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福建省莆田第六中学届高三数学第一次模拟考试试题文-精


2016 届莆田六中高三毕业班第一次模拟考试 数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分) . 1.已知集合 A ? {?1, 0,1, 2,3} , B ? {x | x ?

4n ? 1, n ? Z } ,则 A ? B ? ( A. {?1} B. {1} C. {3} D. {?1,3} ) D. ?1 ? i )

2.已知复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. 1 ? i

2 ? z2 ? ( z
C. ? 1 ? i

3. 某防疫站对学生进行身体健康调查, 欲采用分层抽样的办法抽取样本, 某中学共有学生 2000 名,抽取了一个容量为 200 的样本,已知样本中男生比女生少 6 人,则该校共有男生( A.1030 人 B.1050 人 C.950 人 D.970 人 )

4.已知向量 a, b 的夹角为 60? ,且 a ? 1 , a ? 2b ? 21 ,则 b ? ( A. 2 B.

? ?

?

?

?

?



3 2

C.

5 2

D. 2 2

5.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五尺, 问日织几何?” ,这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前 一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上题 的已知条件,可求得该女子第 4 天所织布的尺数为( A. ) D.

8 15

B.

16 15

C.

20 31

40 31

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则 该多面体的体积为( A.20 B.16 ) C.12 D. 8

?x ? y ? 0 x , y 7. 已知 满足约束条件 ? 若z ? 2 则 z 的最大值为 ( x ? y , ?x ? y ? 2 , ?y ? 0 ?



-1-

A. ?4

B. 0

C. 2

D. 4

8.如右图所示的程序框图,若输出的 S ? 88 ,则判断框内应填入的条件是( ) A. k ? 3? B. k ? 4 ? C. k ? 5? D. k ? 6 ?

9.将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? 标缩短到原来的 A.

?
4

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图象上每一点的横坐


? 8

1 ? 倍(纵坐标不变) ,所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小值为( 2 4 ? 3? 3? B. C. D. 2 4 8

10.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线 l 与 a 2 b2

双曲线 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点,若 AB : BF2 : AF2 ? 3: 4:5 ,则双曲线的离心 率为( A.2 ) B.4 C. 13 D. 15

2 11. 设奇函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) , 且在 (0, ??) 上 f ?( x) ? x , 若 f (1 ? m) ? f (m) ?

1 ?(1 ? m)3 ? m3 ? ? ,则实数 m 的取值范围为( 3?
A. ? ?



? 1 1? , ? 2 2? ?

B. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

C. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

D. ? ??, ? ? U ? , ?? ? 2 2

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

12.同一平面内两两平行的三条直线 l1 、 l2 、 l3 ( l2 夹在 l1 与 l3 之间) , l1 与 l2 的距离为 a , l2 与 l3 的距离为 b ,若 A ? l1 、 B ? l2 、 C ? l3 ,且 AB ? AB ? AC ,则△ABC 面积的最小值为 ( )

??? ?2

??? ? ??? ?

A.

a 2 ? b2 2

B.

a?b 2

C. ab

D. 2 ab

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S8 ? 32 ,则 a2 ? 2a5 ? a6 ? ________. 14.P 为抛物线 y ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(7,8) ,则 | PM | ? | PQ |
2

-2-

的最小值为________. 15.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , PA ? 2, AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 60 ,则该
0

三棱锥的外接球的表面积为________. 16.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? 2 x ?

? f ( x), x ? 1, m ,设 若函数 g ( x ) ? ? 2x ? f (? x), x ? 1,


y ? g ( x) ? t 有且只有一个零点,则实数 m 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算 步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2 . (Ⅰ)当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ( x ) 的值域; ? 2? ?

(Ⅱ)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c 且

b sin(2 A ? C ) ? 3, ? 2 ? 2 cos( A ? C ) , a sin A
求角 B 的大小.

18. (本小题满分 12 分)某中学举行了一次“学科知识竞赛”活动。为了解学生此次竞赛的 组距 成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为 100 分,得分取正整数,抽取学生的分数均在 0.040
x ?50,100? 之内)作为样本(样本容量为

频率

n)进行统计.按照 ?50, 60? , ? 60, 70? , ? 70,80? ,

0.016 ?80,90? ,?90,100 ? 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出 0.010 O 50 60 70 80 90. 100 成绩(分) 了得分在 ?50, 60? , ?90,100 ? 的数据) y

-3-

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“省 级学科知识竞赛”,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率.

