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必修四


一、基本概念:
1.角的概念的推广 (1)正角,负角和零角.用旋转的观点定义角, 并规定了旋转的正方向,就出现了正角,负角和 零角,这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
(2)象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合,始边与轴的非负半 轴重合,这样当角的终边在第几象限,就说这个角 是第几象限的角,若角的终边与坐标轴重合,这个

角不属于任一象限,这时也称该角为轴线角. (3)终边相同的角,具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角,所有与角终边相同的角(包含 角在内)的集合为. ? ? ? ? ? k ? 360 ? , k ? Z

?

? ? {? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z }

例1、求在 0 到 360 ( 0到2? )范围内,与下列各角终边相同的角

()、 1 ? 950 12? 19 (2)、 ? 3

129 48?

1 ? 3

终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。

一、角的基本概念
1.几类特殊角的表示方法

①象限角 第一象限角: (2k?<?<2k?+ ? 2 , k?Z) ? <?<2k?+?, k?Z) (2 k ? + 第二象限角: 2 第三象限角: (2k?+?<?<2k?+ 3? , k?Z) 2 第四象限角:

? <?<2k?+2?, k?Z 或 2k?- ? <?<2k?, k?Z ) (2k?+ 3 2 2

②轴线角 x 轴的非负半轴: ?=k?360? (2k?)(k?Z); x 轴的非正半轴: ?=k?360? +180? (2k?+?)(k?Z); y 轴的非负半轴: ?=k?360? +90? (2k?+ ? 2 )(k?Z); ?) 或 y 轴的非正半轴: ?=k?360? +270? (2k?+ 3 2 ?=k?360? -90? (2k?-? 2 )(k?Z); x 轴: ?=k?180? (k?)(k?Z); 坐标轴: ?=k?90? ( k? )(k?Z). 2 y 轴: ?=k?180? +90? (k?+ ? 2 )(k?Z);

例、终边落在象限平分线上的角度集合:

k? {? | ? ? ? , k ? Z} 4 2

?

典型例题
例 1. 若α是第三象限的角,问α/2 是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?

例1(90年,上海) α α 设α 角是第二象限且满足 | cos |? ? cos , 2 2 α 则 角属于( C )A.第-象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.

四、什么是1弧度的角? 长度等于半径长的弧所对的圆心角。

B r

B

2r O r A

O r

A

(3)角度与弧度的换算. 应熟记一些特 殊角的度数和弧度数. 在书写时注意不 要同时混用角度制和弧度制

180 ? 180 ? 1 ? ? rad
? ?
?

1 ?
?

?
180

rad

? 180 ? ? 1 rad ? ? ? ? 57.30 ? ? ?

(4)弧长公式和扇形面积公式.

l??r

? 1 1 2 2 S? ?? r ? ? r ? l r 2? 2 2

? 必为弧度制

n? n? l? ? 2 ? r ? r ? 180 360

n? n? 2 2 S? ?? r ? r ? 360 360

2、角度与弧度的互化

例、已知扇形的周长为100,问扇形的半径和圆 心角分别为多少时扇形面积最大?最大值是多少?
1 1 解: S ? lr ? (100 ? 2r )r ? ?r 2 ? 50r ? ?(r ? 25) 2 ? 625 . 2 2 l r ? 25, l ? 50, ? ? ? 2(rad )扇形面积最大值为625. r

特殊角的角度数与弧度数的对应表

角度

0? 30 ? 45 ? 60 ? 90 ?120 ?
? 6 ? 4
? 3 ? 2
2? 3

135 ? 150 ? 180 ? 270 ? 360 ?
3? 4

弧度 0

5? 6

?

3? 2

2?

y P MO A

2.正弦线、余弦线、正切线
正弦线: 有向线段MP
x

余弦线: 有向线段OM 正切线: 有向线段AT

T

注意: (1)圆心在原点,半径为单位长的圆叫单位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线
(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线,正切线变成一 个点;当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点, 正切线不存在。

sin ? ? ? ? tan ?

