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mathlab作业二


MATLAB 作业二
1、 请将下面给出的矩阵 A 和 B 输入到 MATLAB 环境中,并将它们转换成符号矩阵。若某 一矩阵为数值矩阵,另以矩阵为符号矩阵,两矩阵相乘是符号矩阵还是数值矩阵。

?5 ?2 ? ?6 ? A??3 ?10 ? ?7 ?4 ?

7 6 5 1 6 5? 5 5 0 ?3 ?3 3 1 0 0 1

4? 2 5 4 ? ? ?1 4 2 0 6 4 4? 2 1 1 ? ? 9 6 3 6 6 2? , B ? ? 3 5 1 5 ?4 7 6 0 0 7 7? 1 0 1 ? ? 2 4 4 0 7 7? ? ?3 ?4 ?7 3 ? 1 ?10 7 ?6 8 6 7 2 1 7? ? ?

1 2 6 3 2 2 2 4 1 0

7 8 8 1

3? 5? ? 6? ? 2? 1? ? 12 ? 5? ?

一矩阵为数值矩阵,另以矩阵为符号矩阵,两矩阵相乘是符号矩阵。 2、 利用 MATLAB 语言提供的现成函数对习题 1 中给出的两个矩阵进行分析,判定它们是

否为奇异矩阵,得出矩阵的秩、行列式、迹和逆矩阵,检验得出的逆矩阵是否正确。 对 A: >> det(A) ans = -3.5432e+04 >> rank(A) ans =7 >> trace(A) ans = 27

对 B: >> det(B) >> rank(B)

ans = -2.6326e-26 ans =5

>> trace(B) ans = 26 由 A 和 B 的行列式的值可以看出,矩阵 A 为非奇异矩阵,而矩阵 B 为奇异矩阵,而由 norm 的结果可以说明对 A 直接求逆的结果比较准确, 而对矩阵 B 直接求逆的偏差较大, 所以对奇异矩阵不适合用 inv 函数直接求逆。

3、 试求出习题 1 中给出的 A 和 B 矩阵的特征多项式、 特征值与特征向量, 并对它们进行 LU 分解。 对 A:

对 B:

4、试求下面齐次方程的基础解系。

6 x1 ? x2 ? 4 x3 ? 7 x4 ? 3x5 ? 0 ? ? ?2 x1 ? 7 x2 ? 8 x3 ? 6 x4 ? 0 ? ? ? ?4 x1 ? 5 x2 ? x3 ? 6 x4 ? 8 x5 ? 0 ? ?34 x ? 36 x ? 9 x ? 21x ? 49 x ? 0 1 2 3 4 5 ? ? 26 x ? 12 x ? 27 x ? 27 x ? 17 x ? 1 2 3 4 5 ?0 ?

基础解系 x:

5、试求下面线性代数方程的解析解与数值解,并检验解的正确性。

?2 ?10 ? ?8 ? ? ?5

?9 3 ?2 ?1? ? ?1 ?4 0 ? ? ? ?3 ?8 ?4 ? ?1 10 5 0 ? ? X ?? ?0 3 3? ?2 ?4 ?6 3 ? ? ? ? ?6 ?6 ?8 ?4 ? ? 9 ?5 3 ?

解析解求解过程:

通解:

检验:

数值解求解过程:

通解:

检验:

由以上过程可以对原方程组求解,从 norm 的结果可以看出用解析的方法求得的结果的精 确度更高。

6、试判定下面的线性代数方程是否有解。

?16 2 3 13? ?1 ? ? 5 11 10 8 ? ? ? ? ? X ? ? 3? ? 9 7 6 12? ?4? ? ? ? ? ? 4 14 15 1 ? ?7 ?

通过求方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩,因为两个秩不等故原方程组无解。 7、求解能转换成多项式方程的联立方程,并检验得出的高精度数值解(准解析解)的精度。

? x ? x2 ? 1 ? 0 1) ? 2 2 ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 0.5) ? 1 ? 0
2 1

? x 2 y 2 ? zxy ? 4 x 2 yz 2 ? xz 2 ? 2) ? xy 3 ? 2 yz 2 ? 3x3 z 2 ? 4 xzy 2 ? y 2 x ? 7 xy 2 ? 3xz 2 ? x 4 zy ?

(1)

(2)

? 10x1 ? x2 ? 2 x3 ? 72 ? 8 、 用 Jacobi 、 Gauss-Seidel 迭 代 法 求 解 方 程 组 ? ? x1 ? 10 x2 ? 2 x3 ? 83 , 给 定 初 值 为 ? ? x ? x ? 5 x ? 42 3 ? 1 2

x(0) ? (0,0,0)T 。
jocobi 迭代法:

Gauss-Seidel 迭代法:

两种方法的计算结果一致,但是可以看出后一种方法的迭代次数更少。 9、 取? ? 1.4, x
(0)

?1 ? 2 x1 ? x2 ? ? (1,1,1) , 用超松弛法解方程组 ? ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 0 ? ? x ? 2 x ? 1.8 2 3 ?
T


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