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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 条件概率

时间:2013-11-11


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2.2.1

2.2.1
【学习要求】
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条件概率

1.理解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 【学法指导】 理解条件概率可以以简单事例为载体,先从古典概型出发求

条件概率, 然后再进行推广; 计算条件概率可利用公式 P(B|A) P?AB? = ,也可以利用缩小样本空间的观点计算. P?A?

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.1

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1.条件概率:对于任何两个事件 A 和 B,在已知 事件 A 发生 的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率,记作P(B|A).

P?AB? 2.条件概率公式:P(B|A)= P?A? ,P(A)>0.

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2.2.1

探究点一
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条件概率的概念及公式

问题 1

3 张奖券中只有 1 张能中奖,现分别由 3 名同学无放

回地抽取, 问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他 同学小?
1 答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 ,不比其他同学小. 3

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2.2.1

问题 2 如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一 名同学抽到中奖奖券的概率是多少?
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答 按照古典概型的计算公式, 此时最后一名同学抽到中奖 1 奖券的概率为 . 2 小结 已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到
中奖奖券的概率,这就是条件概率.

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问题 3 答 怎样计算条件概率?

2.2.1

(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率, n?AB? 即 P(B|A)= ; n?A?
本 (2)在原样本空间 Ω 中,先计算 P(AB),P(A),再利用公式 课 P?AB? 时 P(B|A)= 计算求得 P(B|A). 栏 P?A? 目 开 问题 4 若事件 A、B 互斥,则 P(B|A)是多少? 关

答 A 与 B 互斥,即 A、B 不同时发生.

∴P(AB)=0,∴P(B|A)=0.

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2.2.1

例 1 一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的, 已知其中有一个是女孩, 问这时另一个小孩也是女孩的概率 为多少?
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解 设 A={已知有一个是女孩},B={另一个也是女孩}.
依题意事件 A 的基本事件的总数为 n(A)=3. n?AB? 1 n(AB)=1,故 P(B|A)= = . n?A? 3 1 3 方法二 P(A∩B)= ,P(A)= , 4 4 P?A∩B? 1 ∴P(B|A)= = . 3 P?A? 方法一

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2.2.1

小结

在等可能事件的问题中, 求条件概率时采用方法一更容

易被理解和接受,但它仅适合于少数的问题,一般的方法是利 本 P?A∩B? 课 用条件概率公式 P(B|A)= .这时,我们要求出 P(A∩B) P?A? 时
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和 P(A),这完全利用了已有的知识,最后只需代入公式即可.

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2.2.1

跟踪训练 1 一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可 能的,已知该家庭第一个是男孩,求这家有两个男孩的概率.
解 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.
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设 B=“有男孩”,则 B={(男,男),(男,女),(女,男)}. A=“有两个男孩”,则 A={(男,男)}, B1=“第一个是男孩”,则 B1={(男,男),(男,女)} 1 1 P(B1)=2,P(B1A)=P(A)=4, P?B1A? 1 ∴P(A|B1)= = . P?B1? 2

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探究点二 例2 条件概率公式的灵活应用

2.2.1

在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地

依次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题的概率;
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(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下, 2 次抽到理科题的概率. 第
解 设“第 1 次抽到理科题”为事件 A,“第 2 次抽到理科 题”为事件 B,则“第 1 次和第 2 次都抽到理科题”就是事 件 AB.
(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n(Ω)=A2=20. 5
1 根据分步乘法计数原理,n(A)=A1×A4=12. 3 n?A? 12 3 于是 P(A)= = = . n?Ω? 20 5

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(2)因为 n(AB)=A2=6, 3 n?AB? 6 3 所以 P(AB)= = = . n?Ω? 20 10
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2.2.1

由(1)(2)可得,在“第 1 次抽到理科题的条件下, 3 P?AB? 10 1 第 2 次抽到理科题”的概率为 P(B|A)= = 3 =2. P?A? 5 方法二 因为 n(AB)=6,n(A)=12, (3)方法一
所以 P(B|A)= 小结 n?AB? 6 1 = = . n?A? 12 2 n?AB? 利用 P(B|A)= 解答问题的关键在于明确 B 中的基 n?A?

本事件空间已经发生了质的变化, 即在 A 事件必然发生的前提 下,B 事件包含的样本点数即为事件 AB 包含的样本点数.

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2.2.1

跟踪训练 2 一个盒子中有 6 个白球、4 个黑球,每次从中不 放回地任取 1 个,连取两次,求第一次取到白球的条件下,第 二次取到黑球的概率. 解 方法一 记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到
本 黑球”为事件 B. 课 显然,事件“第一次取到白球,第二次取到黑球”的概率为 时 6×4 4 栏 目 P(AB)=10×9=15. 4 开 关 P?AB? 15 4

由条件概率的计算公式,得 P(B|A)=

P?A?

