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2.1.2 指数函数及其性质(1)


2.1.2 指数函数及其性质(1)

问题1: 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4 个,……, 一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞的个 数y与x的函数关系式是什么?

y?2

x

??

问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半, 第二次再剪去剩余绳子的一

半,……剪了x次后绳 子剩余的长度为y米,试写出y与x之间的函数关系.

1 x y?( ) 2

??

以上两个实例得到的函数:

(1) y ? 2

x

定义域: {x |

x? N }
*

1 x * {x | x ? N } (2) y ? ( ) 定义域: 2
两个的共同形式: y

?a

x
x

思考:对于怎样的 a ,

y?a

是一个函数,且定义域R.

y?a
1 x? ?a?0 说明: 2 x ? ?1 ? a ? 0

x

? ?a ? 0 ?

a ? 1 ? y ? 1x ? 1
无研究意义

且a ? 1 ) 定义: 函数 y ? a (a ? 0, 叫指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
x

问下列函数是指数函数吗? (1) y ? 4x ; (2) y ? x4 ; (3) y ? ?4 x ; (4) y ? (?4) x ; x x2 x x 1 (5) y ? ? ; (6) y ? 4 ; (7) y ? x ; (8) y ? ( ) ? 1 ; 4 4
(9) y ? (2a ? 1) x (a ? 1 , 且 a ? 1) . 2

答: (1),(5),(9) 是指数函数;

1 x 1 (8) 是指数函数 ( ) 与 的和 . 4 4

例1.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值, 并写出这个指数函数. 解:∵ y =(a2-3a+3 )ax是指数函数,


a 2 ? 3a ? 3 ? 1

a ? 0且a ?1



a ? 1或 a ? 2 a ? 0, 且 a ? 1

? a ? 2.
故所求指数函数为:y ? 2 x .

下面研究: 指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质 1 x x 先画出函数 y ? 2 , y ? ( ) 的图象 . 2
x 1 ?x y ? ( ) y? y ? x2 . 2 2

y
8 7 6

.y ? 2 .
1 2 3 4

x

.
-4 -3 -2 -1

5 4 3

. . . . . . o. . .
2 1

x

1 x 再画出函数 y ? 3 , y ? ( ) 的图象 . 3
x

y ? ( 1 )x 3

y
8 7 6 5 4 3 2 1

y ? 3x

y ? ( 1 )x 2

y?2

x

-4

-3

-2

-1

o

1

2

3

4

x

同样还可以画出函数 y ? 1.6 , y ? 0.7 ?等的图象 .
x x

y ? ( 1 )x 2

y ? ( 1 )x 3

y
8 7 6 5 4 3 2 1

y ? 3x

y ? 2x
y ? 1.6 x

y ? 0.7

x

-4

-3

-2

-1

o

1

2

3

4

x

下面研究:

指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
y ? ( 1 )x 2

y ? ( 1 )x 3

y
8 7 6 5 4 3 2 1

y ? 3x

y ? 2x
y ? 1.6 x

y ? 0.7

x

-4

-3

-2

-1

o

1

2

3

4

x

(2)值域:(0 , +∞)

(5)当 x>0 时, y>1;

(5)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1.

当 x<0 时,0<y<1.

1 x ( 6) y= a 与 y= ( ) ( a ? 0且a ? 1 )的图象关于 y 轴对称. a ( 7 ) 底数 a 越大,函数图象在 y 轴右侧部分越接近 y 轴正 半轴 . y ? ( 1 )x y y ? 3x
x

y ? ( 1 )x 2

3

8 7 6 5 4 3 2 1

y ? 2x

即: 当 a1>a2 , x>0 时,有
x a1x ? a2 .

y ? 0.7

y ? 1.6 x

x

-4

-3

-2

-1

o

1

2

3

4

x

思考:函数y ? a x?1 (a ? 0, 且a ? 1)的图象过定点

.

例2.比较下列各题中两个值的大小:

(1) 1.7 ,1.7 ; (2) ? 0.8?0.1 ,? 0.8?0.2 ;
0.3 3.1 ?0.81 0.92 10 7 0.9 . (3) ( ) , ( ) ;(4) 1.7 , 10 7

2.5

3

解:(1) ? 1.7 ? 1 , y ? 1.7 x 是增函数,

又 2.5 ? 3 ? 1.72.5 ? 1.73 .
(2) ? 0 ? 0.8 ? 1 , y ? 0.8 是减函数,
x

又 ? 0.2 ? ?0.1 ? 0.8?0.1 ? 0.8?0.2
? ? 0.8?0.1 ? ?0.8?0.2 .

?0.81 0.92 10 7 (3) ( ) , ( ) ; 10 7 解: ? ( 7 )?0.81 ? ( 10 )0.81 , 且 10 ? 1 , 7 10 7 ? y ? (10) x 是增函数. 7 又 0.81? 0.92

? ( 10 )0.81 ? ( 10 )0.92 , 7 7 即 ( 7 )?0.81 ? ( 10 )0.92 . 10 7

(4) 1.7 , 0.9

0.3

3.1

.
0

解:由指数函数的性质知

1 .7

? 1.7 ? 1, 3.1 0 0.9 ? 0.9 ? 1,
0.3

? 1.7

0.3

? 0.9 .
3.1

思考: 如图

B

1

例3、求下列函数的定义域和值域:
(1)y ? 1 ? 2 x ;(2)y ? 2
2

1? x



x 2 ?1 1 3? 2 x ? x (3) y ? ( ) ;(4)y ? x ; 4 2 ?1

(5)y=4x+2x+1-3。

练习、求下列函数的定义域和值域: ( 1) y ? 3 ? 1 ; 9 ( 3) y ? ( 1 ) x ? 2 2 ? x ? 3 ; 1 4
2 x ?1

(2)y ? 2

2 x? x2

; ;

(5)y=(5〃2x-4x-4)2 。

2 x ? 3x (4)y ? x x 2 ?3

课后作业
1.教材59页习题2.1 A组第5~9题; 2.《乐学》2.1.2(1)


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