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黑龙江省哈三中2012届高三上学期期末考试(数学理)


考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3) 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸

、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷
一项是符合题目要求的) 1. 抛物线 y ? 8x 的焦点坐标是
2

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有

A.

(0,

1 ) 32

1 ,0) B. 32 (
2

C. (2,0)

D. (0,2)

2. 已知命题 p : ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0 ,则命题 ?p 是 A. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

B. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

C. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

D. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0.
2

1 ? ? B ? ? y | y ? ( ) x , x ? 1? A ? ?y | y ? log 3 x, x ? 1?, 2 ? ? ,则 A ? B ? 3. 已知集合
A. ?

B.(0,1)

1 , C. ( 2 1)

1 D. (0, 2 )

1 f ( x) ? ( ) x ? x ? 2 2 4. 在下列区间中,函数 的零点所在的区间为
A. (?1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
' '

5. 对任意实数 x 有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 则 x ? 0 时,下列各式一定成立的是 A. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

B. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

C. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

D. f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
' '

6. 如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形, 则下列命题中错误的是 A. AC ? BD B. AC ∥平面 PQMN C. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 成 45 角
?

A N

P B

D M Q (第 6 题图) C

? 7. ?ABC 是等腰三角形, ?B ? 120 ,则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为

1? 2 2 A.
8. 给出以下四个命题:

1? 3 2 B.

C. 1? 2

D. 1? 3

(1)在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ;

(2)将函数

y ? sin(2 x ?

?

? 3 的图象向右平移 3 个单位,得到函数 y ? sin 2 x 的图象;
)

(3)在 ?ABC 中,若 AB ? 4 , AC ? 13 , (4)在同一坐标系中,函数 y ? sin x 与函数 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3

B?

?
3 ,则 ?ABC 为锐角三角形;

y?

x 2 的图象有三个交点;

D. 4

?x ? 0 ? ?x ? 3 y ? 4 ?3 x ? y ? 4 9. 若不等式组 ? 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 4 分成面积相等的两部分,则

k 的值为
? 17 3
B. ? 5 C. ? 6

?
D.

A.

19 3

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a, b ? 0) a 2 x b 10.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : a 的左、右焦点,点 P ( 0 , 2 )
在 C 上, ?F1 PF2 ? 60 ,则该双曲线的渐近线方程为 A. x ? y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 C.
?

3x ? y ? 0

D. 以上都不正确

11.设直线 l 与球 O 有且仅有一个公共点 P ,从直线出发的两个半平面 ?、? 截球 O 所得的

? 两个截面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 为 150 ,则球 O 的表面积为

A. 4?

B. 16?

C. 28?

D. 112?

x2 y2 ? ?1 12.椭圆 25 16 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆
周长为 ? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) ,则

y 2 ? y1
5 D. 3

的值为

A.

5 3

10 B. 3

20 C. 3

第Ⅱ卷

(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上) 13.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a6 ? S 3 ? 12 ,则 a 8 = .

3 b ? a sin B a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 2 14. ?ABC 中, ,则 A 的值为

.

15.在三棱锥 P ? ABC 中, 三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直, PA ? PB ? PC ,M 且 为 AB 中点,则 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .

? 16.已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2 , AC ? 1 , ?BAC ? 120 ,若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC ,

则 ?1 ? ?2 的值为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

?a ? a ? 0 ( n ? N * ) a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 , a 3 17.公比为 q ( q ? 1 )的等比数列 n 中, n ,


a 5 的等比中项为 2 , bn ? 9 ? 2 log 2 a n

(I)求数列

?a n ?、 ?bn ? 的通项公式.

? 1 ? ? ? bb T T (II)若数列 ? n n ?1 ? 的前 n 项和为 n ,求 n .

18.已知点 A(0,5) ,圆 C : x ? y ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0 .
2 2

(I)若直线 l 过 A(0,5) 且被圆 C 截得的弦长为 4 3 ,求直线 l 的方程; (II)点 M (?1,0) , N (0,1) ,点 Q 是圆 C 上的任一点,求 ?QMN 面积的最小值.

19.一个多面体的三视图和直观图如下:(其中 M 为线段 AF 中点, N 为线段 BC 上的点) (I) 求证: AF ? 平面 BMN ; (II)求多面体 B ? CDEF 的体积;

(Ⅲ)若

CN ?
2

2 3 ,求二面角 A ? DE ? N 的余弦值.

