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迎初赛苦练本领系列训练天天练047答案


迎初赛苦练本领系列训练天天练 047 答案
(2013 年 4 月 2 日) 姓名 ____________ 得分 ____________ 一、填空题( 4?10' ? 40' )

????? ????? 277.正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 边长为 1,任取两点 Ai Aj ,则 Ai Aj ?A1

A2 的最大值是 ________
????? 解:根据向量内积的几何意义,只要看向量在 A1 A2 方向上的投影即可,最大值为 2 ? 1 .
278.设 P 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a、b ? 0) 右支上一动点,过 P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为 a 2 b2

点 A B ,若点 A B 始终在第一、第四象限内,则双曲线离心率 e 的取值范围是 ________ 、 、 解:由对称性,我们只讨论 A 在第一象限情形;

a 设 P( x0 , y0 ) , A( xA , y A ) ,则直线 PA 的方程为: y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) , b
与y?

b b a a b x 联立,得: ( ? ) xA ? x0 ? y0 ? 0 ? x0 ? ? y0 ; a a b b a

若 P 在第一象限,显然满足题意; 若 P 在第四象限或坐标轴上,则 y0 ? 0 ? 所以 (

x2 b2 2 2 x0 ? y0 ? b2 ( 0 ? 1) ; a2 a2

a 2 b2 2 a 2 b2 ? 2 ) x0 ? ?b2 ,只须 2 ? 2 ? 0 ;∴ a ? b ,故 1 ? e ? 2 . b2 a b a

279. ?ABC 的三边长分别为 13,14,15;有 4 个半径同为 r 的圆 O、O1、O2、O3 放在 ?ABC 内, 并且⊙O1 与边 AB、AC 相切,⊙O2 与边 BA、BC 相切,⊙O3 与边 CB、CA 相切,⊙O 与 ⊙O1、O2、O3 相切,则 r ? ________ 解:不妨设 a ? 13, b ? 14, c ? 15 ;可知 ?ABC 与 ?O1O2O3 相似,且 O 为 ?O1O2O3 的外心; 外接圆半径为 2r ,则 cos ?O1O3O2 ? cos C ? 由正弦定理: O1O2 ? 4r sin ?O1O3O2 ?

5 12 , sin ?O1O3O2 ? ; 13 13

48r , 13

3 4 33 56 同理可得: cos A ? , sin A ? , cos B ? , sin B ? ; 5 5 65 65
A B 1 ? cos A 1 ? cos B 15 又 O1O2 ? 15 ? r cot ? r cot ? 15 ? r (注意余切是正切的倒数) ?r ? 15 ? r , 2 2 sin A sin B 4
所以

48r 15r 260 ,从而 r ? . ? 15 ? 13 4 129
1

280.设 a、b 都是正整数,且 a ? b 2 ? (1 ? 2)100 ,则 ab 的个位数字是 ________ 解:由二项式定理: a ? b 2 ? (1 ? 2)100 ; (含 2 的与不含 2 分开来) 可得: a ? 故 ab ? 设 xn ?

1? 1 ? (1 ? 2)100 ? (1 ? 2)100 ? , b ? (1 ? 2)100 ? (1 ? 2)100 ? ; ? ? ? 2 2 2?

1 ? 1 ? (1 ? 2)200 ? (1 ? 2)200 ? ? (3 ? 2 2)100 ? (3 ? 2 2)100 ? ; ? ? 4 2? ? 4 2 1 ? (3 ? 2 2)n ? (3 ? 2 2)n ? ; ? 4 2?

则 x1 ? 1, x2 ? 6 ,由恒等式: xn ? y n ? ( x ? y)( xn?1 ? y n?1 ) ? xy( xn?2 ? y n?2 ) ; 可得: xn ? 6 xn ?1 ? xn ?2 (n ? 3) ; 所以, {xn } 的个位数字依次为 1,6,5,4,9,0,1,6,5,4,9,0,┅, 所以, xn ? 6 ? xn (mod10) , x100 ? x6?16? 4 ? x4 ? 4(mod10) ; 故个位数字是 4. 二、解答题( 2? 30' ? 60' ) 281.已知数列 {an } 由 a1 ?

2 , an?1 ? an2 ? an2?1 ? ? ? a12 (n ? N *) 确定,若对于任意 n ? N * , 3

1 1 1 ? ?? ? M 恒成立,求 M 得最小值. a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1

4 1 1 解:由题可知,当 n ? 2 时, an?1 ? an2 ? an ,又有: a2 ? a12 ? ? ( )2 ? ; 9 3 3

1 不妨设 b1 ? , bn ? an (n ? 2) ,则 bn?1 ? bn2 ? bn (n ? N*) ; 3

b b2 b ?b 1 1 1 ? n ? n ? n ?1 n ? ? ; bn ? 1 bn ?1 bn ?1bn bn ?1bn bn bn ?1



3b ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? 3? ? n ?1 ; b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 b1 b2 b2 b3 bn bn ?1 bn ?1 bn ?1



3b ? 1 3 57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ; bn ?1 20 20 bn ?1 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 1 ? a1 1 ? b1

1 易知 bn ?1 为正数,且 bn?1 ? bn ? bn 2 ? b12 ? ; 9
当 n 趋于无穷大时, bn ?1 趋于无穷大,则 M 的最小值为

57 . 20

2

282.求方程 x 2 ? x ? y 4 ? y 3 ? y 2 ? y 的整数解. 解:原方程可变形为: 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 4 y 4 ? 4 y 3 ? 4 y 2 ? 4 y ? 1 ; 所以 (2 x ? 1)2 ? (2 y 2 ? y)2 ? 3 y 2 ? 4 y ? 1
? (2 y 2 ? y)2 ? 2 ? (2 y 2 ? y) ? 1 ? (? y 2 ? 2 y) ? (2 y 2 ? y ? 1)2 ? (? y 2 ? 2 y)

?3 y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 (1)当 ? ,即当 y ? ?1 或 y ? 2 时,有 (2 y 2 ? y)2 ? (2 x ? 1)2 ? (2 y 2 ? y ? 1)2 ; ? y2 ? 2 y ? 0 ?
而 2 y 2 ? y 与 2 y 2 ? y ? 1 为两相邻整数,所以此时原方程没有整数解; (2)当 y ? ?1 时, x 2 ? x ? 0 ,所以 x ? 0 或 ?1 ; (3)当 y ? 0 时, x 2 ? x ? 0 ,所以 x ? 0 或 ?1 ; (4)当 y ? 1 时, x 2 ? x ? 4 ,此时 x 无整数解; (5)当 y ? 2 时, x 2 ? x ? 30 ,所以 x ? ?6 或 5;
? x?0 ? x ? ?1 ? x ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?6 ? x ? 5 综上所述: ? ,? ,? ,? ,? ,? . ? y ? ?1 ? y ? ?1 ? y ? 0 ? y ? 0 ? y?2 ?y ? 2

(完全平方要注意用好“两边完全平方夹逼”的方法)

3


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