1 ? sin ? ? cos? ? 2

函数y=lg sinx+ cos x ? 1 的定义域是 2 A ( ) ? (A){x|2kπ<x≤2kπ+ (k 3 ∈Z)} 3? (B){x|2kπ≤x≤2kπ+ (k 2 ∈Z)} (C){x|2kπ<x≤2kπ+π (k∈Z)} ? (D){x|2kπ<x≤2kπ+ 3 (k∈Z)}

例5 已知角的终边经过点 P(3a,?4a) (a ? 0)

求 sin ? ? 2cos ?值。

a?0

a?0

4 3 2 sin ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? ? 5 5 5 4 2 ? 3? sin ? ? 2 cos? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 5 5 ? 5?

一、任意角的三角函数定义

y

P(x,y)


?的终边

y x sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r r r csc ? ? , sec ? ? , cot ? ? y x

y x x y

r
o
2

x

r? x ?y

2

三角函数值的符号:“第一象限全为正,二正三切四余弦”

同角三角函数基本关系:
平方关系
2 2

倒数关系

商式关系

sin ? ? cos ? ? 1 tan ? ? cot ? ? 1 tan ? ? sin ? 2 2 cos ? tan ? ? 1 ? sec ? sec ? ? cos ? ? 1 cos ? cot 2 ? ? 1 ? csc2 ? csc ? ? sin ? ? 1 cot ? ?
sin ?
tan ?
1 1

cos?
cot ?

sin ?

神奇的六边形

sec?

csc?

例.(1)已知 sin ? ?
(2) 已知 sin ? ?

4 ,并且 ? 是第二象限角,求 ? 的其他三角函数值. 5
4 ,求 ? 的其他三角函数值. 5

例.设α为第四象限角,其终边上的一个点是

P(x,? ), 5 且cosα=

2 x ,求sinα和tanα . 4

6.诱导公式:
公式1

sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan?

公式3:

sin(? ? ?) ? sin? tan( ? ? ?) ? ?tan? cos(? ? ?) ? -cos?

公式2:

sin(? ? ?) ? -sin? cos(? ? ?) ? -cos? tan( ? ? ?) ? tan?

公式4:

sin(2? ? ?) ? -sin? cos(2? ? ?) ? cos?

tan(2? ? ?) ? ?tan?

公式5:

sin(??) ? -sin? cos(??) ? cos?
tan(??) ? ?tan?

奇变偶不变, 符号看象限! (注意:把 ? 看作是锐角)

sin(
公式六:

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin ? ? ? ) ? cot ?

cos( tan(
sin(

?
2

?

2

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ? sin ? ? ? ) ? ? cot ?

公式七:

cos( tan(

?
2

?

奇变偶不变,符号看象限! (注意:把 ? 看作是锐角)

2


弧 度
sin ?

0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

0 ?
1 2

? ? ? 2? 3? 5?
4 3
2 2 2 2

6
3 2 3 3

2

3 4 6
3 2 ?1 ? ? 2 2 2 1 2 3 ? ? ? 2 2 2 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 3

?

3? 2

2?

cos ?
tan ? cot ?

0 1 0

1 2

3 2

1 0
0

3

1 1

3
3 3

?1 ?1

0 ?1 0 ?1 0 1 0 0 0

例 已知 sin ? ? 2 cos ? ,

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? 2 的值。 求 5 sin ? ? 2 cos ?

例:(04 湖南)
2 1 ? 3 若 tan ( ? ? ) ? 2 ,则 2 4 2 sin ? ? cos ? ? cos ?

?

解: 从已知 原式可化为 同除以
2

可求出 tan ( ? ? ) ? 2 4

?

