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高三数学专题复习模块二 函数


模块二

函数

? 高考大纲
要求层次 考试内容 函数的概念与表示 函数及其表示 映射 单调性与最大(小)值 函数的基本性质 奇偶性 幂函数的概念 二次函数与幂函数 幂函数的图像及其性质 有理指数幂的含义 指数与指数函数 实数指数幂的意义 幂的运算 指数函数的概念、图像及其性质 对数的概念及其运算性质 对数与对数函数 换底公式

对数函数的概念、图像及其性质 指数函数与对数函数互为反函数(a>0 且) 函数的图像 函数的值域与最值 函数的定义域和值域 函数的最大值和最小值 函数的零点 函数与方程 二分法 函数模型的应用 A B C

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1

? 分析解读
从考纲内容来看,主要考查: (1) 、了解函数的构成要素,会求一些简单函数的定义域和值域。 (2) 、掌握简单的分段函数的应用。 (3) 以导数为工具研究函数的单调性,并以解答题形式出现。 (4) 、函数奇偶性的判断常与函数的单调性、最值结合考查。 (5) 、理解并掌握一次函数与二次函数的定义、图像及性质。 (6) 、运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题。 (7) 、了解幂函数的性质。 (8) 、掌握几种常见幂函数的图像。 (9) 、函数值的计算、函数值的求法、函数值的大小比较等。 (10) 、对数式运算和对数函数的图像和性质或由它复合而成的函数。 (11) 、以图像为载体考查函数的性质。 (12) 、理解函数的值域与最值的定义。 (13) 、掌握求函数的值域和最值的方法。 (14) 、掌握求方程近似解的方法。

2

定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性

区间

一元二次函数 一元二次不等式

指 数 函 数

根式

分数指数 指数方程 对数方程 对数的性质

指数函数的图像和性质

单调性 周期性 对数 积、商、幂与 根的对数 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质

反 函 数

互为反函数的 函数图像关系

对 数 函 数

?

考点一

函数及其表示

函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数。 表示函数的常用方法有:解析法、图像法和列表法

? 考点二

函数的定义域

函数的定义域的求法: 列出使函数有意义的自变量的不等关系式, 求解即可求得函数的 定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数大 于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
3

? 考点三

函数的单调性

定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函 数. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间?a,b? 内,若总有f ( x) ? 0则f ( x)为增函数。(在个别点 上导数等于0 ,不影响
函数的单调性) , 反之也对,若f ( x) ? 0呢?

? 考点四

函数的奇偶性

?偶函数: f (? x) ? f ( x) .设( a , b )为偶函数上一点,则( ?a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,
f ( x) ? 1. f ( ? x)

?奇函数: f (? x) ? ? f ( x) .设( a , b )为奇函数上一点,则( ? a ,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,
f ( x) ? ?1 . f (? x)

? 考点五

二次函数
2

b ? 4ac ? b 2 ? 二次函数y ? ax ? bx ? c?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 2a ? 4a ?
2

? b 4ac ? b 2 ? b ?? , ?,对称轴x ? ? 顶点坐标为 ? 2a ? 4a ? 2a ?
4

开口方向:a ? 0,向上,函数y min ?

4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的 关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x2为二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次 不等式ax 2 ? bx ? c ? 0(? 0)解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。如:

?? ? 0 ? b ? 二次方程ax2 ? bx ? c ? 0的两根都大于 k ? ?? ?k 2 a ? ? ? f (k ) ? 0
一根大于k,一根小于k ? f (k ) ? 0

y

(a>0)

O

k x1

x2

x

? 考点六

幂函数

一般地,形如 y ? x a (a ? R ) 的函数称为幂函数,其中 a 为常数。幂函数中,
1 2, 3, , ? 1 时,性质如下表所示: 当 a ? 1, 2
函数 特征 性质 定义域 值域 单调性 所过定点
1

y=x R R 增 (1,1) (0,0)

y ? x2

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1
{x| x ? 0}

R [0, ?? ) x ?[0, ? ?) 增 x ? ( ??, 0] 减 (1,1) (0,0)

R R 增 (1,1) (0,0)

[0, ?? ) [0, ?? ) 增 (1,1) (0,0)

{y| y ? 0}

x ? ( 0, ? ?) 增 x ? ( ??,0) 减

(1,1)

结合以上特征,得幂函数的性质如下: (1)所有的幂函数在 (0, ? ?) 都有定义,并且图象都通过点(1,1) ;
5

(2)当 a 为奇数时,幂函数为奇函数;当 a 为偶数时, 幂函数为偶函数; (3)如果 a>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区 (0<a<1)
y y=ax(a>1) y=logax(a>1) 1 O 1 (0<a<1) x

? ?) 上是增函数; 间 [0,
(4)如果 a<0,则幂函数在区间 (0, ? ?) 上是减函数。

? 考点七

指数函数与对数函数

指数函数: y ? a x ?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质! (注意底数的限定! )

对数函数 y ? loga x?a ? 0,a ? 1?

指数运算:a ? 1(a ? 0),a
0

?p

1 ? p (a ? 0) a

m an

? a (a ? 0),a
m

n

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

对数运算: loga M · N ? loga M ? loga N ?M ? 0,N ? 0?

loga

M 1 ? loga M ? loga N, loga n M ? loga M N n

对数恒等式:a loga x ? x
对数换底公式: loga b ? logc b n ? loga m b n ? loga b logc a m

? 考点八

函数图象的判断、变化与应用

图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图 象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 1、周期性:

若存在实数 T(T ? 0),在定义域内总有 f ?x ? T ? ? f ( x),则f ( x)为周期函数,
T 是一个周期。 2、对称性:

f ( x)与f (? x)的图象关于y轴对称

f ( x)与 ? f ( x)的图象关于x轴对称

f ( x)与 ? f (?x)的图象关于 原点对称

f ( x)与f ?1 ( x)的图象关于直线y ? x对称

6

f ( x)与f (2a ? x)的图象关于直线x ? a对称
3、平移:

f ( x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a, 0)对称

左移a(a?0)个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x)图象 ????????? ?? 右移a(a?0)个单位 y ? f ( x ? a) 上移b(b?0)个单位 y ? f ( x ? a) ? b ????????? ?? 下移b(b?0)个单位 y ? f ( x ? a) ? b
4、翻折:

f ( x) ? ?? f ( x) f ( x) ? ?? f (| x |)

? 考点九

函数的值域与最值

函数值域、最值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法” ;③反函数法;④换 元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法;?平均值定理法;⑧利用函数的有界性;⑨几何法; ⑩导数法。

