 n-1 个式子累乘,得 =?n-1×2 ? 1 a1 ? ?

?n-1 ? ?n-2 ? ?2 ? ? ? n-1? n-2? 2 ×2 ?×? ×2 ?×?×? ×2 ?=n×2n+(n-1) ×? ?1 ? ?n-2 ? ?n-3 ?
+ (n-2)+?+2

?n-1??n+2? =n×2 .又因为 a1=1,所以 an= 2

?n-1??n+2? n×2 ,而当 n=1 时,a1=1×20=1,也满 2 ?n-1??n+2? 足上式, 故数列{an}的通项公式为 an=n×2 . 2

?n-1??n+2? 答案:an=n×2 2

3. 已知数列{an}中, 1=2, n+1-1=an+2n, a a 则数列{an} 的通项公式为________.
解析:因为 an+1-1=an+2n,所以 an=an-1+2n-1, 即 an-an-1=2n-1,所以 an-1-an-2=2(n-1)-1, an-2-an-3=2(n-2)-1,?,a2-a1=2×2-1,以上 各式相加得,an-a1=2×(2+3+?+n)-(n-1)=n2 -1.又因为 a1=2,所以 an=n2-1+2=n2+1.

答案:an=n2+1

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.下列说法中,正确的是 ( )

A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的 数列
?n+1? ? ? 1 ?的第k项为1+ C.数列? k ? ? ? n ?
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(三十)”

D.数列0,2,4,6,8,?可记为{2n}

?n+1? ? ? ? ?的通项公式为 解析:∵数列 ? n ? ? ?

n+1 1 an= n =1+n,

1 ∴ak=1+k.故 C 正确; 由数列的定义可知 A、 均错; B D 应记作{2(n-1)}.

答案:C

1 2.数列{an}满足an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn是数列{an} 2 的前n项和,则S21为 7 A.5 B. 2
9 C. 2

(

)

13 D. 2 1 1 1 解析: a1= -a2= -2, 2=2, 3= -2, 4=2, a a a ?, 2 2 2 1 1 1 知 a2n=2,a2n-1= -2,故 S21=10× +a1=5+ -2 2 2 2 7 = . 2 答案: B

3.如图关于星星的图案中,第n个图案中星星的个数为 an,则数列{an}的一个通项公式是 ( )

A.an=n -n+1 n?n+1? C.an= 2

2

n?n-1? B.an= 2 n?n+2? D.an= 2

解析:从图中可观察星星的构成规律,n=1 时,有 1 个;n=2 时,有 3 个;n=3 时,有 6 个;n=4 时,有 10 个,? n?n+1? 故 an=1+2+3+4+?+n= . 2

答案: C

4.若数列{an}满足

?2a ?0≤a ≤1?, ? n n ? an+1= ?an-1?an>1? ?

6 且 a1= ,则 7

a2 013=________. 12 5 解析:a2=2a1= ,a3=a2-1= , 7 7

10 3 a4=2a3= ,a5=a4-1= , 7 7 6 12 a6=2a5= ,a7=2a6= , 7 7 ∴此数列周期为 5, 5 ∴a2 013=a3= . 7
5 答案: 7


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