1 tan? ? 3

sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos? ? cos2 ?
1 2 ( ) ?1 t an2 ? ? 1 2 ? 3 ? 1 2 t an? ? 1 2 ? ? 1 3 3

cos ? 得

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? 例.求证: 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan x
【解题回顾】

★证等式常用方法: (1)左边证明到右边或右边证明到左边(从繁到简为 原则) (2)两边向中间证 (3)分析法; (4)用综合法 ★ ★证等式的思路要灵活,根据等式两边式子结构特 点,寻求思路.

sinθ+cosθ, sinθcosθ , sinθ-cosθ 三个式子中,已知
其中一个式子的值,可以求出其余两个 式子的值。
(sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ,
(sinθ-cosθ)2=1-2 sinθcosθ,

三角函数图像和性质
函数 图象 y=sinx y=cosx y=tanx

定义
值域 奇偶性

R

R

x ? k? ?
R

?
2

[-1,1] 奇

[-1,1] 偶


? k? ? ,0 ? ? ? 2 ?

对称 中心

?k? ,0?

? ? ? ? k? ? ,0 ? 2 ? ?

函数

y=sinx
当x ? 2k? ?

y=cosx
?
2 ,

y=tanx

最值

y max ? 1 当x ? 2k? ? y min ? ?1

?
2

当x ? 2k? , ymax ? 1 当x ? 2k? ? ? , ymin ? ?1
x ? k?

,

无最值

对称轴 周期性

x ? k? ?

?
2




? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?增 ? ? ? 3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? 减 ? ? 2 2? ?



π
? ?? ? ? k? ? , k? ? ?增 2 2? ?

单调性

?2k? ? ? ,2k? ?增 ?2k? ,2k? ? ? ?减

五点作图法

y y=sinx
1

对称点:(k?,0)

k ∈Z ? 对称轴:x=k?+2

. ?/2 . . ? 3?/2 2? . -1 T/2
o y y=cosx
1



x

? 对称点:(k?+ ,0) 2



o -1


?/2

. . 3?/2
? 2?

对称轴:x=k?

k ∈Z

x

T/2

y=3sin(2x+?/6)的图像的一条对称轴方程是( B )
(A)x=0 (B)x= ?/6 (C)x=- ?/6 (D)x= ?/3

(二) y=Asin(ωx+φ)的相关问题
1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法 法一:五点法
列表取值方法:是先对ωx+φ取 0,π/2,π,3π/2,2π

法二:图象变换法 2、y=Asin(ωx+φ)关于 A、ω、φ的三种变换 (1)振幅变换(对A)

(2)周期变换(对ω)
(3)相位变换(对φ)

3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法
1、 先 由 图 象 确 定 A与 T
2? 2、 由 ω= 求 ω T 3、 特 殊 点 代 入 法 求

?

4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心 和对称轴方程 ? 2k?+?-2? 对 称 轴 : ωx+ ? =k?+ ?x= 2 2ω k?-? 整 数 ? 对 称 中 心 : ,0 ?k为 ω

?

?

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(A>0,
第一种变换:

?

>0 )

y ? sin x

图象向左( ? 向右( ?

?0

)或

?

0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )
1


横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ?
纵坐标不变

? 1 )到原来的 ?

y ? sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )
1


y ? sin x

? 横坐标伸长(0 ? ? ? 1 )或缩短(
图象向左( ?
向右(? 纵坐标不变 ?0 )或

? 1 )到原来的 ?

y ? sin ?x

?

0 ) 平移 | ? | 个单位
?

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

横坐标不变

5 ) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0,?>0)的一个周期内的图 象如图,则有( )
(A) y ? 3 sin(x ? (B) y ? 3 sin(x ?

?
6

) ) 6 ) )

?
3

(C) y ? 3 sin(2 x ? (D) y ? 3 sin(2 x ?

? ?
3

两角和与差的正弦、余弦、正切:

S(? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
S(? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? C(? +? ) : cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? C(? -? ) : cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? T(? +? ) : tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? T(? ? ? ) T、 注意: (? ? ? ) 的变形式以及运用和差公式时要会拼角
如:?

T(? -? ) tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ?

要 熟 悉 公 式 逆 用 !

? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), 2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? 与 ? ? 互余, +? 与 ? ? 互余
3 6 4 4

例 、求 1 ? tan15 的值 1 ? tan15 一个化同角同函数名的常用方法:辅助角公式

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? )

? a 2 ? b2 cos(? -? ) ? ? 如:sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) ? 2 cos(? ? ) 3 6 ? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos(? ? )
二倍角公式:

4

4

C2? : cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

S2? : sin 2? ? 2sin ? cos?
T2? : tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

升 幂 ( 缩 角 ) 公 式

1 ? cos ? 2? ? cos 2 2 1 ? cos ? 2? ? sin 2 2
和差化积公式:

降 幂 ( 扩 角 ) 公 式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

积化和差公式:

2 2 ??? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin 2 2

sin ? ? sin ? ? 2sin

???

cos

? ??

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2

例 :已知函数 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x, x ? R,
2 2

求:⑴函数的最小正周期;⑵函数的增区间;
解: y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x ? 1 ? sin 2x ? 2 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ) 4
2 2 2




3? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 8 8 3? ? ?函数的单增区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z )
8 8

? ? ? 由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 得 2 4 2

2? T ? ?? 2

例 :已知函数
求:

y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x, x ? R,
2 2

⑶函数的最大值 及相应的x的值;

⑷函数的图象可以由函数 样的变换得到。 2 解:

y ? 2 sin 2x, x ? R

的图象经过怎

? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ) 4 ? ? ? ⑶ 当2 x ? ? 2k? ? ,即x ? k? ? (k ? Z )时, y最大值 ? 2 ? 2 4 2 8 ? 图象向左平移 个单位 y ? 2 sin( 2 x ? ? ) y ? 2 sin 2 x ⑷ 8
图象向上平移2个单位

y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x ? 1 ? sin 2x ? 2 cos2 x ?

y ? 2 ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

4

sin 50? ? cos40?(1 ? 3 tan10?) 例2 计算 cos2 20? cos 40? ? cos 40?(1 ? 3 tan10?) 解 原式 ? cos2 20? cos 40?(2 ? 3 tan10?) ? cos2 20? cos 40?[(cos10? ? 3 sin 10?) ? cos10?] ? cos10o cos2 20?
cos 40?[2 sin( 30? ? 10?) ? cos 10?] ? cos10 o cos 2 20?

cos 40? ? 2 sin 40? ? cos 40? cos 10? ? cos10 o cos 2 20? sin 80? ? cos 40? cos 10? ? cos10 o cos 2 20?

cos10?(1 ? cos40?) ? 1 ? cos40? cos10?( ) 2

?2

平面向量 复习
表示 平 面 向 量 运算
向量的三种表示

向量的相关概念
三角形法则 平行四边形法则 向量平行、 垂直的条件 平面向量 的基本定理

向量加
法与减法

实数与 向量 的积 向量的数量积 向量的应用

1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.字母 2.向量的表示: 3.有向线段起点和终点字母 3.零向量: 长度为零的向量(零向量与任意向量
都平行)

4.单位向量: 5.平行向量: 6.相等向量: 7.共线向量:

长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 平行向量就是共线向量

向量的模(长度) 1. 设 a = ( x , y ), 则 a ?

x ?y
2

2

2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 AB = (x2 - x1 , y2 - y1) 为A(x ,y )、B (x ,y ) ,则
1 1 2 2

a ? AB ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

例1:判断下列各命题是否正确? () 1 a ? b , 则a ? b; (2)若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; (3)若 AB ? CD, 则四边形ABCD是平行四边形; (4)若a ? b, b ? c, 则a ? c; (5)若a // c, b // c, 则a // b

(6)共线向量都相等

(7)单位向量都相等

1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC

C

B

平行四边形法则

C

OA+OB= OC
A B O A

重要结论:AB+BC+CA= 0

坐标运算:

设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

2.向量的减法运算

1)减法法则:

B

OA ? OB ? BA
2)坐标运算

A O “同始点尾尾相接,指向被减向量”