? 考点十 函数的零点与方程的根
1. 函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
2.函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零 点. 3.函数零点的求法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 4.二分法步骤: ①确定区间 ?a, b? ,验证 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ;
7

②求区间 ?a, b ? 的中点 c,计算 f (c) ; ③判断 f (a)、f (b)、f (c) 的正负,找出下一个有根的区间。

1.【2008 北京文,2,5 分】若 a ? log3 π,b ? log7 6,c ? log2 0.8 ,则( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a



? 举一反三
1 1.1【2009 湖南,1,5 分】若 log2a<0, ? 1 ,则( 2
A.a>1,b>0 B.0<a<1,b>0
b



C.a>1,b<0

D.0<a<1,b<0

1.2【2011 重庆,5,3 分】下列区间中,函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ,在其上为增函数的是 (A) (??,1] (B) ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

(C)

3 [0, ) 2

(D) [1, 2)

?21? x , x ? 1 1.3【2011 辽宁,9,5 分】设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围 ?1 ? log2 x, x ? 1
是 A. [ ?1 ,2] B.[0,2] C.[1,+ ? ] D.[0,+ ? ]

2.【2011 北京文,3,5 分】如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么(
2 2

). D. 1 ? y ? x

A. y ? x ? 1

B. x ? y ? 1

C. 1 ? x ? y

8

?

举一反三

2.1【2012 高考重庆文 7】已知 a ? log 2 3 ? log 2 3 , b ? log 2 9 ? log 2 3 , c ? log 3 2 则 a,b,c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) a ? b ? c (D) a ? b ? c

2.2【2012 高考全国文 11】已知 x ? ln ? , y ? log5 2 , z ? e (A) x ? y ? z (B) z ? x ? y (C) z ? y ? x

?

1 2

,则 (D) y ? z ? x

3. 【 2010 北 京 文 ,4,5 分 】 若 a,b 是 非 零 向 量 , 且 a ? b , a ? b , 则 函 数

?

?

?

?

? ? ? ? f ( x) ? ( xa ? b ) ? ( xb ? a) 是
(A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数

? 举一反三
3.1【2011 浙江,11,4 分】若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=
2

3.2【2011 广东,4,5 分】 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结 论恒成立的是( ) B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数

A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数

3.3【2008 辽宁,12,5 分】设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则 满足 f ( x) ? f ( A.-3 B.3

x?3 ) 的所有 x 之和为( x?4
C.-8 D.8



9

4.【2009 北京文,4,5 分】为了得到函数 y ? lg 所 有的点( )

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上 10

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

? 举一反三
4.1【2010 上海,8,5 分】对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=loga(x+3)的反函数的图 象都经过点 P,则点 P 的坐标是

x 4.2【2012 四川,5,5 分】函数 y ? a ?

1 (a ? 0, a ? 1) 的图像可能是( a



A.

B.

C.

D.

4.3【2012 课标全国,10,5 分】已知函数 f ( x) ? ( )

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln(x ? 1) ? x

A.
10

B.

C.

D.

5.【2008 北京文,5,5 分】函数 f ( x) ? ( x ?1)2 ? 1( x ? 1) 的反函数为( A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1)



? 举一反三
5.1【2012 高考全国文 2】函数 y ? (A) y ? x 2 ? 1( x ? 0) (C) y ? x ? 1( x ? 0)
2

x ?1( x ? ?1) 的反函数为
(B) y ? x 2 ? 1( x ? 1) (D) y ? x ? 1( x ? 1)
2

6.【2010 北京文,6,5 分】 给定函数① y ? x 2 , ② y ?o g l ( 1) 1x ?
2

1

, ③ y ?| x ? ④y?2 1 | ,

x ?1



期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④

? 举一反三
6.1【2012 高考四川文 4】函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x



11

6.2【2012 高考陕西文 2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x2 C. y ?



1 x

D. y ? x | x |

7.【2012 北京文,8,5 分】某棵果树前 n 年得总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记 录的结果看,前 m 年的年平均产量最高, m 的值为( )

A. 5

B. 7

C.

9

D. 11

? 举一反三
e x ? e?x 7.1【2009 山东,6,5 分】函数 y ? x 的图象大致为( e ? e ?x


A.

B.

12

C.

D.

7.2【2011 江西,10,5 分】如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方 向滚动, M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么, 当小圆这样滚过大圆内壁的一周, 点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )

A

B

C.

D.

8. 【 2012 北 京 文 ,12,5 分 】 已 知 函 数 f ( x) ? lg x , 若 f ( a b ) ?

, 则 1

f (a2 ) ? f (b2 ) ? _____________。

?

举一反三

? 1, x ? 0 ?1,x为有理数 ? , 则 f ( g (? )) 的值为 8.1【2102 高考福建文 9】设 f ( x) ? ? 0, x ? 0 , g ( x) ? ? ?0,x为无理数 ?? 1x ? m ?
A 1 B 0 C -1 D

?

8.2【2012 高考陕西文 11】设函数发 f(x)=

,则 f(f(-4) )=

13

8.3 【 2012 高考上海文 9 】已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则

g (?1) ?

?3x , x ? 1, 9.【2009 北京文,12,5 分】 已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 , 则x? ?? x, x ? 1,

.

?

举一反三

9.1【2010 陕西,5,5 分】已知函数 f ( x) ? ? ( A. )

? 2x ? 1, x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1

若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a 等于

1 2

B.

4 5

C.2

D.9

9.2【2012 高考天津文科 14】已知函数 y ? 点,则实数 k 的取值范围是 .

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交

?2 x?2 ? , 10. 【2011 北京文,13,5 分】 已知函数 f ( x) ? ? x , 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 .

? 举一反三
10.1【2011 山东,10,5 分】已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x -x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 B.7 C.8 D.9
3



10.2 【2012 山东,12,5 分】 设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax 2 ? bx (a, b ? R, a ? 0) .若 y ? f ( x) x

的图像与 y ? g ( x) 图像有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则下列判断正
14

确的是 A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0 B. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0

10.3【2012 福建,15,4 分】对于实数 a 和 b,定义运算“﹡”:a*b=

设f

(x)=(2x﹣1)﹡(x﹣1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实 数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 _________ .