= 6 =9.

10 方法二 这个问题还可以这样理解:第一次取到白球,则只剩

9 个球,其中 5 个白球,4 个黑球,在这个前提下,第二次取 4 到黑球的概率当然是9.

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探究点三 例3 条件概率的综合应用

2.2.1

一张储蓄卡的密码共有 6 位数字, 每位数字都可从 0~9

中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码 的最后一位数字,求:
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(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数, 不超过 2 次就按对的 概率.
解 设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2), A=A1∪( A1 A2) 则 表示“不超过 2 次就按对密码”.

(1)因为事件 A1 与事件 A1 A2 互斥,由概率的加法公式得 9×1 1 1 P(A)=P(A1)+P( A1 A2)=10+ = . 10×9 5

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2.2.1

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(2)用 B 表示“最后一位按偶数”的事件,则 1 4×1 2 P(A|B)=P(A1|B)+P( A1 A2|B)= + = . 5 5×4 5 小结 本题条件多,所设事件多,要分清楚事件之间的关系及 谁是条件, 同时利用公式 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使有些 条件概率的计算较为简捷,但应注意这个性质在“B 与 C 互 斥”这一前提下才成立.

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2.2.1

跟踪训练 3 在某次考试中,从 20 道题中随机抽取 6 道题, 若考生至少能答对其中的 4 道即可通过;若至少能答对其中 5 道就获得优秀.已知某考生能答对其中 10 道题,并且知道他 在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
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解 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对”,

事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题,另一道答错”, 事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题,另两道答错”, 事件 D 为“该考生在这次考试中通过”, 事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀”, 则 A、B、C 两两互斥,且 D=A∪B∪C, 由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) C6 C5 · 1 C4 · 2 12 180 10 10 C10 10 C10 = 6+ 6 + 6 = 6 . C20 C20 C20 C20

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∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),
∴P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D) P?A? P?B? = + P?D? P?D?
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2.2.1

C6 C5 · 1 10 10 C10 C6 C6 13 20 20 = + = . 12 180 12 180 58 C6 C6 20 20 13 所以他获得优秀成绩的概率是58.

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2.2.1

1. 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数, 从 事件 A=“取到的 2 个数
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之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于 1 A. 8 ( B) 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2

2 2 2 C3+C2 2 C2 1 解析 P(A)= = ,P(AB)= 2= , C2 5 C5 10 5 P?AB? 1 P(B|A)= = . P?A? 4

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2.2.1

2.某班学生考试成绩中,数学不及格的占 15%,语文不及格 的占 5%,两门都不及格的占 3%.已知一学生数学不及格, 则他语文也不及格的概率是
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( A ) C.0.5 D.0.6

A.0.2

B.0.33

解析

设事件 A=“数学不及格”, 事件 B=“语文不及格”, P?AB? 0.03 = =0.2. 0.15 P?A?

则 P(A)=0.15,P(AB)=0.03, 所求概率为 P(B|A)=

所以数学不及格时,该生语文也不及格的概率为 0.2.

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2.2.1

3.某人一周晚上值班 2 次,在已知他周日一定值班的条件下, 1 6 则他在周六晚上值班的概率为________.
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解析 设事件 A 为“周日值班”,事件 B 为“周六值班”,
1 C6 1 P?AB? 1 则 P(A)= 2,P(AB)= 2,故 P(B|A)= = . C7 C7 P?A? 6

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2.2.1

4.设某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8,能活到 25 岁的概率 为 0.4,现有一只 20 岁的这种动物,问它能活到 25 岁的概

0.5 率是________.
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解析

设事件 A 为“能活到 20 岁”,事件 B 为“能活到 25

岁”,则 P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为 P(B|A), P?AB? P?B? 0.4 由于 B?A,故 AB=B,于是 P(B|A)= = = =0.5, P?A? P?A? 0.8

所以一只 20 岁的这种动物能活到 25 岁的概率是 0.5.

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2.2.1

P?AB? n?AB? 1.条件概率:P(B|A)= = . P?A? n?A?
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2.概率 P(B|A)与 P(AB)的区别与联系:P(AB)表示在样本空间 Ω 中,计算 AB 发生的概率,而 P(B|A)表示在缩小的样本 空间 ΩA 中, 计算 B 发生的概率. 用古典概型公式, P(B|A) 则 AB中样本点数 AB中样本点数 = ,P(AB)= . ΩA中样本点数 Ω中样本点数


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