黑龙江省哈三中2012届高三上学期期末考试(数学理)

考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时 间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效， 在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷
一项是符合题目要求的) 1. 抛物线 y ? 8x 的焦点坐标是
2

（选择题, 共 60 分）

一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有

A.

(0,

1 ) 32

1 ,0) B. 32 (
2

C. (2,0)

D. (0,2)

2. 已知命题 p : ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0 ，则命题 ?p 是 A. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

B. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

C. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

D. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

1 ? ? B ? ? y | y ? ( ) x , x ? 1? A ? ?y | y ? log 3 x, x ? 1?， 2 ? ? ，则 A ? B ? 3. 已知集合
A. ?

B.（0,1）

1 , C. ( 2 1)

1 D. (0, 2 )

1 f ( x) ? ( ) x ? x ? 2 2 4. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为
A. (?1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
' '

5. 对任意实数 x 有 f (? x) ? ? f ( x) ， g (? x) ? g ( x) ，且 x ? 0 时， f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 则 x ? 0 时，下列各式一定成立的是 A. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

B. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

C. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

D. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

6. 如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形， 则下列命题中错误的是 A. AC ? BD B. AC ∥平面 PQMN C. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 成 45 角
?

A N

P B

D M Q （第 6 题图） C

? 7. ?ABC 是等腰三角形， ?B ? 120 ，则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为

1? 2 2 A.
8. 给出以下四个命题：

1? 3 2 B.

C. 1? 2

D. 1? 3

（1）在 ?ABC 中，若 A ? B ,则 sin A ? sin B ；

（2）将函数

y ? sin(2 x ?

?

? 3 的图象向右平移 3 个单位，得到函数 y ? sin 2 x 的图象；
)

（3）在 ?ABC 中，若 AB ? 4 ， AC ? 13 ， （4）在同一坐标系中，函数 y ? sin x 与函数 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3

B?

?
3 ，则 ?ABC 为锐角三角形；

y?

x 2 的图象有三个交点；

D. 4

?x ? 0 ? ?x ? 3 y ? 4 ?3 x ? y ? 4 9. 若不等式组 ? 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 4 分成面积相等的两部分，则

k 的值为
? 17 3
B. ? 5 C. ? 6

?
D.

A.

19 3

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a, b ? 0) a 2 x b 10.已知 F1 、 F2 为双曲线 C ： a 的左、右焦点，点 P （ 0 ， 2 ）
在 C 上， ?F1 PF2 ? 60 ，则该双曲线的渐近线方程为 A. x ? y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 C.
?

3x ? y ? 0

D. 以上都不正确

11.设直线 l 与球 O 有且仅有一个公共点 P ，从直线出发的两个半平面 ?、? 截球 O 所得的

? 两个截面圆的半径分别为 1 和 3 ，二面角 ? ? l ? ? 为 150 ，则球 O 的表面积为

A. 4?

B. 16?

C. 28?

D. 112?

x2 y2 ? ?1 12.椭圆 25 16 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，弦 AB 过 F1 ，若 ?ABF2 的内切圆
周长为 ? ， A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) ，则

y 2 ? y1
5 D. 3

的值为

A.

5 3

10 B. 3

20 C. 3

第Ⅱ卷

（非选择题, 共 90 分）

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ，若 a6 ? S 3 ? 12 ，则 a 8 = .

3 b ? a sin B a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，若 2 14. ?ABC 中， ，则 A 的值为

.

15.在三棱锥 P ? ABC 中， 三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直， PA ? PB ? PC ，M 且 为 AB 中点，则 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .

? 16.已知 O 是 ?ABC 的外心， AB ? 2 ， AC ? 1 ， ?BAC ? 120 ，若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC ，

则 ?1 ? ?2 的值为

.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）

?a ? a ? 0 （ n ? N * ） a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 ， a 3 17.公比为 q ( q ? 1 )的等比数列 n 中， n ，
与

a 5 的等比中项为 2 ， bn ? 9 ? 2 log 2 a n

（I）求数列

?a n ?、 ?bn ? 的通项公式.

? 1 ? ? ? bb T T （II）若数列 ? n n ?1 ? 的前 n 项和为 n ，求 n .

18.已知点 A(0,5) ，圆 C : x ? y ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0 .
2 2

（I）若直线 l 过 A(0,5) 且被圆 C 截得的弦长为 4 3 ，求直线 l 的方程； （II）点 M (?1,0) ， N (0,1) ，点 Q 是圆 C 上的任一点，求 ?QMN 面积的最小值.

19.一个多面体的三视图和直观图如下：(其中 M 为线段 AF 中点， N 为线段 BC 上的点) （I） 求证: AF ? 平面 BMN ； （II）求多面体 B ? CDEF 的体积；

（Ⅲ）若

CN ?
2

2 3 ，求二面角 A ? DE ? N 的余弦值.