11. 【2012 北京文,14,5 分】 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , 若 ?x ? R , g ( x) ? 2 ? 2 。
x

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________。

? 举一反三
11.1【2011 重庆,10,5 分】 设 m,k 为整数,方程 mx 2 ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个 不同的根,则 m+k 的最小值为 (A)-8 (C)12 (B)8 (D)13

11.2【2012 浙江,9,5 分】设 a>0,b>0. A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b

12.【2011 北京文,14,5 分】设 A(0,0), B(4,0), C (t ? 4,3), D(t ,3)(t ? R)。记 N (t ) 为平行四 边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则

N (0) ?

; N (t ) 的所有可能取值为



15

? 举一反三
12.1【2010 陕西,10,5 分】某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表, 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班 人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] ([x]表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为 ( A. y ? ? ? 10 )

?x? ? ?

B. y ? ? ? 10 ? ?

? x ? 3?

C. y ? ? ? 10 ? ?

? x ? 4?

D. y ? ? ? 10 ? ?

? x ? 5?

13.【2010 北京文,14,5 分】如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。

设顶点 p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是 y ? f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期 为 ;y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 。

说明: “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方 向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转, 当顶点 B 落在 x 轴上时, 再以顶点 B 为中心顺时针 旋转,如此继续,类似地,正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。

? 举一反三
13.1【2010 湖南,8,5 分】用 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值.若函数 f(x)=min{|x|, |x+t|}的图象关于直线 x ? ? A.-2

1 对称,则 t 的值为( 2
B.2

) C.-1 D.1

13.2【2012 江西,10,5 分】如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上 一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部
16

分. 记 SE=x (0<x<1) , 截面下面部分的体积为 V (x) , 则函数 y=V (x) 的图象大致为 (



14.【2008 北京文,14,5 分】已知函数 f ( x) ? x2 ? cos x ,对于 ? ? , ? 上的任意 x1,x2 , 2 2 有如下条件:
2 2 ① x1 ? x2 ; ② x1 ; ③ x1 ? x2 . ? x2

? π π? ? ?

其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是



? 举一反三
14.1【2012 上海,9,4 分】已知 y=f(x)+x 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1)=
2

14.2【2008 福建,4,5 分】函数 f(x)=x +sinx+1(x∈R) ,若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2

3

14.3【2011 湖北,6,5 分】已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a A.2
x

-a-x+2(a>0,且 a≠0) .若 g(a)=a,则 f(a)=(
B.

) D.a
2

15 4

C.

17 4

17

佩雷尔曼:大隐隐于“数”
历史上, 很多科学家都有着古怪的性格, 科学家中的数学家, 更是有多个人以古怪著称, 而“古怪数学家”的典型代表就是来自俄罗斯的佩雷尔曼了。 一谈到佩雷尔曼, 除了提到他 破解了大名鼎鼎的庞加莱猜想, 拒绝领取数学界最高荣誉“菲尔兹”奖之外, 话题的核心就 是他与众不同的性格。最近,一本新出的传记《一个天才和世纪数学突破的故事》将这位有 着 古 怪 性 格 的 伟 大 数 学 家 的 隐 秘 生 活 摆 到 人 们 面 前 。 1 、 抛 弃 名 利 , 拒 “ 菲 尔 兹 ” 和 百 万 大 奖

1904 年,法国数学家庞加莱做出了一个猜想,用三体空间来帮助理解宇宙的形状。这 个 猜 想 是 拓 朴 学 发 展 的 关 键 。 2000 年 , 美 国 一 家 私 人 研 究 机 构 克 莱 数 学 研 究 所 (ClayMathematicsInstitute)宣布,为世界七大数学难题悬赏 700 万大奖。任何人只要解 开其中任何一个难题,将获得 100 万美元的奖金。“庞加莱猜想”就是这七大难题之一,其 他一些难题包括计算机理论界的第一号难题“PVs.NP”、以杨振宁命名的“杨 -米尔斯理 论”以及数学领域中最重要的猜想“黎曼假设”等。 为了这七大难题, 无数科学家费尽一生 周折或几十年的光阴,最终选择放弃。人们甚至怀疑,这家研究所送不出哪怕是一分钱。 最终,“七大难题攻不破”的咒语被打破了。2002 年,一个名叫格利高里·佩雷尔曼 ( GrigoriPerelman ) 的 俄 罗 斯 数 学 家 破 解 了 “ 庞 加 莱 猜 想 ” 。 在发表在预印本文献库 arXiv.org 上的一系列文章中, 佩雷尔曼用简明扼要的语言扫除 了证明“庞加莱猜想”的最终障碍。他的证明完全行得通,全球数学界震惊了。与此同时, 小道消息也在不大的数学圈中传开: 这个数学家似乎天生对名声就没有兴趣, 只是简单地在 网络上发表自己的研究, 并不打算正式发表自己的论文。 他继续隐居在他圣彼得堡的公寓中, 偶 尔 接 受 媒 体 的 采 访 , 但 几 乎 不 和 外 界 接 触 。

2006 年,中国数学家宣布另行解开了庞加莱猜想。不过,一些学者认为他们的结论事 实上引用了佩雷尔曼的成果。 此事一度引发巨大争议。 不过, 佩雷尔曼本人并没有对此发言, 他 显 得 更 封 闭 了 。

当年, 《科学》杂志以“本年度科学最大突破”之名承认,佩雷尔曼破解了庞加莱猜想, 这算是数学界首次承认了他的成就。 紧接着, 数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖被授予佩雷尔
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曼,这是国际数学联盟对他的正式肯定。然而,他的举动再次惊动世人———他竟然拒绝领 取了这个数学界的诺贝尔奖,理由很简单,“这个奖和我没有关系。如果证据是正确的,每 个 人 都 能 理 解 它 , 那 么 也 不 需 要 什 么 肯 定 。 ”

佩雷尔曼同样也拒绝了克莱数学研究所的百万美元奖赏, 如果要领取这个奖, 他必须将 论文发表在相关权威数学期刊上。他始终没有这么做。更令人惊讶的是,不久之后,佩雷尔 曼就辞去了他在司捷克洛夫数学研究所的职位, 他在辞职信中这么写着: “我对数学厌倦了, 我 想 2 、 做 成 长 不 过 程 同 , “ 的 孤 事 僻 的 情 数 学 。 天 才 ” ”

