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第二讲 高一数学三角恒等变换二倍角公式的应用(含答案)

时间:2017-09-08


第二讲:二倍角正弦、余弦、正切公式
一【基础知识讲解】
1、 二倍角的正弦公式:
sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin ? ? cos? ) 2

2、二倍角的余弦公式:
cos 2? ? cos2 ? ?

sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

, 1 ? cos ? ? 2sin 2

?

3、二倍角的正切公式: tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

4、半角公式:
cos

?
2

??

1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? ? 2 2 2

tan

?
2

??

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

更好用) ? (后两个不用判断符号,

二【例题讲解】

★★★考点 1:二倍角的正弦公式
1. sin 15°sin 30°sin 75° 的值等于( A.
3 4

). C.
1 8

B.

3 8

D.

1 4

C【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° = sin 150°sin 30°= .
1 2

1 8

2.化简 2sin( -x) ·sin( A.sin2x

π 4

π +x) ,其结果是( 4

B

) D.-sin2x

B.cos2x

C.-cos2x

2sin(π/4+x)sin(π/4-x)=2sin(π/4+x)cos[π/2-(π/4-x)] =2sin(π/4+x)cos(π/4+x)=sin[2(π/4+x)]=sin(π/2+x)=cos2x

3.已知 0 ? A ? A.
4 25

?
2

,且 cos A ?

3 ,那么 sin 2 A 等于( 5 7 12 B. C. 25 25

D

) D.
24 25

4.cos

2? ? cos 的值等于( 5 5

A

)乘一个 sin(π/5),再除一个 sin(π/5)

A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

☆变式训练☆
1 1. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? ( C 3 1 8 A. ? B. ? 2 9

) C.
1 2

D.

8 9

2. sin 6? ? cos 24 ? ? sin 78 ? ? cos 48 ? 的值为( A. A
1 16

). C.
1 32

B. ?

1 16

D.

1 8

sin 6? ? cos 24 ? ? sin 78 ? ? cos 48 ? ? sin 6? cos12? cos 24? cos 48?
2 4 cos 6? sin 6? cos12? cos 24? cos 48? sin 96? 1 ? ? ? 4 16 cos 6? 16 2 cos 6?

3.已知
19 .解 : ?

?
2
2

? ? ?? ?
?? ? ? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求sin2? 4 13 5
3? 4

?

?0 ? ? ? ? ?

?

4 5 4 ? sin(? ? ? ) ? , cos( ? ? ?) ? ? 13 5 ? sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) 3 12 4 5 56 ? ? ? ? (? ) ? ? ? 5 13 5 13 65

,? ? ? ? ? ?

3? 2

★★★考点 2:二倍角的余弦公式

1. cos4

? ? ? sin 4 等于( 8 8


2 2

A.0 B
cos4

B.

C.1

D.-

2 2

? ? ? ? ? ? ? 2 ? sin 4 ? (cos2 ? sin 2 )(cos2 ? sin 2 ) ? cos ? . 8 8 8 8 8 8 4 2

2. (cos A.

?
12
?

? sin
3 2

?
12

)(cos
?

?
12
1 2

? sin

?
12

) ?( D



B.

C.

1 2

D.

3 2

π? ? π? 3. 函数 y = sin ? ? x ? ? sin ? x ? ? 的周期为( ? 4? ? 4?

). C. π D. 2π
2 ?? 2 2 ?

A.

π 4

B.

π 2
π π

? ? ? ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x ? C【解析】y = sin ? x ? ?sin ? x ? ? ? ? ?? 2 ? 4? ? 4? ? 2 2 ? ? 2 ?? ?

? 2

= sin2 x- cos2 x= - cos 2x.∴ T =

1 2

1 2

1 2

2π ?π. 2

4. 若α∈ ? ? π,
?

3π ? ,则 1 ? sin α ? 1 ? sin α 等于( ? 2? 1 ? sin α ? 1 ? sin α

C

).

A. tan

α 2

B. sin

α 2

C. cot

α 2

D. cos

α 2

☆变式训练☆
1.
2sin2? cos2? ? ?( 1 ? cos2 ? cos2 ?

B ) C. 1 D.
1 2

A.

tan?

B.

tan2 ?

2.已知 x 为第三象限角,化简 1 ? cos 2 x ? ( A.
2 sin x

A

) D. ? 2 cos x

B. ? 2 sin x

C.

2 cos x

3.已知 cos 2? ?
2 3

2 ,则 cos4 ? ? sin 4 ? 的值为( 3

C )
4 9

A. ?

B.

2 3

C.

D.1

★★★考点 3: 二倍角的正切公式

1.已知 x ? (? A.
7 24

?
2

, 0) , cos x ?

4 ,则 tan 2 x ? ( 5

D )
24 7

B. ?

7 24

C.

24 7

D. ?

2.若 cos ? , sin ? ? ,则角 ? 的终边一定落在直线( D
2 2

?

3 5

?

4 5

)上。

A. 7 x ? 24 y ? 0

B. 7 x ? 24 y ? 0

C. 24 x ? 7 y ? 0

D. 24 x ? 7 y ? 0

☆变式训练☆

1 1.已知 tan 2? ? ,求 tan ? 的值. 3 1 2 tan ? 1 ? . tan ? = ?3 ? 10 解:由 tan 2? ? 得 2 3 1 ? tan ? 3

三【课后习题】
1. 求 cos A.

?
11

cos

1 25

2? 3? 4? 5? cos cos cos ?( 11 11 11 11 1 B. C. 1 D. 0 24

A



2. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

4 ,则这个三角形底角的正弦值为( A ) 5

A.

10 10

B. ?

10 10

C.

3 10 10

D. ?

3 10 10

3. 2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值等于( A. sin 2 D B. ? cos 2

). C. 3 cos 2 D. ? 3 cos 2

2 ? sin 2 2 ? cos 4 ? (1 ? sin 2 2) ? (cos 4 ? 1) ? cos 2 2 ? 2 cos 2 2

? 3 | cos 2 |? ? 3 cos 2 .

4.已知 ? 为第二象限角, 25sin 2 ? ? sin ? ? 24 ? 0 ,则 cos A. ? B
3 5

?
2

的值为( D. ?
4 5

).

B. ?

3 5

C.

2 2

由 25sin 2 ? ? sin ? ? 24 ? 0 得 sin ? ?

24 或 sin ? ? ?1 (∵ ? 为第二象限角,故舍 25

去) ,∴ cos? ? ? ∴ 2 cos2

? 7 ,且 为第一或者第三象限角, 2 25
7 , 25

3 ?? . 2 2 5 cos 2? ? sin 2? 5.已知 sin? ? 2 cos? ? 0 ,求 的值. 1 ? cos2 ? ?1 ? ?

?

故 cos

?

由 sin? ? 2 cos? ? 0 ,得 sin? ? ?2 cos? ,又 cos? ? 0 ,则 tan? ? ?2 , 所以
cos 2? ? sin 2? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 sin ? cos? ? 1 ? cos2 ? sin2 ? ? 2 cos2 ?
1 ? tan 2 ? ? 2 tan? 1 ? (?2) 2 ? 2(?2) 1 ? ? ? . 6 tan 2 ? ? 2 (?2) 2 ? 2