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2.7。归纳一元二次不等式的解法(4)


本节课学习内容:

2.3 一元二次不等式解法(4)
学习目标:
要求同学们: 掌握一元二次不等式 的应用。

一、复习

一元二次不等式的解法:

ax2 + bx + c >(≥) 0( a > 0) ax2 + bx + c <(≤) 0 ( a >

0) 记住步骤:
(1) 二次项系数化为正数; (2) 令:ax2 + bx + c = 0;

(3) 计算 △= b2 - 4ac ,判断方程的根; (4) 写出结论:根据一元二次方程的根,结合不等 号的方向,写出不等式的解集。

记注:一元二次不等式 (a>0) 的解集 :
方程或 不等式 ax2+bx+c=0 ax2 +bx+c>0 ax2 +bx+c≥0 ax2 +bx+c<0 ax2 +bx+c≤0





△>0
{ x1, x2 } (x1<x2) (-∞,x1)∪(x2+ ∞) (-∞,x1] ∪[ x2+ ∞) ( x1 , x2 ) [x1, x2 ]

△=0
{ x0 } (-∞,x0) ∪(x0+ ∞) R

△<0
φ
R R

φ
{X0}

φ φ

当a < 0 时,不等式两边同时乘以 -1,就可以转化为 a > 0 的情况。

课本33页 例2

x是什么实数时,

3x2 ? x ? 2 有意义?

解:根据题意得,不等式 3x2 - x -2 ≥ 0 由 3x2 – x – 2 = 0 得 △=(-1)2 - 4×3×(-2) = 25 > 0 解得: x1= -2/3,x 2 = 1 ∴ 原不等式 的解集为 (- ∞,-2/3] ∪[1,+ ∞) 即当 x ∈(- ∞,-2/3] ∪[1,+ ∞)时,

3x2 ? x ? 2 有意义。

练 习
课本33页 A组 2、

x 是什么实数时,

4 x ? 16 有意义?
2

4x2-16≥0 的解集为 (- ∞,-2 ] ∪[ 2 ,+ ∞) 即当 x ∈(- ∞,-2] ∪[2,+ ∞)时, 根式有意义。 课本33页 B 组

补充例题:
已知一元二次方程x 2 ? 2mx ? 6 ? 0有实数解, 求m的取值范围。
解: 因为方程有实数解,所以 ? ≥ 0 由 △= (-2m)2 - 4×1×6 ≥ 0 得 4m2 – 24 ≥ 0 即 m2 ≥ 6

? m?? 6 或 m? 6

m 的取值范围是 : (??,? 6 ] ? [ 6 ,??)

练习
解下列不等式:

△= b2 - 4ac ≥ 0

x1、2

? b ? b 2 ? 4ac ? 2a

(1)、 x2 + 2x+ 6>0

(3)、 2x-1>3x2
作业:

(2)、6x -x2 +16≥0 (4)、 x2+3x - 8>0
B组应用题

课本第33页 习题 23 A 组 第 2 题

课本第36页 复习题2 A 组 第 4 (1)(2)(3)(4) 题 下节课学习课本第 34-35 页: 2.4.1 不等式 |x| < a 或 |x| > a . 请同学们预习

练习

解下列不等式:

(1)、 x2 + 2x+ 6>0
解:因为△=22- 4×1×6 = -20<0 ∴ 原不等式解集为: (- ∞,+ ∞)

(2)、6x -x2 +16≥0
解:∵a=-1 , ∴两边乘以 – 1 得 x2 – 6x - 16 ≤ 0 由x2 - 6x – 16 = 0的解

x1 = - 2, x2 = 8 , ∴ 原不等式解集为[-2 , 8]

(3)、 2x-1>3x2
解:原不等式变形得: 由3x2- 2x +1=0 得 对应的△=(-2)2 - 4×3×1= - 8 <0, 3x22x +1<0

(4)、 x2+3x - 8>0
解:令:x2+ 3x - 8 =0 得 对应的△= 32 - 4×1×(-8)= 41 >0,
x1、2
? 3 ? 41 ? 3 ? 41 ? x1 ? ? 2 2 ?1

x2 ?

? 3 ? 41 2

∴ 原不等式的解集为 空集。

? 原不等式的解集为 : (??,

? 3 ? 41 ? 3 ? 41 )?( ,??) 2 2

课本第36页 复习题 2 A 组 第 4 题

一、复习

一元二次不等式的解法:

ax2 + bx + c > 0( a > 0) ax2 + bx + c < 0 ( a > 0)
步骤: (1) 令:ax2 + bx + c = 0 (2) 求出 △= b2 - 4ac (3) 当△>0时, 由因式分解或求根公式:
x1、2 ? b ? b 2 ? 4ac ? 2a ( x1 ? x2 ) 求出方程的根

(4)写出结论: ax2 + bx+c > 0的解集为: 当y>0时 {x\ x<x1 或 x > x2}。 也可以写成 (- ∞,
x1) ∪(x2,+ ∞)

ax2 + bx+c < 0的解集为:

0 x1

x2
当y<0时

{x\ x1 <x < x2} 。也可以写成 ( x1 ,x2)

当 △= b2 - 4ac = 0时
由求根公式: b x1、2 ? ? ( x1 ? x2 ) 求出方程的根 2a 结论:ax2 + bx+c > 0的解集为: {x|x≠x1,x∈R} 也可以写成 (- ∞, x1) ∪(x1,+ ∞) ax2 + bx+c < 0的解集为:φ 当 △= b2 - 4ac < 0 时

ax2 + bx+c < 0为φ

方程ax2 + bx + c = 0无解 结论:ax2 + bx+c > 0的解集为:R

也可以写成 (- ∞, + ∞)
ax2 + bx+c < 0的解集为:φ ax2 + bx+c < 0为φ

二次方程的根式与不等式的关系 :

方程或 不等式

△>0

△=0 x1=x2= ? b 2a

△<0

ax2+bx+c=0 (a>0) ax2 +bx+c>0 (a>0) ax2 +bx+c<0 (a>0)

x=x1 或x=x2

无实数解 R

{ x |x<x1或x>x2 } { x |x≠ ? b } 2a (-∞,x1)∪(x2,+ ∞) { x |x1<x<x2} (x1 , x2) φ

φ

当a < 0 时,不等式两边同时乘以 -1,就可以转化为 a > 0 的情况。

思考:x是什么实数时,函数 y = x2- 4x+1 (1)等于0?(2)是正数?(3)是负数 分析:将问题等价转化为 y = x2-4x+1, 当 y = 0, y > 0, 及 y < 0 时,求 x 取值.
解:(1)因为x2-4x+1=0,其△=16 - 4>0

y

0

x1

x2
△> 0

x

其解集为 {x | x1 ? 2 ? 3 或 x2 ? 2 ? 3}

所以

(1) 当x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3时, y ? 0

(2) 当x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? 3 时, y ? 0 (3) 当2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 时, y ? 0


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