有人认为,佩雷尔曼个性孤僻,向来不善与人打交道,“隐居”生活并不奇怪;有人认 为,佩雷尔曼和研究所发生了矛盾,当他破解了庞加莱猜想后,他的同事们却有意忽视了这 个事实;还有人认为,尽管佩雷尔曼破解了世界难题,但他并没有领取“菲尔兹”奖,是因 为他极度贫困到拿不出旅费来。 而关于佩雷尔曼最新传记中, 专注于后苏联时期知识分子的 俄罗斯记者格森(MashaGessen)认为,佩雷尔曼的确从小就是一个安静、孤僻但超级聪明 的 数学 天才, 但真 正让他 与世 界自我 隔离起 来的 ,还 是因为 他对完 美的 极度 追求。 1966 年,佩雷尔曼出生在列宁格勒市(现圣彼得堡)一个普通的犹太知识分子家庭, 父亲是电机工程师, 也是佩雷尔曼成长过程中重要的角色。 他很喜欢用各种逻辑和数学的难 题来挑战儿子的智慧。他给了儿子很多书,教会他下象棋,佩雷尔曼的母亲是名数学老师, 他的姐姐后来也成为数学家。不过,只有佩雷尔曼从小就展示了惊人的数学才华。14 岁时, 佩雷尔曼已经成为圣彼得堡数学俱乐部的重要成员。 圣彼得堡天才少年数学中心的主任瑞斯 金(SerygeyRukshin)开始亲自指导佩雷尔曼的学习。两年后,佩雷尔曼以一个完美的满分 获 得 了 当 年 国 际 数 学 奥 林 比 克 竞 赛 的 金 奖 。

佩雷尔曼虽然孤僻,但很友善,无论对朋友还是同学,他都很友好。他自己在数学以外 也 有 兴 趣 , 比 如 他 会 听 歌 剧 , 会 算 计 着 生 活 的 开 支 。 16 岁时,佩雷尔曼就进入了列宁格勒州立大学学习,很快就被安排到高级几何班中上 学。他的表现完全折服了他的老师布莱格(YuriBurago) :“佩雷尔曼的回答总是正确的, 他总是很仔细,很仔细地检查。他并不快,对他来说,速度根本没有关系。数学并非关于速 度,是关于深度。”他在接受《纽约客》的采访时说。在休息的时候,佩雷尔曼会玩乒乓球, 玩他妈妈教他的小提琴。 一旦碰到了一个难题, 小佩雷尔曼就会在自己的桌上反复地打一个 乒 乓 球 , 使 劲 地 搔 自 己 的 下 巴 , 低 声 呻 吟 直 到 解 开 这 个 问 题 。 3 美 国 访 学 ,
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佩雷尔曼上大学的时候就不修边幅, 指甲长到了弯曲的程度。 他只想在一个知名的国家 数学所中无拘无束地研究数学,他的梦想实现了。上世纪 80 年代末,佩雷尔曼以一篇“欧 式几何”的论文结束了列宁格勒州立大学的博士项目研究。 后来, 他进入司捷克洛夫数学研 究 所 , 上 升 为 一 名 闪 耀 的 数 学 明 星 。

1992 年,他受邀到美国的纽约大学和纽约州立大学进行为期一年的访问。在美国,佩 雷尔曼依然以古怪的性格和生活习惯出名。 他每天都穿同样的一件灯芯绒棕色夹克衫, 只吃 俄罗斯黑面包、奶酪和发酵奶,指甲长到了几英寸长。“他就像怪僧拉斯普丁,长发飘飘, 指甲巨长。”加州大学洛杉矶分校的数学家格林(RobertGreene)形容道。尽管佩雷尔曼很 少与人打交道,美国同事们依然喜欢他。佩雷尔曼还将一个俄罗斯的爱好带到了美国:他会 骑 车 到 森 林 中 去 采 蘑 菇 。

佩雷尔曼在美国很重要的一个阶段是后来到普林斯顿大学高级研究中心, 进行每周一次 的 讲 座 。

同时,佩雷尔曼也认识了来自世界各地的重要数学家,比如瑟斯敦(WilliamThurston) 和 汉 密 尔 顿 ( RichardHamilton ) 。他们对佩雷尔曼的研究工作产生了很大的影响。 随后,佩雷尔曼得到了一个加州大学伯克利分校的奖学金,在一次演讲中,他第一次透 露了准备攻破庞加莱猜想的想法。 佩雷尔曼在伯克利发表了几篇重要的论文, 并参加了 1994 年的国际数学家大会,很多美国和以色列的大学都看中了这位年轻的当红数学家。然而,一 些奇怪的事情发生了, 佩雷尔曼拒绝给斯坦福大学的一个职位递交简历, 说如果大学熟悉他 的工作的话,就不会需要简历。同样的,他也拒绝了欧洲的一些科研机构。 1995 年,佩雷尔曼离开了美国,回到圣彼得堡。他告诉朋友,自己在美国赚的钱足够 他下半生的生活了。他迁回到母亲的公寓中和母亲同住,并一直都和母亲生活在一起。此后 的几年中,他就将自己大部分的时间封闭在这个公寓中,他几乎很少和同事联系,也没有和 世界上其他数学家沟通。 尽管他还能从互联网中获取一些数学界的最新消息, 但是他已经完 完全全沉浸在自己的研究中———直到 2002 年突然在网上发表自己的研究成果。这才最终 完 成 了 他 这 一 生 最 大 的 成 就 。

在俄罗斯,佩雷尔曼的名声已经超越了他的数学成就,他成为很多流言、笑话和漫画中 的角色,但是在数学界,他依然是最令人尊敬的数学家之一。如同《纽约时报》评价的,他 破 解 了 庞 加 莱 , “ 是 数 学 发 展 , 也 是 人 类 思 想 发 展 的 里 程 碑 ” 。 延 ● 庞
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伸 加

阅 莱

读 猜

: 想

法国数学家庞加莱 1904 年提出一个猜想,即在一个三维空间中,假如每条封闭的曲线 都能收缩成一点,这个空间一定是一个圆球。简单来说就是:每一个没有破洞的封闭三维物 体 , 都 拓 扑 ● 等 价 菲 于 三 维 尔 的 球 兹 面 。 奖

这是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。 每四年颁奖一次, 每次最多 四人得奖。 得奖者在该年元旦前需不满四十岁。 它是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹 的 要 求 设 立 的 。 菲 尔 兹 奖 被 视 为 数 学 界 的 诺 贝 尔 奖 。 ●arXiv 由物理学家保罗·金斯巴格在 1991 年建立的网站,本意在收集物理学的论文预印本, 随后括及天文、 数学等其他领域。 现今的数学家及科学家习惯将其论文先上传至 arXiv.org, 再 提 交 予 ● 专 怪 业 僧 的 学 拉 术 斯 期 普 刊 。 丁

