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2013届高考数学二轮突破知精讲精练综合训练(二)


综 合 训 练 ?二?

时量:50 分钟

满分:50 分

解答题:本大题共 4 小题,第 1,2,3 小题各 12 分,第 4 小题 14 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. π π 1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0, ω>0,0<φ< , x∈R)的图

象上相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 2 π 其图象上一个最高点为 P( ,3). 6 (1)求 f(x)的解析式; π π (2)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的值域. 12 2 π 解: (1)由 f(x)图象上的一个最高点为 P( ,3)得 A=3. 6 π T π 又由 f(x)图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ,得 = ,即 T=π. 2 2 2 2π 2π 所以 ω= = =2. T π π π π 由点 P( ,3)在图象上,得 3sin(2× +φ)=3,即 sin(φ+ )=1, 6 6 3 π π π 则 φ+ =2kπ+ ,即 φ=2kπ+ (k∈Z), 3 2 6 π π 又 0<φ< ,则 φ= . 2 6 π 故 f(x)=3sin(2x+ ). 6 π π π π 7π (2)因为 x∈[ , ],所以 2x+ ∈[ , ]. 12 2 6 3 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最大值 3, 6 2 6 π 7π π 3 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最小值- . 6 6 2 2 3 故 f(x)的值域为[- ,3]. 2

2.如图所示的几何体是由四棱锥 P-ABCD 与三棱锥 P-BCE 组合成而成,已知四边形 PABE 是边长 为 2a 的正方形,BC⊥平面 PABE,DA∥CB,且 BC=2AD=2a,M 是 PC 的中点. (1)求证:DM∥平面 PABE;

(2)求点 E 到平面 PCD 的距离; (3)求平面 PCD 与平面 PABE 所成二面角的余弦值.

解析:以 A 为坐标原点,分别以直线 AP、AB、AD 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 因为 PA=AB=2a,BC=2AD=2a, 则 A(0,0,0),P(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,2a,0),D(0,0,a),C(0,2a,2a),M(a,a,a). → → → (1)证明:因为DM=(a,a,0),AB=(0,2a,0),AP=(2a,0,0), → 1→ 1→ 所以DM= AB+ AP, 2 2 → → → 所以DM与AB,AP共面. 又 D?平面 PABE,所以 DM∥平面 PABE. → → (2)DC=(0,2a,a),DP=(2a,0,-a). 设 n=(x,y,z)为平面 PCD 的一个法向量, → ?n· =0 ? ? DC ?2ay+az=0 则? ,即? , ?2ax-az=0 → ? ?n· =0 ? DP 取 z=2,则 y=-1,x=1,所以 n=(1,-1,2). → 又PE=(0,2a,0),设 E 到平面 PCD 的距离为 d, → |PE· 2a n| 6a 则 d= = = , |n| 3 6 所以点 E 到平面 PCD 的距离为 6 a. 3

(3)由(2)知平面 PCD 的法向量 n=(1,-1,2),而平面 PABE 的一个法向量 m=(0,0,1). 设平面 PCD 与平面 PABE 所成的角为 θ, m· n 2 6 则 cosθ= = = . |m|· |n| 3 6×1 3.从某中学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高(单位: 厘米)数据绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)由图中数据求 a 的值以及身高在[165,170)之内的学生人数 b; (2)若要从身高在[170,175),[175,180),[180,185]的三组内的学生中,用分层抽样方法选取 6 名学生参加 某项选拔,求各组分别选取的人数; (3)学校决定在(2)中选取的 6 名学生中随机抽取 3 名学生进行某项测试,设身高在[170,175)内的学生被 抽取的人数为 ξ,求 ξ 的分布列以及 ξ 的数学期望. 解析:(1)由频率分布直方图可知,组距为 5, 所以(0.07+a+0.04+0.02+0.01)×5=1, 所以 a=0.06. 身高在[165,170)组内的学生人数 b=0.07×5×100=35 人. (2)因为身高在[170,175),[175,180),[180,185]的学生人数分别为 0.06×5×100=30 人,0.04×5×100 =20 人,0.02×5×100=10 人, 利用分层抽样方法从中抽取 6 名学生, 30 20 10 则每组分别抽取 ×6=3 人, ×6=2 人, ×6=1 人, 60 60 60 所以在[170,175),[175,180),[180,185]三组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. (3)在选取的 6 名学生中随机抽取 3 名学生进行测试,身高在[170,175)内的学生被抽取的人数 ξ 的可能 取值分别为 0,1,2,3, C3 1 C1· 2 9 3 3 C3 且 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = , C6 20 C6 20 C3 1 9 3 P(ξ=3)= 3= ,P(ξ=2)= , C6 20 20 所以 ξ 的分布列如下: ξ P 0 1 20 1 9 20 2 9 20 3 1 20

1 9 9 1 30 3 所以 Eξ=0× +1× +2× +3× = = . 20 20 20 20 20 2 4.某建筑公司用 8000 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4000 平方米的 楼房. 经初步估计得知, 如果将楼房建为 x(x≥12)层, 则每平方米的平均建筑费用为 Q(x)=3000+50x(单位: 元),为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多 购地总费用 少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

解析:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,依题意得 8000×10000 20000 f(x)=Q(x)+ =50x+ +3000(x≥12,x∈N). 4000x x 方法 1: 20000 f(x)=50x+ +3000≥2 x 20000 50x· +3000=5000, x

20000 当且仅当 50x= ,即 x=20 上式取“=”. x 因此,当 x=20 时,f(x)取得最小值 5000(元). 20000 20000 方法 2:f(x)=50x+ +3000,f′(x)=50- 2 , x x f′(x)=0(x≥12)?x=20. 12≤x<20 时,f′(x)<0,f(x)是减函数; x>20 时,f′(x)>0,f(x)是增函数, 所以当且仅当 x=20 时,f(x)有最小值 f(20)=5000. 答: 为了使楼房每平方米的平均综合费最少, 该楼房应建为 20 层, 每平方米的平均综合费最小值为 5000 元.