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高三数学模拟试题(三)理科

时间:2011-04-20


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高三数学模拟试题(三)理科
一、选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.)
1.已知函数 f ( x ) =

ax ? 5 ,若 y = f (2 x ? 3) 的反函数为 y = g ( x ) ,且 g (2) = 1 ,则实数 x+2
( D.8 ( ) )

a 的值为
B. 7 C. 3 2.设 a=(3,4) ⊥ b 且 b 在 x 轴上的投影为 2,则 b= ,a A. (2, ) . A.-7

8 3

B. (2, ? )

3 2

C. (2, ? )

8 3

D. (?2, ) ( )

3 2

3.已知 sin x = sin α + cos α , cos x = sin α cos α ,则 cos 2x = A.0 B. 1 C. -1 D.不确定

uuu r uuur uuu uuu r r uuu r 4.已知 O 是△ABC 内一点,点 D 在 BC 上,且 BD = 2 DC , BA + BD = 2 BO ,则 (
A. AO = OD 5.函数 f ( x ) = 小值为 A.



uuur

uuur

B. AO = 2OD

uuur

uuur

C. AO = 3OD

uuur

uuur

D. 2AO = OD

uuur

uuur

1 sin 2 x ,对于任意的 x ∈ R ,都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 的最 2
( B. )

π
4

π
2

C. π

D. 2π

6.设 a, b, c 是空间三条不同的直线,α , β 是空间两个不重合的平面,则下列命题中,逆命题不成立 的是 A.当 b ? α ,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b ⊥ c, 则 a ⊥ b. B.当 b ? α ,且 c ? α 时,若 c // α , 则 b // c. C.当 b ? α 时,若 b ⊥ β , 则 α ⊥ β . D.当 c ⊥ α 时,若 c ⊥ β ,则 α // β . 7.如图,ABCD—EFGH 为边长等于 1 的立方体,若 P 点在立方体内部 且满足 AP = A.
5 6





H E P D A B F

G

3 1 2 AB + AD + AE ,则 P 点到直线 AB 的距离为( 4 2 3



B.

181 12

C.

30 6

D.

5 6

C

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8.设函数 y = xsinx + cosx 的图像上的点(x,y)处的切线的斜率为 k = g (x),则函数 k = g (x)的图象大 致为 ( )

A.

B.

C.

D.

9.如图:在正三棱锥 P—ABC 中,M,N 分别是侧棱 PB、PC 上的点,若 PM : MB = CN : NP=2:1, 且平面 AMN⊥平面 PBC,则二面角 A—BC—P 的平面角的余弦值为 ( )

2 2 A. 3
C.
7 4

6 B. 3
D.

P N

15 9

A

M B

C

10.已知点 A (–1, 0),B (0, 2),当平移抛物线 y2 = x 并使它的顶点在线段 AB 上运动时,抛物线截直 线 y = x 的线段长的最大值是 A. 34 B. 10 C.
3 2 2

( D. 3 2



二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在题中横线上.)
11.圆 x2 + y2 = 8 内有一点 P0 (–1,2),当弦 AB 被 P0 平分时,直线 AB 的方程为 12.函数 y = sin 13.椭圆
x2 a2 +
2x 2x π + cos( + ) 的图象中相邻两条对称轴的距离是 3 3 6





y2 b2

= 1 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C、D,若四边形 ABCD 的内切圆恰好过椭圆的

焦点,则椭圆的离心率 e =

. .

14.若双曲线 x2 – y2 = 1 右支上一点 P (a, b)到直线 y = x 的距离是 2 ,则 a + b 的值为

15 . 底 面 边 长 和 侧 棱 长 之 比 为 1 : 2 的 正 四 棱 柱 内 接 于 球 , 则 正 四 棱 柱 与 球 的 体 积 比 为 .

16. 如图, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 点 在运动过程中,保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是 .

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17.设正数数列 {an } 的前 n 项之和是 bn ,数列 {bn } 前 n 之积是 cn ,且 bn + cn = 1 ,则数列 ? 最接近 108 的项是第 项.

?1? ?中 ? an ?

三、解答解(本大题有 5 小题,共 72 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = a + b sin 2 x + c cos 2 x 的图象过 A (0, ,( 1) B 取得最大值 2 2 ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)将函数 f ( x ) 的图象按向量 a = ( m, n)( m <

π
4

, , 1) 且当 x ∈ [0,

π
4

] 时 f ( x)

r

π
2

r ) 平移后,得到一个奇函数的图象,求向量 a .

19. (本小题满分 14 分) 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心, 点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP. (Ⅰ)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (Ⅱ)设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H⊥AP; D1 (Ⅲ)求点 P 到平面 ABD1 的距离. O ·
A1 · H B1

C1

P D A B C

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = 2e 2 x + 2 x + sin 2 x . (1)试判断函数 f ( x ) 的单调性并说明理由;

? f (2kx ? x 2 ) > f (k ? 4) (2)若对任意的 x ∈ [0,1] ,不等式组 ? 恒成立,求实数 k 的取值范围. 2 ? f ( x ? kx) > f (k ? 3)

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21. (本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 满足: a1 = 2, a2 = 3, 2an +1 = 3an ? an ?1 ( n ≥ 2) . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求使不等式

an ? m 2 < 成立的所有正整数 m, n 的值. an +1 ? m 3

22. (本小题满分 15 分) 如 图 , 过 抛 物 线 C : x = 4 y 的 对 称 轴 上 一 点 P (0, m)( m > 0) 作 直 线 l 与 抛 物 线 交 于
2

A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 两点,点 Q 是 P 关于原点的对称.
(1)求证: x1 x2 = ?4m ; (2)设 P 分有向线段 AB 所成的比为 λ ,若

uuu r

uuu r uuu r uuu r QP ⊥ (QA ? ? QB ) ,求证: λ = ? .