俄国尼古拉二世时的神秘主义者, 擅长催眠术。 因为对皇储阿列克谢的治疗工作而获得 信任,可以自由出入宫廷。拉斯普丁掌握着对皇后的巨大影响力,甚至官员的任命都要先获 得他的同意。1916 年,他被政敌暗杀。 (来源:科学松鼠会)

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模块二答案: 函数
1. 【考点]】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】根据 π>3,6<7,2>1,0.8<1,可知 log3π>1,0<log76<0,log20.8<0,进而 比较出大小. 【解答】∵ log3π>1,0<log76<0,log20.8<0 ∴ a>b>c 故选 A. 【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象.是高考的热点. 1.1 【考点】对数函数的单调区间 【解析】依题意,根据指数函数与对数函数的图象和单调性知 0<a<1,b<0 【答案】D 【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式,属基本题. 1.2 【考点】对数函数的单调性,函数图象的变换 【解析】用图像法解决,将 y ? lg x 的图像关于 y 轴对称得到 y ? lg ? ?x ? ,再向右平移两 个单位,得到 y ? lg ? ? x ? 2? ,将得到的图像在 x 轴下方的部分翻折上来,即得到

?

?

f ( x) ? lg(2 ? x) 的图像。由图像,选项中 f ( x) 是增函数的显然只有 D
【答案】D 【点评】易错点:对对数函数的性质模糊,平移出错。 1.3 【考点】对数函数的单调性,不等式 【解析】 当 x≤1 时, 2 ≤2 的可变形为 1-x≤1, x≥0, ∴0≤x≤1. 当 x>1 时, 1-log2x≤2 的可变形为 x ? 【答案】D
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1-x

1 ∴x≥1,故答案为[0,+∞) . 2

【点评】本题主要考查不等式的转化与求解,应该转化特定的不等式类型求解. 2. 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】 本题所给的不等式是一个对数不等式, 我们要先将不等式的三项均化为同底根据对 数函数的单调性,即可得到答案. 【解答】不等式 log 1 x ? log 1 y ? 0 可化为: log1 x ? log1 y ? log1 1
2 2

2

2

2

又∵函数 y= log1 x 的底数 0<
2

1 <1 2

故函数 y= log1 x 为减函数
2

∴x>y>1 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点, 其中根据对数函数的性质将对数 不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键. 2.1 【答案】B 【解析】 a ? log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3 ?

1 3 log 2 3 ? log 2 3 , 2 2

1 3 log 2 2 1 b ? log 2 9 ? log 2 3 ? 2 log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3 , c ? log 3 2 ? ? 2 2 log 2 3 log 2 3
则a ? b ? c 2.2 【答案】D 【解析】 x ? ln ? ? 1 , 所以 y ? z ? x ,选 D. 3. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 f ( x) ? xb 2 ? xa 2 ,因为 a ? b ,所以 f ( x) ? x(b 2 ? a 2 ) ,所以函数 f(x)是一 次函数且是奇函数 【解答】因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,
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,z ?e

?

1 2

?

1 e



1 1 ? ? 1, 2 e

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? f ( x) ? ( xa ? b ) ? ( xb ? a) ? xb 2 ? xa 2 ,因为 a ? b
所以 f ( x) ? x(b 2 ? a 2 ) , 所 以 函 数 f ( x ) 是 一 次 函 数 且 是 奇 函 数

?

?

故选 A 【点评】 本题主要考查平面向量的数量积运算和函数的奇偶性. 求解中要明确两向量互相垂 直等价于二者点乘等于 0 3.1 【考点】偶函数的定义 【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即 x -|x+a|=x -|x-a|恒成立,即 |x+a|=|x-a|恒成立,所以 a=0 【答案】0 【点评】本题考查偶函数的定义:f(x)=f(-x)对于定义域内的 x 恒成立. 3.2 【考点】函数奇偶性的判断 【解析】∵函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则|g(x)|也为偶函数, 则 f(x)+|g(x)|是偶函数,故 A 满足条件;f(x)-|g(x)|是偶函数,故 B 不满足条 件; |f(x)|也为偶函数,则|f(x)|+g(x)与|f(x)|-g(x)的奇偶性均不能确定。故选 A 【答案】A 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,其中根据已知确定 |f(x)|、|g(x)| 也为偶函数,是解答本题的关键. 3.3 【考点】偶函数的性质 【解析】 :∵f(x)为偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数∴若 f ( x) ? f (
2 2

x?3 ) 时,即 x?4

x?3 x?3 )或? x ? f ( ) ,得 x2+3x-3=0 或 x2+5x+3=0,此时 x1+x2=-3 或 x3+x4=-5. x?4 x?4 x?3 ) 的所有 x 之和为-3+(-5)=-8,故选 C. ∴满足 f ( x) ? f ( x?4 x? f(
【答案】C 【点评】 本题属于函数性质的综合应用, 解决此类题型要注意: 变换自变量与函数值的关系、
24

培养数形结合的思想方法. 4. 【考点】对数函数,图像的变换 【解析】因为 y ? lg

x?3 ? lg( x ? 3) ? 1 ,∴只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点向左平 10

移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,故选 C. 【答案】C 【点评】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查. 4.1 【考点】对数函数的图像和性质,反函数 【解析】函数 f(x)=logax 恒过(1,0) ,将函数 f(x)=logax 向左平移 3 个单位后,得到 f(x)=loga(x+3)的图象,故 f(x)=loga(x+3)的图象过定点(-2,0) ,又由互为反函 数的两个函数图象关于直线 y=x 对称,所以其反函数的图象过定点(0,-2) 【答案】 (0,-2) 【点评】指数函数恒过(0,1)点,对数函数恒过(1,0)点,则此不难推导: g(x)=a 4.2 【考点】指数函数的图像与变换
x 【解析】首先 y ? a ?

(x+h)

+k 恒过(-h,1+k)点,而 f(x)=loga(x+h)+k 恒过(1-h,k)点.

1 1 (a ? 0, a ? 1) 以看成把函数 y ? a x 的图象向下平移 个单位得到 a a

的.

1 1 1 (a ? 0, a ? 1) 是增函数, 图象过点 (0,1 ? ) , 当1 ? 1 ? ? 0 , a a a 1 1 x 故排除 A、 B. 当 1>a>0 时, 函数 y ? a ? (a ? 0, a ? 1) 是减函数, 图象过点 (0,1 ? ) , a a 1 且 1 ? ? 0 故排除 C,故选 D. a
x 当 a>1 时, 函数 y ? a ?

