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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量章末检测(B)新人教A版必修4

时间:2017-01-01


第二章

平面向量(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知向量 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x 的值是( ) A.-6 B.6 C.9 D.12 2.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 C.若|a+b|=|a-b|,则 a·b=0 D.若 a 与 b 都是单位向量,则 a·b=1. 3.设向量 a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若 a 与 b 的夹角大于 90°,则实数 m 的 取值范围是( ) 4 A.(- ,2) 3 4 B.(-∞,- )∪(2,+∞) 3 4 C.(-2, ) 3 4 D.(-∞,2)∪( ,+∞) 3 → → → → 4.平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则AD·BD等于( ) A.8 B.6 C.-8 D.-6 5.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量 a 与向量 b 的夹角是( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 6.关于平面向量 a,b,c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则存在 λ ∈R,使得 b=λ a; ②若 a·b=0,则 a=0 或 b=0; ③存在不全为零的实数 λ ,μ 使得 c=λ a+μ b; ④若 a·b=a·c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.已知|a|=5,|b|=3,且 a·b=-12,则向量 a 在向量 b 上的投影等于( ) 12 12 A.-4 B.4 C.- D. 5 5 → → → 8.设 O,A,M,B 为平面上四点,OM=λ OB+(1-λ )·OA,且 λ ∈(1,2),则( ) A.点 M 在线段 AB 上 B.点 B 在线段 AM 上 C.点 A 在线段 BM 上 D.O,A,B,M 四点共线 → 1 → → 9.P 是△ABC 内的一点,AP= (AB+AC),则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) 3 3 A. B.2 C.3 D.6 2 → → → → → → → 10.在△ABC 中,AR=2RB,CP=2PR,若AP=mAB+nAC,则 m+n 等于( ) 2 7 8 A. B. C. D.1 3 9 9

1

11.已知 3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则 a·(b+c)等于( ) 4 3 3 A.- B.- C.0 D. 5 5 5 12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b =mq-np.下面说法错误的是( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ ∈R,有(λ a)⊙b=λ (a⊙b) 2 2 2 2 D.(a⊙b) +(a·b) =|a| |b| 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设向量 a=(1,2), b=(2,3), 若向量 λ a+b 与向量 c=(-4, -7)共线, 则 λ =________. 14.a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. 1 15.已知向量 a=(6,2),b=(-4, ),直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a+2b 垂直,则 2 直线 l 的方程为________. → → → 16.已知向量OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为坐标原 → → 点),则MA·MB的最小值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) → → → 1→ → 1→ 17.(10 分)如图所示,以向量OA=a,OB=b 为边作?AOBD,又BM= BC,CN= CD,用 a,b 3 3 → → → 表示OM、ON、MN.

18.(12 分)已知 a,b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2, 求:(1)(a-2b)·(a+b); (2)|a+b|; (3)|3a-4b|.

2

3? ?1 2 19.(12 分)已知 a=( 3,-1),b=? , ?,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t -3)b, ?2 2 ? k+t2 y=-ka+tb,且 x⊥y,试求 的最小值.

t

→ → → 20.(12 分)设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3).在线段 OC 上是否存在点 M,使 MA⊥MB? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+ 7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

→ → → 22.(12 分)已知线段 PQ 过△OAB 的重心 G,且 P、Q 分别在 OA、OB 上,设OA=a,OB=b,OP → =ma,OQ=nb. 1 1 求证: + =3.

m n

3

第二章 平面向量(B) 答案 1.B [∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6.] 2 2 2 2 2 2 2.C [∵|a+b| =a +b +2a·b |a-b| =a +b -2a·b |a+b|=|a-b|.∴a·b =0.] 2 3.A [∵a 与 b 的夹角大于 90°,∴a·b<0,∴(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0,即 3m 4 -2m-8<0,∴- <m<2.] 3 → → → → → → → 4.A [∵AD=BC=AC-AB=(-1, -1), ∴BD=AD-AB=(-1, -1)-(2,4)=(-3, -5), → → ∴AD·BD=(-1,-1)·(-3,-5)=8.] a·b 3 1 2 5.C [∵a(b-a)=a·b-|a| =2,∴a·b=3,∴cos〈a,b〉= = = ,∴ |a|·|b| 1×6 2 π 〈a,b〉= .] 3 6.B [由向量共线定理知①正确;若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,所以②错误;在 a,b 能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数 λ ,μ 使得 c=λ a+μ b,所以③错 误;若 a·b=a·c,则 a(b-c)=0,所以 a⊥(b-c),所以④正确,即正确命题序号是① ④.] a·b a·b 12 7.A [向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos〈a,b〉=|a|· = =- =-4.] |a||b| |b| 3 → → → → → → → → 8.B [∵OM=λ OB+(1-λ )OA=OA+λ (OB-OA)∴AM=λ AB,λ ∈(1,2),∴点 B 在线段 AM 上,故选 B.] S△ABC 2S△ABD 2AD 9.C [设△ABC 边 BC 的中点为 D,则 = = .