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数学答题卷(理)
选择题得分
班级___________________姓名_________________考号_____________________学号_________________

非选择题得分

总分

二、填空题(本大题有 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分.) 11、 11、 13、 13、 15、 15、 17、 17、 ;12、 12、 ;14、 14、 ;16、 16、 . ; ; ;

三、解答题(本大题有 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
18. (本小题满分 14 分) 解:

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19. (本小题满分 14 分) 解:
A1 · H P D A B C D1 O · B1 C1

20. (本小题满分 14 分) 解:

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21. (本小题满分 15 分) 解:

班级___________________姓名_________________考号_____________________学号_________________

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22. (本小题满分 15 分) 解:

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数学(理)试题参考答案
一.选择题: 选择题: 1.A 2.B 填空题: 二.填空题: 11.x-2y+5=0 3.C 4.A 5.B 6.C 7.A 8.A 9.D 10.D

12.

3π 2

13.

5 ?1 2

14.

1 2

15. 3 2 : 4π

16.线段 B1C

17.10

(简解 三.解答题: 简解) 解答题: 简解) ( 18.解: (1)由 a + c = 1, a + b = 1 知 a = 1 ? b, c = b ,则 f ( x ) = 1 ? b + 2b sin(2 x + 由当 x ∈ [0,

π
4

),

π
4

] 时 f ( x) 取得最大值 2 2 ? 1 易得当 b ≥ 0 时无解;当 b < 0 时可求 b=2,则

f ( x) = 2 2 sin(2 x + ) ? 1 . 4
(2)将函数 f ( x ) 的图象按向量 a= ( m, n)( m <

π

π
2

) 平移后,得到一个奇函数的图象,即为

f ( x) = 2 2 sin 2 x ,则 a= ( ,1) . 8
19.解: (1) ∠PAB 即为所求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成 的角 tan ∠PAB =

π

4 17 ,所以直线 AP 与平面 BCC1B1 17 4 17 . 17

所成的角为 arctan

(2)由 D1O ⊥ A1C1 , AA1 ⊥ D1O 得 D1O ⊥ 平面 A1 APC1 ,从而有 D1H⊥AP. (3)作 PQ ⊥ BC1 于 Q, PQ 即为所求点 P 到平面 ABD1 的距离,易求 PQ = (也可以用向量法解决) 20.解: (1) f ' ( x ) = 4e 2 x + 2 + 2 cos 2 x > 0 ,则 f ( x ) 在R上为增函数.

3 2 . 2

? x 2 ? 2kx + k ? 4 < 0 ?2kx ? x 2 > k ? 4 ? (2)由(1)可得 ? 2 在 x ∈ [0,1] 恒成立,即 ? 在 4 k < x +1+ ?2 ? x ? kx > k ? 3 ? x +1 ? k ?4<0 ? x ∈ [0,1] 恒成立,由第一个式子得 ? ? ?3 < k < 4 ,由第二个式子 ?1 ? 2k + k ? 4 < 0
得 k < x +1+

4 ? 2 的最小值 2,综上实数 k 的取值范围为 ?3 < k < 2 x +1
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21.解: (1)由 2an +1 = 3an ? an ?1 ( n ≥ 2) 得 2( an +1 ? an ) = an ? an ?1 ( n ≥ 2) 则数列 {an ? an ?1} 是以

1 1 1 a2 ? a1 = 1 为首项, 为公比的等比数列,则 an ? an ?1 = ( )n ? 2 ,由累加法得 an = 4 ? ( ) n ? 2 . 2 2 2 1 4 ? ( )n?2 ? m an ? m 2 2 2 < 即为 < ,显然 m ≥ 4 无解,则易得 (2)不等式 1 an +1 ? m 3 4 ? ( )n ?1 ? m 3 2

?m = 1 ?m = 2 ?m = 3 或? 或? ? ?n =1 ? n =1 ?n = 2 ? y = kx + m 得 2 ? x = 4y

22.证明: (1)设 l 方程为: y = kx + m ,由 ?

x 2 ? 4kx ? 4m = 0 ,所以 x1 x2 = ?4m
( 2 ) 由 P 分 有 向 线 段 AB 所 成 的 比 为 λ 得

uuu r

x1 = ?λ , 由 x2

uuu r uuu r uuu r QP ⊥ (QA ? ? QB ) 得 2m[ y1 ? ? y2 + (1 ? ? )m] = 0 从 而 x12 x2 ? ? 2 + (1 ? ? )m = 0 , 把 x1 x2 = ?4m 代 入 上 式 得 4 4

(

x1 2 x ) ? (1 ? ? ) 1 ? ? = 0 ,则 λ 2 + (1 ? ? )λ ? ? = 0 ,所以 λ = ?1 或 λ = ? ,而显然 λ > 0 , x2 x2

所以 λ = ? .

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