【答案】D 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点的应用,指数函数的图象变换,体现了分 类讨论的数学思想,属于中档题. 4.3 【考点】对数函数图像与性质的综合运用,导数

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' 【解析】设 g ( x) ? ln(x ? 1) ? x , g ( x) ? ?

x ∴g(x)在(-1,0)上为增函数,在(0, x ?1

+∞)上为减函数,∴g(x)<g(0)=0,∴ f ( x) ? (x)<0 排除 A,C,D 【答案】B

1 ? 0 得:x>0 或-1<x<0 均有 f g ( x)

【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系,利用导数研究函数性质的应用, 排除法解图象选择题,属基础题 5. 【考点】反函数. 【分析】解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y 换位, 2、解:解出 y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数. 【解答】∵y=(x-1) +1, ∴(x-1) =y-1, ∵x<1 即 x-1<0, ∴x-1= ?
2 2

y ?1
-1

移项并换号得 f (x)=1 ? x ? 1 又 故选 B 【点评】本题主要考查反函数的知识点,解答本题的关键是求出原函数的值域,此题是一道 比较基础的习题, 希望同学们解答时一定注意: 一是要注意利用原函数的定义域去 判定在逆运算的过程中根号前面的符号,二是用原函数的值域作为反函数的定义 域. 5.1 【答案】B 【解析】因为 x ? ?1 所以 y ?
2

















y



1



x ? 1 ? 0 .由 y ? x ? 1 得, x ? 1 ? y 2 ,所以 x ? y 2 ? 1 ,

所以反函数为 y ? x ? 1( x ? 0) ,选 A. 6. 【考点】函数单调性的判断与证明.
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【分析】 本题所给的四个函数分别是幂函数型, 对数函数型, 指数函数型, 含绝对值函数型, 在 解 答 时 需 要 熟 悉 这 些 函 数 类 型 的 图 象 和 性 质 ; ① y ? x2 为 增 函 数 , ②
1

y ? log 1 ( x ? 1) 为定义域上的减函数,③y=|x-1|有两个单调区间,一增区间一个
2

减区间,④ y ? 2x?1 为增函数. 【解答】①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求; ②中的函数是由函数 y ? log1 x 向左平移 1 个单位长度得到的,因为原函数在 (0,
2

+∞)内为减函数,故此项符合要求; ③中的函数图象是由函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上方, 下方图象翻折到 x 轴上方而 得到的,故由其图象可知该项符合要求; ④中的函数图象为指数函数,因其底数大于 1,故其在 R 上单调递增,不合题意. 故选 B. 【点评】本题考查了函数的单调性,要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件. 6.1 【答案】C 【解析】当 a ? 1 时单调递增, ? a ? 0 ,故 A 不正确;因为 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒不过 点 (1,1) ,所以 B 不正确;当 0 ? a ? 1 时单调递减, , ? 1 ? ?a ? 0 故 C 正确 ;D 不 正确. 6.2 【答案】D. 【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A 非奇非偶的增函数;B 是奇函数且 是减函数; C 是奇函数且在 (??,0) , (0,??) 上是减函数; D 中函数可化为

? x2 , x ? 0 易知是奇函数且是增函数.故选 D. y?? 2 ?? x , x ? 0
7. 【考点】函数的图象与图象变化;函数的表示方法;函数模型及其应用。 【解析】若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P(S,n)点,则前 n 年的年平均产量即 为直线 OP 的斜率,由图易得当 n=9 时,直线 OP 的斜率最大,即前 9 年的年平均产量最高, 故选 C。
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【答案】C 【点评】 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义, 其中正确分析出平均 产量的几何意义是解答本题的关键. 7.1 【考点】函数的图象判断与图象变化. 【解析】函数有意义,需使 e x ? e? x ≠0,其定义域为{x|x≠0},排除 C,D,

e x ? e?x e2x ? 1 2 ? 2x ? 1 ? 2x 又因为 y ? x ,所以当 x>0 时函数为减函数,故选 A。 ?x e ?e e ?1 e ?1
【答案】A 【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于 给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考查其余的性质. 7.2 【考点】函数的图象判断与图象变化. 【解析】如图,由题意可知,小圆 O1 总与大圆 O 相内切,且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.设 某时刻两圆相切于点 A,此时动点 M 所处位置 为点 M′,则大圆圆弧, 与小圆点 M 转过的 圆弧相等.以切点 A 在如图上运动为例,记直 线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1,记∠AOM=θ , 则∠OM1O1=∠M1OO1=θ ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠ OM1O1=2θ .大圆圆弧的长为 l1=θ ×1=θ , 小圆圆弧的长为即 l1=l2, ∴小圆的两段圆弧和长相等,故点 M1 与点 M′重合,即动点 M 在线段 MO 上运动, 同理可知,此时点 N 在线段 OB 上运动.点 A 在其他象限类似可得,M、N 的轨迹为相互垂直 的线段.观察各选项,只有选项 A 符合.故选 A. 【答案】A 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中分析出 M,N 的位置与大圆及大 圆圆心的重合次数,以及点 M 转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键 8.
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【考点】对数的运算性质. 【分析】 由函数 f (x) =lgx,f (ab)=lg (ab)=1, 知f (a ) +f (b )=lga +lgb =2lg(ab) . 由 此能求出结果. 【解答】∵函数 f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1, f(a )+f(b )=lga +lgb
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=lg(ab) =2lg(ab)=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 8.1 【答案】B. 【解析】 ? 是无理数 ? g (? ) ? 0 ? f ( g (? )) ? f (0) ? 0 ,故选 B. 8.2 【答案】4.
?4 【解析】? ?4 ? 0,? f (?4) ? ( ) ? 16 ? 0 ,? f ( f (?4)) ? f (16) ? 16 ? 4 .

1 2

8.3 【答案】3 【解析】由 g (1) ? f (1) ? 2 ? 1 ,得 f (1) ? ?1 ,所以 g (?1) ? f (?1) ? 2 ? ? f (1) ? 2 ? 3 。 9. 【考点】函数的图像与图像变化 【分析】要求若 f(x)=2 时,对应自变量 x 的值,我们可根据 f ( x) ? ?

?3x , ?? x,

x ? 1, x ? 1,

构造方

程,然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论,即可得到答案.