S△ABP

S△ABP

AP

2→ 3 → S△ABC → 1 → → → 3→ → ∵AP= (AB+AC)= AD,∴AD= AP,∴|AD|= |AP|.∴ =3.] 3 3 2 2 S△ABP 4→ 1→ 4 1 7 → → → → 2→ → 2 2→ → 10.B [AP=AC+CP=AC+ CR=AC+ ( AB-AC)= AB+ AC故有 m+n= + = .] 3 3 3 9 3 9 3 9 2 2 11.B [由已知得 4b=-3a-5c,将等式两边平方得(4b) =(-3a-5c) ,化简得 a·c= 3 3 - .同理由 5c=-3a-4b 两边平方得 a·b=0,∴a·(b+c)=a·b+a·c=- .] 5 5 12.B [若 a=(m,n)与 b=(p,q)共线,则 mq-np=0,依运算“⊙”知 a⊙b=0,故 A 正确.由于 a⊙b=mq-np,又 b⊙a=np-mq,因此 a⊙b=-b⊙a,故 B 不正确.对于 C, 由于 λ a=(λ m,λ n),因此(λ a)⊙b=λ mq-λ np,又 λ (a⊙b)=λ (mq-np)=λ mq- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 λ np,故 C 正确.对于 D,(a⊙b) +(a·b) =m q -2mnpq+n p +(mp+nq) =m (p +q )+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n (p +q )=(m +n )(p +q )=|a| |b| ,故 D 正确.] 13.2 解析 ∵a=(1,2),b=(2,3), ∴λ a+b=(λ ,2λ )+(2,3)=(λ +2,2λ +3). ∵向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, ∴-7(λ +2)+4(2λ +3)=0. ∴λ =2. 14.7 1 2 2 2 2 2 2 解析 ∵|5a-b| =(5a-b) =25a +b -10a·b=25×1 +3 -10×1×3×(- )=49. 2 ∴|5a-b|=7. 15.2x-3y-9=0
4

→ 解析 设 P(x,y)是直线上任意一点,根据题意,有AP·(a+2b)=(x-3,y+1)·(-2,3) =0,整理化简得 2x-3y-9=0. 16.-8 → → → → 2 解析 设OM=tOP=(2t,t),故有MA·MB=(1-2t,7-t)·(5-2t,1-t)=5t -20t+12= → → 2 5(t-2) -8,故当 t=2 时,MA·MB取得最小值-8. 5 → → → → → → → 1→ → 1→ 1 17.解 BA=OA-OB=a-b.∴OM=OB+BM=OB+ BC=OB+ BA= a+ b. 3 6 6 6 2 → → → → 1→ 1→ 2→ 2 又OD=a+b.ON=OC+CN= OD+ OD= OD= a+ b, 2 6 3 3 3 2 1 5 1 1 → → → 2 ∴MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 3 3 6 6 2 6 ? 1? 18.解 a·b=|a||b|cos 120°=4×2×?- ?=-4. ? 2? 2 2 2 2 (1)(a-2b)·(a+b)=a -2a·b+a·b-2b =4 -2×(-4)+(-4)-2×2 =12. 2 2 2 2 (2)∵|a+b| =(a+b) =a +2a·b+b =16+2×(-4)+4=12. ∴|a+b|=2 3. 2 2 2 2 2 (3)|3a-4b| =9a -24a·b+16b =9×4 -24×(-4)+16×2 =16×19, ∴|3a-4b|=4 19. 19.解 由题意有|a|= ? 3? +?-1? =2,|b|= 1 3 ∵a·b= 3× -1× =0,∴a⊥b. 2 2 ∵x·y=0,∴[a+(t -3)b](-ka+tb)=0.化简得 k= ∴
2 2 2

?1?2+? 3?2=1. ?2? ? ? ? ? ?2?

t3-3t
4

.

k+t2 1 2 1 7 k+t2 7 2 = (t +4t-3)= (t+2) - .即 t=-2 时, 有最小值为- . t 4 4 4 t 4

→ → → → → → 20. 解 设OM=tOC, t∈[0,1], 则OM=(6t,3t), 即 M(6t,3t).MA=OA-OM=(2-6t,5-3t), → → → → → MB=OB-OM=(3-6t,1-3t).若 MA⊥MB,则MA·MB=(2-6t)(3-6t)+(5-3t)(1-3t)= 1 11 ?22 11? 2 0.即 45t -48t+11=0,t= 或 t= .∴存在点 M,M 点的坐标为(2,1)或? , ?. 3 15 ?5 5? 21.解 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角, ?2te1+7e2?·?e1+te2? 得 <0, |2te1+7e2|·|e1+te2| 即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. 2 2 2 整理得:2te1+(2t +7)e1·e2+7te2<0.(*) ∵|e1|=2,|e2|=1, 〈e1,e2〉=60°. ∴e1·e2=2×1×cos 60°=1 1 2 ∴(*)式化简得:2t +15t+7<0.解得:-7<t<- . 2 当向量 2te1+7e2 与 e1+te2 夹角为 180°时,设 2te1+7e2=λ (e1+te2) (λ <0). 2t=λ ? ? 对比系数得?7=λ t ? ?λ <0

?λ =- 14 ? ,∴? 14 t=- ? 2 ? ? ?
14? ? 14 1? ?∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2?

∴所求实数 t 的取值范围是?-7,- 22.

5

证明 如右图所示, 1 → 1 → → ∵OD= (OA+OB)= (a+b), 2 2 2 1 → → ∴OG= OD= (a+b). 3 3 1 1 → → → 1 ∴PG=OG-OP= (a+b)-ma=( -m)a+ b. 3 3 3 → → → PQ=OQ-OP=nb-ma. 又 P、G、Q 三点共线, → → 所以存在一个实数 λ ,使得PG=λ PQ. 1 1 ∴( -m)a+ b=λ nb-λ ma, 3 3 1 1 ∴( -m+λ m)a+( -λ n)b=0. 3 3 ∵a 与 b 不共线, 1 ? ?3-m+λ m=0, ∴? 1 ? ?3-λ n=0, ① ②

1 1 由①②消去 λ 得: + =3.

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