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高中数学人教版

时间:2011-11-06


一.不等式知识要点 不等式知识要点
1.两实数大小的比较 两实数大小的比较

?a > b ? a ? b > 0 ? ?a = b ? a ? b = 0 ?a < b ? a ? b < 0 ?
2.不等式的性质:8条性质 不等式的性质: 条性质 条性质. 不等式的性质

3.基 基 本不 等式 定理

? ? ? ? ? ? 整式形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根式形式 ? ? ? ? 分式形式 ? ? ? ? 倒数形式 ? ?

? a 2 + b 2 ≥ 2 ab ? ? a 2 + b ≥ 1 (a + b ) 2 2 ? 2 2 ? ? ? a + b ? ab ≤ ? ? ? 2 ? ? ? 2 a + b 2 ? ab ≤ ? 2 ? ? ? ?a + b ab ≥ ? ? 2 ? 2(a 2 + b 2 ) ?a + b ≤ ? ? b a 同号) + ≥ 2 ( a , b 同号) a b 1 ? ? a > 0 ? a + a ≥ 2 ? 1 ?a < 0 ? a + ≤ ?2 a ?

4.公式: 公式: 公式

2 a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ 2 2 a ?1 + b ?1
1

3.解不等式 解不等式
(1)一元一次不等式 一元一次不等式 (2)一元二次不等式: 一元二次不等式: 一元二次不等式 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) y x1 O x x2 △>0

? ?x > ax > b(a ≠ 0)? ?x < ?
△=0

b (a > 0 ) a b (a < 0 ) a
△<0

y

y

O

x

O x1

x

ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 的根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= ? 2a
? b 2a b

没有实根

或 ≠ ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ (y>0) 的 解 集 ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (y<0) 的 解 集

}

R

Φ

Φ

2

一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式: 解分式不等式: 解分式不等式

? f (x) ? g( x ) > 0 ? f ( x ) ? g( x ) > 0 ? ? f (x) ?f ( x ) ? g ( x ) ≤ 0 ? ≤0?? ? g( x ) ? g( x ) ≠ 0 ?
高次不等式: 高次不等式:

( x ? a1 )( x ? a 2 )L ( x ? a n ) > 0

(4)解含参数的不等式: 1) 解含参数的不 解含参数的 ( )

(x – 2)(ax – 2)>0

(2)x2 – (a+a2)x+a3>0; ) ; (3)2x2 +ax +2 > 0; ) ;
论的标准有: 注:解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时分类讨 论的标准有: 解形如 1、讨论 a 与 0 的大小;2、讨论⊿与 0 的大小;3、讨论两根的 、 的大小; 、讨论⊿ 的大小; 、 大小; 大小; 二、运用的数学思想: 运用的数学思想: 1、分类讨论的思想;2、数形结合的思想;3、等与不等的化归思想 、分类讨论的思想; 、数形结合的思想; 、

(4)含参不等式恒成立的问题: 含参不等式恒成立的问题: 含参不等式恒成立的问题

3

、 ?1 函数 ? ? 2、 分离参数后用最值 ?3、 用图象 ?
例 1.已知关于 x 的不等式 x + (3 ? a ) x + 2a ? 1 < 0 .
2 2

上恒成立, 在(–2,0)上恒成立,求实数 a 的取值范围. , 上恒成立 例 2.关于 x 的不等式 .

y = log 2 ( ?ax 2 + ax + 1)

的取值范围. 对所有实数 x∈R 都成立,求 a 的取值范围 ∈ 都成立,

例3.若对任意 . 则

x > 0,

x ≤ a恒成立 , 2 x + 3x + 1

的取值范围. a的取值范围

(5)一元二次方程根的分布问题: 一元二次方程根的分布问题: 一元二次方程根的分布问题 方法: 依据二次函数的图像特征从: 开口方向、 判别式、 对称轴、 方法: 依据二次函数的图像特征从: 开口方向、 判别式、 对称轴、 函数值三个角度列出不等式组, 函数值三个角度列出不等式组,总之都是转化为一元二次 三个角度列出不等式组 不等式组求解. 不等式组求解
4





























1.x1< x2< k .

? f (k ) > 0 ? b ? <k ?? 2a ? ?? > 0 ?

y
x1
k

O

x2

x

y
2.k < x1< x2 .
? f (k ) > 0 ? b ? >k ?? 2a ? ?? > 0 ?

k x1 O

x2

x

y
3.x1< k < x2 .

f (k)<0
k x1 O x

x

5

4. k1 < x1 < x2 < k2 . y k1 x1 O x2 k2 x

5. x1 < k1 < k2 < x2 . y O x1 k1 k2 x2 x

? f ( k1 ) > 0 ? ? f ( k2 ) > 0 ? ?? > 0 ? ?k < ? b < k 2 ? 1 2a ?
6. k1 <x1 < k2 < x2< k3 .

? f ( k1 ) > 0 ? ? f ( k2 ) > 0

y O k2 x2 k3 x

? f ( k1 ) > 0 ? ? f ( k2 ) < 0 ? f (k ) > 0 2 ?
4 解线性规划问题的一般步骤: 解线性规划问题的一般步骤:

k1 x1

第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步: 解方程的最优解, 从而求出目标函数的最大值或最小值。 第三步: 解方程的最优解, 从而求出目标函数的最大值或最小值。

z = ax + by

z = x2 + y2

z=

y x
6

练习: 求满足 的整点( 纵坐标为整数) 练习:1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点(横、纵坐标为整数)的 个数。 个数。

2.求函f ( x ) = 2 + log 2 x +
3 4.f(x)=x+

1 (0 < x < 1)的最大值; log 2 x

1 ( x ≥ 4) 的 最 小 值 x +1
的最小值. 的最小值

( x + 1)2 + 4 ( x > ?1) 4.求函数 f ( x ) = 求函数 x +1

2 8 5.已知两个正数 a , b 满足 a + b = 4, 求使 a + b ≥ m 已知两个正数 的取值范围. 恒成立的 m 的取值范围

6 . 知x> 0, > 0,且 1已 y

1 9 + = 1,求x+ y的最小值. x y

7


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