?3x , x ? 1, 【解答】由 f ( x) ? ? ?x=log32, ?? x, x ? 1,
?x ? 1 ,无解,故答案为 log32 ? ?? x ? 2 ? x ? ?2
【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值.属于基础知识、基本运算的 考查.分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法 是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、
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单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者. 9.1 【考点】分段函数,函数及其表示 【解析】由题知 f(0)=2,f(2)=4+2a,由 4+2a=4a,解得 a=2.故选 C. 【答案】C 【点评】本题考查对分段函数概念的理解. 9.2 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 。 【解析】函数 y ?

x2 ?1 x ?1

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1

,当 x ? 1 时, y ?

x2 ?1 x ?1

? x ?1 ? x ?1,

当 x ? 1 时, y ?

x2 ?1

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? , x ?1 ? x ? 1, x ? ?1

? x ? 1,x ? 1 ? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ,做出函数的图象, 综上函数 y ? x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
要使函数 y 与 y ? kx 有两个不同的交点, 则直线 y ? kx 必须在蓝色或黄色区域内,

如图



则此时当直线经过黄色区域时 B(1,2) ,k 满足 1 ? k ? 2 , 当经过蓝色区域时,k 满 足 0 ? k ? 1 ,综上实数的取值范围是 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 。 10. 【考点】函数的零点与方程的根,分段函数

?2 x?2 ? , 【解析】函数 f ( x) ? ? x 的图像如右图: ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
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由图像可知 f ( x) 在 (??, 2] 上取值从 ? ? 单调递增到 1,在 [ 2, ? ?) 上取值从 1 单调递减 并趋向于 0;由于 f ( x) 的图象和直线 y ? k 有两个交点,所以 0 ? k ? 1 . 【答案】 (0,1) 【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 其中根据方程的根与对应函数零 点的关系, 将方程问题转化为函数问题是解答的关键. 同时应注意数形结合和转化思想的运 用。 10.1 【考点】函数的零点与方程的根,函数的周期性 【解析】当 0≤x<2 时,f(x)=x -x=0 解得 x=0 或 x=1,因为 f(x)是 R 上最小正周期 为 2 的周期函数,故 f(x)=0 在区间[0,6)上解的个数为 6,又因为 f(6)=f(0)
3

=0,故 f(x)=0 在区间[0,6]上解的个数为 7,即函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]
上与 x 轴的交点的个数为 7,故选 B 【答案】B 【点评】本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用,考查利用所学知识解决问题 的能力. 10.2 【考点】函数的零点与方程的根,不等式,导数的应用。

1 ? ax 2 ? bx , 则 1 ? ax3 ? bx2 ( x ? 0) , 设 F ( x) ? ax3 ? bx2 , x 2b F ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ,令 F ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 0 ,则 x ? ? ,要使 y=f(x)的图像与 3a ? 2b 2b 3 2b ) ? a ( ? ) ? b( ? ) 2 ? 1 , y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 只需 F ( 整理得 3a 3a 3a
【解析】法一:令

4b 3 ? 27a 2 ,于是可取 a ? ?2, b ? 3 来研究,当 a ? 2, b ? 3 时, 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 ,解得

1 , 此时 y1 ? ?1, y 2 ? 2 , 此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ; 当 a ? ?2, b ? 3 时, 2 1 ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? ? , y1 ? 1, y2 ? ?2 ,此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 . 2 1 1 法二:令 f ( x) ? g ( x) 可得 2 ? ax ? b 。设 y ? ? 2 , y ?? ? ax ? b ,不妨设 x1 ? x 2 , x x x1 ? ?1, x 2 ?
结合图形可知,

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

y
31

y
x2

x1

x

x1

x2

y ?? ? ax ? b (a ? 0) x

当 a ? 0 时 如 图 , 此 时 x1 ? x2 , 即 ? x1 ? x2 ? 0 , 此 时 x1 ? x2 ? 0 ,

y2 ?

1 1 ? ? ? ? y1 , 即 y1 ? y2 ? 0 ; 同 理 可 由 图 形 经 过 推 理 可 得 当 a ? 0 时 x2 x1

x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .
【答案】B 【点评】从解析可看出,第二种方法显然简单省事些,这就要求考生能熟练运用数形结合的 思想。 10.3 【考点】函数的零点与方程的根,分段函数的解析式求法及其图象的作法。
【解析】∵2x﹣1≤x﹣1 时,有 x≤0, ∴根据题意得 f(x)=

即 f(x)=

,画出函数的图像:

从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三 个互不相等的实数根时,m 的取值范围是(0, ), 当﹣x +x=m 时,有 x1x2=m, 当 2x ﹣x=m 时,由于直线与抛物线的交点在 y 轴的左边, 得到 ∴x1x2x3=m( , )= ,又 故有 h(m)>h(0)=1∴ 数 y= 即 ,m∈(0, )令 y= ,则 在 m∈(0, )上是增函数, <0 在 m∈(0, )上成立,∴函
2 2

在这个区间(0, )上是一个减函数,∴函数的值域是(f( ),f(0)), 故答案为:

32

【答案】 【点评】本题考查分段函数的图象,考查新定义问题,这种问题解决的关键是根据新定义写 出符合条件的解析式,本题是一个综合问题,涉及到导数判断函数的单调性,本题是一个中 档题目. 11. 【考点】复合命题的真假. 【分析】由于 g(x)=2x-2≥0 时,x≥1,根据题意有 f(x)=m(x-2m) (x+m+3)<0 在 x >1 时成立,根据二次函数的性质可求 【解答】∵g(x)=2x-2,当 x≥1 时,g(x)≥0, 又∵? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 ∴此时 f(x)=m(x-2m) (x+m+3)<0 在 x≥1 时恒成立 则由二次函数的性质知开口只能向下,且二次函数与 x 轴交点都在(1,0)的左面

? m?0 ? 则 ?? m ? 3 ? 1 ,∴-4<m<0 ? 2m ? 1 ?
故答案为: (-4,0)

【点评】 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立, 指数函数与二次函数性质的应用是解 答本题的关键。 11.1 【考点】二次函数的性质
2 【解析】设 f ? x ? ? mx ? kx ? 2 ,则方程 mx ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的

2

33

? f ? 0 ? f ?1? ? 0 ? k ? 根等价于 ? 0 ? ? 1 ,因为 f ? 0? ? 2 ,所以 f ?1? ? m ? k ? 2 ? 0 ,故抛物线开口向 2m ? 2 ? ? k ? 8m ? 0
上,于是 m ? 0 , 0 ? k ? 2m ,令 m ? 1 ,则由 k 2 ? 8m ? 0 ,得 k ? 3 ,则 m ? 以 m 至少为 2,但 k 2 ? 8m ? 0 ,故 k 至少为 5,又 m ?