2
主视图

2 2
2
侧视图

2

D

C N
F M

E

2 2
俯视图

A

B

20.已知椭圆

C:

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为

半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 P(4,0) ， A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交 椭圆 C 于另一点 E ，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ； （Ⅲ）在（II）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点，求 OM ? ON 的 取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? x ln x ， g ( x) ? ? x ? ax ? 3
2

（I）求 f (x) 在 ?t , t ? 2?(t ? 0) 上的最小值； （II）对一切 x ? ?0,?? ?， 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）证明对一切 x ? ?0,?? ?，都有

ln x ?

1 2 ? x ex 成立. e

22.如图， A 、 B 、 C 、 D 四点在同一圆上， AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且

EC ? ED .
（I）证明： CD // AB ； （II）延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使 EF ? EG ， 证明： A、B、G、F 四点共圆.

（22 题图）

23.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ，曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? （? 为参数） ? ? y ? sin? ? （I）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，

? 以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（ 4 ， 2 ） ，判断点 P 与
直线 l 的位置关系； （II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值． 24.设不等式

2 x-1 ? 1的解集为 M ．

（I）求集合 M ； （II）若 a, b ? M ，试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小．

2011——2012 上学期高三期末考试理科数学参考答案

三、解答题 17.（1） a3 ? 4 ， a5 ? 1 …………………………………2 分 …………………………………6 分

a n ? 2 5? n ， bn ? 2n ? 1
（2）

1 1 1 1 ? ( ? ) bn bn ?1 2 2n ? 1 2n ? 1

…………………………………8 分

Tn ?

n 2n ? 1

…………………………………12 分 …………………………………6 分 …………………………………12 分 …………………………………4 分

18.（1） l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 或 x ? 0 （2） S min ? 19.（1）略

7 ?2 2 2

（2）取 CF 中点 P ，连结 BP ，则 BP ? 平面 CDEF ，

1 8 VB ?CDEF ? S CDEF ? BP ? 3 3
（3）法一：取 AD 三等分点 G ，作于 H ，连结 GH、NH ，

?GHN 即为所求， cos ?GHN ?
19 19

19 ………………………8 分 19

所求二面角的余弦值为 法二（空间向量） ：略 20.（1）

…………………………………12 分

x2 y2 ? ?1 4 3

…………………………………2 分

（2）由题意可知 k BP 存在且不为 0.

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

消 y 得 (3 ? 4k ) x ? 32 k x ? 64 k ? 12 ? 0 ，
2 2 2 2

令 B( x1 , y1 ), E ( x2 , y 2 ), 则 A( x1 ,? y1 ) ，…………………………………4 分 所以 l AE : y ? y1 ?

y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x 2 ? x1

令 y ? 0 ，由韦达定理化简得 x ? 1， 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1,0) . …………………………………7 分

21.（1） f ( x) ? ln x ? 1 ? a ，令 f ( x) ? 0 ， x ? e
/ /

a ?1

1? a ? 1， ?1,?? ? 为增函数，无极值； 2? a ? 1，

?1, e ?为减函数； ?e
a ?1

a ?1

,?? 为增函数；极小值为 f (e a ?1 ) ? ?e a ?1
…………………………………4 分

?

（2）? x ? 0 ，原不等式等价于 a ? 2 ln x ? x ?

3 . x 3 ( x ? 3)( x ? 1) / 令 g ( x) ? 2 ln x ? x ? ，则 g ( x) ? ， x x2
所以 g (x) 的最小值为 g (1) ? 4 ，即 a ? 4 …………………………………8 分

（3）原不等式等价于 x ln x ?

x 2 ? ， ex e x 2 令 F ( x) ? x ln x, G( x) ? x ? ， e e

则可求 F (x) 的最小值为 F ( ) ? ? 所以原不等式成立.

1 e

1 1 ； G (x) 的最大值为 G (1) ? ? ， e e
…………………………………12 分

22.（1）? EC ? ED ，? ?EDC ? ?ECD

…………………………………5 分

又 ?EDC ? ?EBA ，所以 ?ECD ? ?EBA ，所以 CD // AB （2）? ?EBG ? ?EAF ， ? ?FAE ? ?GBE .

? ?ADC ? ?ABC ? ? ? ?DFA ? ?ABG ? ? ，
所以 A，B，G，F 四点共圆. 23.（1） P(0,4) ，所以 P ? l …………………………………10 分 …………………………………4 分

2 sin( ? ? ) ? 4 x 3 2 ? 2. （2） C : ? y ? 1 ，设 Q( 3 cos? , sin ? ) ，所以 d ? 3 2
2

?

最小值为 2 ，当 Q(? , ) . 24.（1） M ? (0,1)

3 1 2 2

…………………………………10 分 …………………………………5 分

（2） (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ，又 a, b ? (0,1) ，所以 ab ?1 ? a ? b …………………………………10 分