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2013届高三集合、函数与导数、不等式综合测试(含答案)


2013 届高三周练理科数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 I=R,若函数 f(x)=x2-3x+2,集合 M={x|f(x)≤0},N={x|f′(x)<0}, 则 M∩?IN=( 3 A.[2,2] ) 3 B.[2,2) 3 C.(2,2] ) D.既不充分也不必要条件 ( D. 1 ) 3 D.(2,2

)

A. (-∞,-1)∪(2,+∞) C. (-∞,-2)∪(1,+∞)

B. (-2,1) D. (-1,2)

2.对于实数 a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的( A.充分不必要条件 3.若函数 f ( x) ?
1 A. 2

B.必要不充分条件 C.充要条件

x 为奇函数,则 a 的值为 (2 x ? 1)(x ? a) 2 3 B. C. 3 4

?x≥0, 9. 若不等式组?x+2y≥4, ?2x+y≤4
分,则 k 的值是( A.1 )

所表示的平面区域被直线 y=kx+2 分为面积相等的两部

4.如图是函数 y ? f (x) 的导函数 f ?(x) 的图象,则下面判断正确的是 A.在区间(-2,1)上 f (x) 是增函数 B.在区间(1,3)上 f (x) 是减函数 C.在区间(4,5)上 f (x) 是增函数 D.当 x ? 4 时, f (x) 取得极大值 5.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x ∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2010)+f(2011)的值为( A.-2 B.-1 C.1 ) D. 2
-3 -2 O 1

B.2

1 C.2

D.-1

f?x1?-f?x2? 1 10.已知 f(x)=aln x+2x2(a>0),若对任意两个不等的正实数 x1,x2 都有 >2 x1-x2
y
2 3 4 5

恒成立,则 a 的取值范围是 A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)

x

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分)
5 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) , f ( ? ) =______. 2 2 12.若函数 f(x)=ex-a- x恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是________.

11.

1 6. 已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数. a=f(ln3), 设 b=f(log43),c=f(0.4-1.2),则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b> c B.b>a>c C.c>a>b ) D.b>c>a

?1x ?? ? -2 x≤0 13.已知函数 f(x)=? 2 ?f?x-2?+1 x>0 ?

,则 f(2011)=________.

14. 已知正实数 x, 满足 log2(x+y+3)=log2x+log2y, x+y 的取值范围是________. y 则 15.给出下列四个结论: ①命题“?x∈R,x2-x>0”的否定是“?x∈R,x2-x≤0”; ②“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真;

( x ? 0) ?x 7. 若函数 f(x)= ? ,若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是 ln(x ? 1) ( x ? 0) ?

③函数 f(x)=x-sinx(x∈R)有 3 个零点; ④对于任意实数 x, f(-x)=-f(x), 有 g(-x)=g(x), x>0 时, 且 f′(x)>0, g′(x)>0, 则 x<0 时 f′(x)>g′(x). 其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.命题 p:“ ?x ?[1,2], x 2 ? a ? 0 ” ,命题 q:“ ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ” ,若“p
2

1 ?10x-30x3,0≤x≤10 ? ?200 ? 3 ,x>10 ?

,其中 x 是年产量(单位:千件).

(1)写出年利润 W 关于年产量 x 的函数解析式; (2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。

x ?1 17. 已知 p : 1 ? ? 2 ,q : x2 ? 2x ?1 ? m2 ? 0 ? m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的充分而不必要条 3

20.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx. (1)若函数 y=f(x)在 x=2 处有极值-6,求 y=f(x)的单调递减区间; (2)若 y=f(x)的导数 f′(x)对 x∈[-1,1]都有 f′(x)≤2,求 b 的范围. a-1

件,求实数 m 的取值范围.

3 18.(本小题满分 12 分)(1)设 0<x<2,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 1 1 (2)若 x,y 是正数,且满足 x+2y=1,求x +y 的最小值.

21.已知函数 f(x)=

2mx-m2+1 (x∈R). x2+1

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 m>0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值.

19.已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件,需另投入 1.9 万 元 , 设 R(x)( 单 位 : 万 元 ) 为 销 售 收 入 , 根 据 市 场 调 查 , 知 R(x) =

周练理科数学试卷参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 D

3 3 ∵ ∈(0, ), 4 2 3 9 ∴函数 y=4x(3-2x)(0<x< )的最大值为 . 2 2 (2)法一:x>0,y>0,x+2y=1, 1 1 x+2y x+2y 2y x ∴ + = + =3+ + ≥3+2 x y x y x y = 2- 2 1 1 时, + 有最小值 3+2 2. 2 x y 法二:∵x+2y=1, 2y x 2y x ·=3+2 2.当且仅当 = ,即 x=-1+ 2,y x y x y

二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分) 11. 答案 ?