? ( x2 , y2 ) 设:a ? ( x1, y1 ),b则
, y2 ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

思考:若 非零向量 a ? b ,则它们的模相等且方向相同。

a ? ?x1, y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 则 同样 若:

? x1 ? x2 a?b?? ? y1 ? y 2

与平面几何的结合:
(1)在平行四边形 ABCD 中 ① 若 AB ? AD , 则 ( AB ? AD ) ? ( AB ? AD ) ? 0 , 四边形ABCD是菱形 即 。 ② 若 AB ? AD , 则 AB ? AD ? AB ? AD 即
四边形ABCD是矩形 D C D




C

A

B

A

B

例1:( 1 ) AB ? AC ? DB ? ( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC

(2) AB ? BC ? AD ? ( A) AD ( B)CD (C ) DB ( D) DC

实数λ与向量 a 的积
定义:λa是一个

向量.
与a方向相同;

它的长度 |λa| = |λ| |a|;
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向

(2) 当λ<0时,λa 的方向 与a方向相反.

其实质就是向量的伸长或缩短。
坐标运算: 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)

= (λ x , λ y)
返回

? 平面向量的数量积

a θ

? (1)a与b的夹角: 共同的起点 0 ,1800] [0 ?(2)向量夹角的范围:

b

B

B A A A O B A

B O O A B

a O θ
O

b

(3)两个非零向量的数量积:

a· b = |a| |b| cosθ

规定:零向量与任一向量的数量积为0 几何意义: 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b

B
b

O θ

a
B1 A B1

θ
O a

θ
A O (B1)

a
A

5、数量积的运算律: ⑴交换律: a ? b ? b ? a ⑵对数乘的结合律: (? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b) ⑶分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

注意: 数量积不满足结合律

即: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
返回

3.平面向量的数量积的性质 (1)a⊥b ? a· b= 0

(2)a· a=|a|2 或 |a|=√a· a

( 5) ( a ? b)

2

? a ? 2a ? b ? b

2

2

2 2 a ?b (3) cosθ ? (4)|a·b|≤|a||b| ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b a?b 4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2,

|a|2=x21+y21,|a|=√x21+y21,a⊥b <=>x1x2+y1y2=0 (2) cosθ ?

x1 x 2 ? y1 y2
2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2

(3)设a起点(x1,y1),终点(x2,y2) 则 a ?

? x1 - x2 ? ? ? y1 - y2 ?
2

2

二、平面向量之间关系
向量平行(共线)条件的两种形式:

(1)a // b(b ? 0) ? a ? ? b; (2)a // b(a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
向量垂直条件的两种形式:

(1)a ? b ? a ? b ? 0 (2)a ? b ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

3、平面向量的坐标运算
(1)e1、e2不共线,a=λ1e1+λ2e2 (存在一对 实数λ1,λ2) (λ1,λ2唯一的)。 (2)a=xi+yj (x,y)为a的直角坐标,a=(x,y)

2、实数与向量的积
例2 设a,b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b

2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ

k=-λ



λ=-1

k=-1

∴k=-1

练习1:判断正误,并简述理由。
1.若a ? 0, b ? 0,则a ? b ? 0 2.若a ? b ? 0,则a ? 0或b ? 0 3.若a ? b ? a ? c,且a ? 0,则b ? c 4. a ? a ? a ? a 5. a ? b ? a ? b ,则a // b 6. a ? b ? a ? b ,则a ? b
2 2

( ( (

× × ×
) ) )

) ) )

( ( (

√ √ √

平面向量复习 2. 设AB=2(a+5b),BC= ?2a + 8b,CD=3(a ?b), 求证:A、B、D 三点共线。 分析
要证A、B、D三点共线,可证 AB=λBD关键是找到λ

解: ∵BD=BC+CD= ?2a + 8b+ 3(a ?b)=a+5b
∴AB=2 BD AB∥ BD

且AB与BD有公共点B

∴ A、B、D 三点共线


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