-4-

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与 底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 600 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ)求证: PC ? AD ; (Ⅱ)求点 D 到平面 PAM 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 R( x0 , y0 ) 是椭 C :

x2 y2 ? ?1 24 12

上的一点,从原点 O 向圆 R : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 8 作两条切线,分别交椭圆于点 P, Q . (Ⅰ)若 R 点在第一象限,且直线 OP, OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (Ⅱ)若直线 OP, OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

mx ? n . ? ln x ( m, n ? R ) x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在(2, f (2) )处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求实数 n 的值; (Ⅱ)试讨论函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值; (Ⅲ)若 n ? 1 时,函数 f ( x ) 恰有两个零点 x1 , x2 ( 0 ? x1 ? x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 2 . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

? 的中点,弦 AD 与 BC 相交于点 E . 如图, AC 为半圆 O 的直径, D 为 BC
2 (Ⅰ)求证: AE ? AD ? CE ? CB ? AC ;

(Ⅱ)过点 D 作 DF⊥AB,F 为垂足,求证: DF 为半圆 O 的切线.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? , 在以直角坐标系的原点 O 为极点, 4 a cos ? . x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? sin 2 ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程为;
在平面直角坐标系中, 直线 l 过点 A(?1, ?2) 且倾斜角为 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M 1 、 M 2 两点,若 | AM1 | ? | AM 2 |? 4 ,求 a 的值.
-5-

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | . (Ⅰ)若不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 | a |? 1 , | b |? 3 ,且 a ? 0 ,判断

b f ( ab) 与 f ( ) 的大小,并说明理由. a |a|

-6-

18.

解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 ? 50 , ????2 分 0.016 ?10

2 ? 0.004 , ????4 分 50 ? 10 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .????6 分 y?
(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90] 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,分数 在 [90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 ,抽取 2 名学生的所有情况有 21 种,分 别为:

? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a1, a4 ? , ? a1, a5 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ?a2 , a5 ? , ?a2 , b1 ?, ?a2 , b2 ?, ? a3 , a4 ? , ? a3 , a5 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , a5 ? , ? a4 , b1 ? , ?a4 , b2 ? , ?a5 , b1 ?, ?a5 , b2 ?, ?b1, b2 ?
-7-

????8 分 其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种,????10 分 ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ?

10 21

??????12 分 19.

解: (Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC , 由已知得 ?PAD, ?ACD 均为正三角形,∴ OC ? AD, OP ? AD ,?2 分 又 OC ? OP ? O, OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , ∴ AD ? 平面 POC ,??????4 分 又 PC ? 平面 POC ,∴ PC ? AD ????5 分

(Ⅱ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD , ∵面 PAD ? 面 ABCD ,面 PAD ? 面 ABCD ? AD , PO ? 面 PAD , ∴ PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ABC 的体高.????7 分 在 Rt ?POC 中, PO ? OC ? 3, PC ? 6 , 在 ?PAC 中 PA ? AC ? 2, PC ? 6 , 边 PC 上的高 AM ?

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

∴ ?PAC 的面积 S?PAC ?

1 1 10 15 ,???9 分 PC ?AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h , 由 VD? PAC ? VP? ACD 得,

1 1 S?PAC ?h ? S ?ACD ?PO , 3 3

-8-

又 S?ACD ?

3 2 2 15 ,解得 h ? , ?2 ? 3 , 4 5
2 15 5
????12 分

∴点 D 到平面 PAM 的距离为

20.

解: (Ⅰ)由已知得圆 R 的半径 r ? 2 2 , ∵直线 OP, OQ 互相垂直,且和圆 R 相切,
2 2 ∴ OR ? 2r ? 4 ,即 x0 ? y0 ? 16



????2 分

又点 R 在椭圆 C 上,∴

2 x0 y2 ? 0 ?1 ② 24 12

????3 分

联立①②,解得 ?