k 3 ? ,所 2 2

k 5 ? ,所以 m 至少为 3,又由 2 2

m ? k ? 2 ? 5 ? 2 ,所以 m 至少为 4,??依次类推,发现当 m ? 6, k ? 7 时, m, k 首次满
足所有条件,故 m ? k 的最小值为 13 【答案】D 【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系,解答要注意几个关键点: (1)将一元 二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与 x 轴的交点来处理; (2) 将根据不等式组求两 个变量的最值问题处理为规划问题; (3) 作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示 的公共区域; (4)不可忽视求得最优解是整点. 11.2 【考点】指数函数的综合应用 【 解 析 】 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b , 必 有 2a ? 2a ? 2b ? 2b . 构 造 函 数 : f ? x ? ? 2x ? 2 x , 则
f ? ? x ? ? 2x ? l n 2 ? ? 2 恒成立, 0 故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2 x 在 x>0 上单调递增, 即 a>b 成立. 其

余选项用同样方法排除. 【答案】A 【点评】考察函数的性质和比较大小,利用单调性比较大小是常用的方法,而单调性除了用 初等函数的性质来判断外,还有求导法。 12. 【分析】作出平行四边形,结合图象得到平行四边形中的整数点的个数. 【解答】当 t=0 时,平行四边形 ABCD 内部的整点有(1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (2,2) ; (3, 1) ; (3,2)共 6 个点, 所以 N(0)=6 作出平行四边形 ABCD 将边 OD,BC 变动起来,结合图象得到 N(t)的所有可能取值为 6,7,8 故答案为 6;6,7,8
34

【点评】本题考查画可行域、考查数形结合的数学思想方法. 12.1 【考点】函数及其表示 【解析】特殊取值法。若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A;故选 B 【答案】B 【点评】此题运用特殊取值法会比较简单,主要考查给定条件求函数解析式的问题,这里主 要是要读懂读明白题意, 再根据数学知识即可得到答案. 对于选择题要会选择最恰当的方法. 13. 【考点】轨迹方程;函数的周期性. 【分析】由题中信息可知无论正方形是沿着 x 轴的正方向还是负方向滚动,再次使用点 P 与 x 轴接触的 x 轴方向的路程是 4,故其最小正期为 4,在正方形的翻滚过程中, 函数 y=f(x)的两个相邻零点间点 P 的轨迹如图所示,可得其面积. 【解答】不难想象,从某一个顶点(比如 A)落在 x 轴上的时候开始计算,到下一次 A 点落 在 x 轴上, 这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上, 而每两个顶点间距离为正方形 的边长 1,因此该函数的周期为 4.下面考察 P 点的运动轨迹,不妨考察正方形向 右滚动,P 点从 x 轴上开始运动的时候,首先是围绕 A 点运动

1 个圆,该圆半径为 4

1,然后以 B 点为中心,滚动到 C 点落地,其间是以 BP 为半径,旋转 90°,然后 以 C 为圆心,再旋转 90°,这时候以 CP 为半径,因此最终构成图象如下:故其与 x 轴所围成的图形面积为 S= 故答案为 4, ? ? 1 【点评】考查了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,本题是一道信息题, 考查学生的分析问题能力、阅读能力、推理能力和应用知识解决问题的能力. 13.1 【考点】函数的图像与图像变化 【解析】由下图可以看出,要使函数 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线 x ? ?

1 1 1 ? ?12 ? ? ? ( 2 )2 ? 2 ? ?1?1 ? ? ? 1 , 2 4 2

1 对称, 2

35



t







t=1

故应选 D. 【答案】D 【点评】本题的考点是函数的图象与图象的变化,通过新定义考查学生的创新能力,考查函 数的图象,考查考生数形结合的能力,属中档题. 13.2 【考点】函数的图像,线面垂直,导数。 【解析】定性法:当 0 ? x ? 减的速度越来越快;当

1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递 2

1 ? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知,V ? x ? 单调递减,且递 2

减的速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A. 【答案】A 【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 y ? f ? x ? 的图象对应的解析式不好求时,作为 选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的 计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用 定性法,不但求解快速,而且准确节约时间. 14. 【考点】导数,函数的图像,函数的奇偶性 【解析】函数 f ( x) ? x ? cos x 显然是偶函数,其导数为 y’=2x+sinx,当 0<x<
2

sinx≤1,0<2x≤π ,∴f′(x)>0,函数 f(x)在 [0, 函数在 [?

?
2

? 时,0< 2

] 上为增函数,由偶函数性质知

?
2

,0] 上为减函数。当 x12>x22 时,得|x1|>|x2|≥0,∴f(|x1|)>f(|x2|) ,由

函数 f ( x )在 [ ?

? ?

, ] 为偶函数得 f ( x1 )> f ( x2 ) ,故②成立.因为 ? ? ,而 2 2 3 3
36

?

?

f ( ) ? f ( ? ) ,∴①不成立,同理可知③不成立.故答案是②. 3 3
【答案】② 【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性,属于利用性质推导出自变量的大小的问题, 本题的解题方法新颖,判断灵活,方法巧妙. 14.1 【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【解析】由题意,y=f(x)+x 是奇函数,且 f(1)=1,所以 f(1)+1+f(-1)+(-1) =0 解得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1 【答案】-1 【点评】本题考查函数奇偶性的性质,利用函数奇偶性求值,解题的关键是根据函数的奇偶 性建立所要求函数值的方程,基本题型. 14.2 【考点】函数奇偶性的性质. 【解析】∵由 f(a)=2,∴f(a)=a +sina+1=2,a +sina=1,又∵f(-a)=(-a) +sin(-a) +1=-(a +sina)+1=-1+1=0.故选 B 【答案】B 【点评】本题主要考查函数奇偶性的运用.属基础题. 14.3 【考点】函数奇偶性的性质 【解析】∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,g(x)是定义在 R 上的偶函数, 由 f(x)+g(x)=a -a +2 ① 得 f(-x)+g(-x)=a
x -x
3 3 3 3 2 2

?

?

-x

-ax+2=-f(x)+g(x)



①②联立解得 f(x)=a f(a)=f(2)=2 【答案】B
2

x

-a-x,g(x)=2,由已知 g(a)=a,∴a=2

-2-2=

15 4

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法--方程组法,函数奇偶性的性质,其中利用 奇偶性的性质,求出 f(x),g(x)的解析式,再根据 g(a)=a 求出 a 值,是解答本题的 关键.

37


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