1 2

12.答案(-∞,0]

13.答案 1006 14 答案[6,+∞) 15 答案①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(12 分) 解:若 P 是真命题.则 a≤x2,∵x∈[1,2],∴a≤1; 若 q 为真命题,则方程 x +2ax+2-a=0 有实根, ∴⊿=4a2-4(2-a)≥0,即,a≥1 或 a≤-2, p 真 q 也真时 ∴a≤-2,或 a=1
2

1 1 1 1 ∴ + =( + )(x+2y) x y x y 2y x =3+ + ≥3+2 x y 2y x ·=3+2 2. x y

若“p 且 q”为假命题 ,即
2 2

a ? (?2,1) ? (1,??)

2- 2 2y x 1 1 当且仅当 = ,即 x=-1+ 2,y= 时, + 有最小值 3+2 2. x y 2 x y

17. .(12 分)解:由 x ? 2 x ? 1 ? m ≤ 0 得 1 ? m ≤ x ≤1 ? m ? m ? 0? .

x 1 或 1 所以“ ? q ” A ? x ? R ? ? m x ? ? m m ? , 0 :

?

?.
1 x或 2 0 ? ?

?10x-30x -1.9x-10,0≤x≤10, 19. (13 分) 解:(1)W=? 200 ? 3 -1.9x-10,x>10,
1
3

x ?1 x x 由 1? : ≤ 2 得 ?2 ≤ x ≤10 ,所以“ ? p ” B ? ? ? R ? 3
由 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件知

?.

?-30x +8.1x-10,0≤x≤10 即 W=? 170 ?-1.9x+ 3 ,x>10
1
3

?m ? 0, ? B ? A ? ?1 ? m ≥ ?2, 0 ? m ≤ 3 故 m 的取值范围为 0 ? m ≤ 3 ? ?1 ? m ≤ 10. ?
3 18.(12 分) 解:(1)∵0<x< ,∴3-2x>0, 2 ∴y=4x· (3-2x)=2[2x(3-2x)] 2x+?3-2x? 2 9 ≤2[ ]= . 2 2 3 当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时,等号成立. 4

1 (2)设 f(x)=- x3+8.1x-10,0≤x≤10, 30 1 f′(x)=- x2+8.1.由 f′(x)=0,得 x=9. 10 ∵f(9)=38.6,f(0)=-10,f(10)= 113 <38.6. 3

∴当 x=9 时,f(x)取最大值 38.6, 170 113 又 x>10 时,-1.9x+ < <38.6, 3 3 ∴当 x=9 时,W 取最大值 38.6. 因此,年产量为 9 千件时,该公司所获年利润最大.

20.(12 分) 解

? ? ?f′?2?=0, ?12+4a+b=0, (1)f′(x)=3x +2ax+b,依题意有? 即? 解得 ? ? ?f?2?=-6, ?8+4a+2b=-6,
2

2m?x2+1?-2x?2mx-m2+1? (2)f′(x)= ?x2+1?2 = -2?x-m??mx+1? . ?x2+1?2

?a=-5, ? 2 ? ?b=-2. ?
∴f′(x)=3x2-5x-2. 1 由 f′(x)<0,得- <x<2, 3 1 ∴y=f(x)的单调递减区间是?-3,2?. ? ?
? ?f′?-1?=3-2a+b≤2, (2)由? 得 ? ?f′?1?=3+2a+b≤2 ? ?2a-b-1≥0, ? ?2a+b+1≤0. ?

1 令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=m. m 1 ∵m>0,∴- <m. m 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 1 (-∞,- ) m - 减 - 1 m 1 (- ,m) m + 增 m 0 极大值 (m,+∞) - 减

0 极小值

1 1 所以 f(x)在区间(-∞,- ),(m,+∞)上为减函数,在区间(- ,m)上为增函数. m m 1 1 故函数 f(x)在点 x1=- 处取得极小值 f(- ), m m 1 且 f(- )=-m2. m 函数 f(x)在点 x2=m 处取得极大值 f(m),且 f(m)=1.

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:
?2a-b-1=0, ?a=0, ? ? 由? 得? ? ? ?2a+b+1=0 ?b=-1.

∴Q 点的坐标为(0,-1). b 设 z= ,则 z 表示平面区域内的点(a,b)与点 P(1,0)连线的斜率. a-1 ∵kPQ=1,由图可知 z≥1 或 z≤-2, 即 b ∈(-∞,-2]∪[1,+∞). a-1

2x 4 21.(14 分) 解:(1)当 m=1 时,f(x)= 2 ,f(2)= . 5 x +1 2?x2+1?-4x2 2-2x2 又 f′(x)= = 2 , ?x2+1?2 ?x +1?2 6 则 f′(2)=- . 25 所以,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 4 6 y- =- (x-2), 5 25 即 6x+25y-32=0.


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