? ? x0 ? 2 2 ? ? y0 ? 2 2



????5 分

∴所求圆 R 的方程为: ( x ? 2 2)2 ? ( y ? 2 2)2 ? 8 . ????6 分

(Ⅱ)∵直线 OP : y ? k1 x 和 OQ : y ? k2 x 都与圆 R 相切, ∴由

k1 x0 ? y0 1? k
2 1

? 2 2 得: ( x02 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y02 ? 8 ? 0
2 2

??8 分

同理得: ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 8 ? 0
2

∴ k1 , k2 是关于 k 的方程 ( x0 ? 8)k ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两不等实数根
2 2 2

由韦达定理得: k1 ? k2 ?

2 y0 ?8 , 2 x0 ? 8

????10 分

-9-

∵点 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,∴

2 x0 y2 1 2 2 ? 12 ? x0 ? 0 ? 1 ,即 y0 , 2 24 12

1 2 x0 1 ? ? . ????12 分 ∴ k1k2 ? 2 2 x0 ? 8 2 4?
22.证明:

(Ⅰ)过 E 作 EG⊥AC,G 为垂足,又 AC 为半圆 O 的直径, 0 ∴ ?ABE ? ?AGE ? 90 ,即 A、B、E、G 四点共圆,则 CE ? CB ? CG ? CA , 同理可证 C、D、E、G 四点共圆,则 CA ? CG ? CE ? CB , 则 AE ? AD ? AG ? AC , ∴ AE ? AD ? CE ? CB ? AG ? AC ? CG ? CA ? ( AG ? CG) AC ? AC 2 , 即 AE ? AD ? CE ? CB ? AC 2 ; ????5 分 (Ⅱ)延长 CD 交 AB 于点 H, ∵ D 为弧 BC 的中点,∴ ?CAD ? ?BAD ,即 ?CAD ? ?HAD , 又 AD⊥CD,即 AD⊥CH,∴D 为 CH 的中点,又 O 为 AC 中点, 连接 OD,则 OD∥AH,即 OD∥AB,又 DF⊥AB,∴OD ⊥DF, 即 DF 为半圆 O 的切线. ????10 分

23.解:

a cos ? ? ? 2 sin 2 ? ? a? cos? 2 sin ? ∵ x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,∴曲线 C 的直角坐标方程为: y 2 ? ax ?2 分 ? ∵直线 l 过点 A(?1, ?2) 且倾斜角为 , 4
(Ⅰ)曲线 C : ? ?

? ? x ? ?1 ? ∴直线 l 的参数方程为 ? ? ? y ? ?2 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) 2 t 2

????5 分

(Ⅱ)直线 l 与曲线 C 相交于 M 1 , M 2 两点,设 AM1 ? t1 , AM 2 ? t2 , t1 ? t2 , (或设 M 1 , M 2 两点对应的参数分别为 t1 , t2 , t1 ? t2 ) 把 l 的参数方程代入 y ? ax ,得 t 2 ? 2(a ? 4)t ? 2(a ? 4) ? 0 ,??7 分
2

? ? 2(a ? 4)2 ? 8(a ? 4) ? 0 ,即 a(a ? 4) ? 0 ,? a ? ?4 或 a ? 0 ,

- 10 -

由韦达定理得 t1 ? t2 ? 2(a ? 4) ,∴ | AM1 | ? | AM 2 |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 | ∵ | AM1 | ? | AM 2 |? 4 ,∴ | 2(a ? 4) |? 4 ?| a ? 4 |? 2 ,????9 分 解得 a ? ?6 或 a ? ?2 ,由 ? ? 0 , a ? ?2 (不合舍去) 综上所述, a ? ?6 . ????10 分

24.解: (Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 3 | ≥ | x ? 4 ? 3 ? x |? 1 , 不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,则 1 …a 即可,
1] . ∴实数 a 的取值范围是 (?? ,

??????5 分

(Ⅱ)

f ( ab ) b f ( ab ) b ? f ( ) ,证明:要证 ? f ( ), |a| a |a| a

只需证 | ab ? 3 | ? | b ? 3a | ,即证 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 , 又 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ? a 2b2 ? 9a 2 ? b2 ? 9 ? (a2 ? 1)(b2 ? 9)
| b |? 3 , ∵ | a |? 1,

∴ (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ? 0 ,所以原不等式成立. ????10 分

- 11 -


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