2
主视图

2 2
2
侧视图

2

D

C N
F M

E

2 2
俯视图

A

B

20.已知椭圆

C:

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为

半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P(4,0) , A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交 椭圆 C 于另一点 E ,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; (Ⅲ)在(II)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的 取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3
2

(I)求 f (x) 在 ?t , t ? 2?(t ? 0) 上的最小值; (II)对一切 x ? ?0,?? ?, 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明对一切 x ? ?0,?? ?,都有

ln x ?

1 2 ? x ex 成立. e

22.如图, A 、 B 、 C 、 D 四点在同一圆上, AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且

EC ? ED .
(I)证明: CD // AB ; (II)延长 CD 到 F ,延长 DC 到 G ,使 EF ? EG , 证明: A、B、G、F 四点共圆.

(22 题图)

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? y ? sin? ? (I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,

? 以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为( 4 , 2 ) ,判断点 P 与
直线 l 的位置关系; (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 24.设不等式

2 x-1 ? 1的解集为 M .

(I)求集合 M ; (II)若 a, b ? M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小.

2011——2012 上学期高三期末考试理科数学参考答案

三、解答题 17.(1) a3 ? 4 , a5 ? 1 …………………………………2 分 …………………………………6 分

a n ? 2 5? n , bn ? 2n ? 1
(2)

1 1 1 1 ? ( ? ) bn bn ?1 2 2n ? 1 2n ? 1

…………………………………8 分

Tn ?

n 2n ? 1

…………………………………12 分 …………………………………6 分 …………………………………12 分 …………………………………4 分

18.(1) l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 或 x ? 0 (2) S min ? 19.(1)略

7 ?2 2 2

(2)取 CF 中点 P ,连结 BP ,则 BP ? 平面 CDEF ,

1 8 VB ?CDEF ? S CDEF ? BP ? 3 3
(3)法一:取 AD 三等分点 G ,作于 H ,连结 GH、NH ,

?GHN 即为所求, cos ?GHN ?
19 19

19 ………………………8 分 19

所求二面角的余弦值为 法二(空间向量) :略 20.(1)

…………………………………12 分

x2 y2 ? ?1 4 3

…………………………………2 分

(2)由题意可知 k BP 存在且不为 0.

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

消 y 得 (3 ? 4k ) x ? 32 k x ? 64 k ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2

令 B( x1 , y1 ), E ( x2 , y 2 ), 则 A( x1 ,? y1 ) ,…………………………………4 分 所以 l AE : y ? y1 ?

y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x 2 ? x1

令 y ? 0 ,由韦达定理化简得 x ? 1, 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1,0) . …………………………………7 分

21.(1) f ( x) ? ln x ? 1 ? a ,令 f ( x) ? 0 , x ? e
/ /

a ?1

1? a ? 1, ?1,?? ? 为增函数,无极值; 2? a ? 1,

?1, e ?为减函数; ?e
a ?1

a ?1

,?? 为增函数;极小值为 f (e a ?1 ) ? ?e a ?1
…………………………………4 分

?

(2)? x ? 0 ,原不等式等价于 a ? 2 ln x ? x ?

3 . x 3 ( x ? 3)( x ? 1) / 令 g ( x) ? 2 ln x ? x ? ,则 g ( x) ? , x x2
所以 g (x) 的最小值为 g (1) ? 4 ,即 a ? 4 …………………………………8 分

(3)原不等式等价于 x ln x ?

x 2 ? , ex e x 2 令 F ( x) ? x ln x, G( x) ? x ? , e e

则可求 F (x) 的最小值为 F ( ) ? ? 所以原不等式成立.

1 e

1 1 ; G (x) 的最大值为 G (1) ? ? , e e
…………………………………12 分

22.(1)? EC ? ED ,? ?EDC ? ?ECD

…………………………………5 分

又 ?EDC ? ?EBA ,所以 ?ECD ? ?EBA ,所以 CD // AB (2)? ?EBG ? ?EAF , ? ?FAE ? ?GBE .

? ?ADC ? ?ABC ? ? ? ?DFA ? ?ABG ? ? ,
所以 A,B,G,F 四点共圆. 23.(1) P(0,4) ,所以 P ? l …………………………………10 分 …………………………………4 分

2 sin( ? ? ) ? 4 x 3 2 ? 2. (2) C : ? y ? 1 ,设 Q( 3 cos? , sin ? ) ,所以 d ? 3 2
2

?

最小值为 2 ,当 Q(? , ) . 24.(1) M ? (0,1)

3 1 2 2

…………………………………10 分 …………………………………5 分

(2) (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ,又 a, b ? (0,1) ,所以 ab ?1 ? a ? b …………………………………10 分


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