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竞赛讲义-力矩平衡——上课

时间:2017-09-23


力学中的三种力

1 弹力:物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。 弹簧: F ? ?kx (在弹性范围内) 2 摩擦力: 相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或 相对运动趋势的力。 滑动摩擦力:
fk ? ? N

? 摩擦力总是阻止相对运动。

1.关于弹力
1.1 弹力的大小

/>
F=k x,k为弹簧的劲度系数。
1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反. 接触面:沿法线方向 绳子:沿绳子方向 杆:较复杂
N T F Fn F?

1.3 弹簧的串联与并联
k1
k1 k2 F F k2

1 1 1 ? ? k k1 k2

k ? k1 ? k2

2.关于摩擦角
将摩擦力f和接触面对物体的正压力N 合成一个力F,合力F称为全反力。
F φ N

在滑动摩擦情况下定义tanφ=μ=f/N, 则角φ为滑动摩擦角;在静摩擦力达 到临界状态时,定义tanφ0=μs=fm/N, 则称φ0为静摩擦角。

α

f0
fm

例 2.1 如图所示,有一固定的斜面,其倾角?=300,一质 量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上, 它与斜面之间的摩擦系 数为 ?=0.8 。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边 缘平行的力 F 作用在物体上,F 从零逐渐增大。问:F 为 多大时,物体开始运动,开始运动的方向怎样?

解:

F 2 ? (mg sin ? ) 2 ? f max ? mg ? cos ? Fmin ? mg ? cos ? ? sin ?
2 2 2

F

? 2.40( N )
mg sin ? tan ? sin ? ? ? ? 0.722 f max ?

?
f

? ? 46.20

?

F

mg sin ?

力矩、定轴转动物体的平衡

决定物体转动效果的两个因素:1.力的大小;2.力臂。
力和力臂的乘积越大,力对物体的转动作用就越大

力矩
反映力对物体转动效果的物理量

力矩(M):

力矩总是对某一转轴而言的,对 不同的转轴,同一个力 的力臂不 同,力矩也不同。

1.定义:力F和力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。
2.定义式: M=FL

3.单位:N· m 读作“牛米”
注:N· m作为功的单位,叫做焦耳(J),N· m作为力矩的单位不能叫做焦耳(J)

4.物理意义:力矩是表示力对物体的转动作用的物理量。
力矩越大,力对物体的转动作用就越大; 力矩为零,力对物体不会有转动作用。

注意:力矩是表示力对物体的转动作用的物理量,物
体转动方向通常认为有顺时针和逆时针两个,使物体顺 时针转动的力矩通常表示为M顺(负力矩),使物体逆 时针转动的力矩通常表示为M逆(正力矩)。

力偶:二个大小相等、方向相反而不在一直线上 的平行力称为力偶。 力偶中的一个力与力偶臂(两力作用线之间的垂 直距离)的乘积叫做力偶矩。

转动平衡:有转动轴的物体在力的作用下,处于 静止或匀速转动状态。
即:力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的 力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。

平衡时: M顺= M逆(杠杆的平衡只是两个力矩的平衡)

拓展

三个力矩平衡时:

M顺= M逆

一直角尺可绕过A点垂直纸面的轴转动,直角尺AB 边的长度为30cm , BC边的长度为40cm ,F1=F2=F3=10N , F1⊥BC ,F2⊥AC ,F3沿着BC的方向 (如图 ),则此三个 4 N· m m 力对轴A的 力矩M1= , M2= 5 N· , 3 N· m M3= ;其中使直角尺向逆时针方向转动的力 M2 、M3 矩有 ,使直角尺向顺时针方向转动的力矩 A 有 M1 ,试判断尺能否平衡?


30cm
B

F2



40cm

C
F1

F3

如图所示,一根轻质木棒AO,A端用光滑铰链固定于墙上, 在O端下面吊一个重物,上面用细绳BO系于顶板上,现将B点 逐渐向右移动,并使棒AO始终保持水平,则下列判断中正确 的是 ( )

A.BO绳上的拉力大小不变。
B.BO绳上的拉力先变大后变小。

D

C.BO绳上的拉力对轻杆的力矩先变大后变小。
D.BO绳上的拉力对轻杆的力矩不变。
A B O

匀质杆OA重P1,长为l1,能在竖直平面内绕固定铰链O 转动,此杆的A端用铰链连另一重为 P2、长为l2的均匀 杆AB,在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与 水平线所成的角度 ? 与 ? 的大小,以及 OA 与 AB 间的作 用力。
O

?

P1

A P2

?
B

F

解:
(1)

以AB为研究对象,有

以OA+AB为研究对象,有

l2 Fl2 sin ? ? P cos ? 2 2 P tan ? ? 2 2F

O

?

P1

A
P2

?
B

F

l1 l2 P cos ? ? P ) ? F (l1 sin ? ? l2 sin ? ) 1 2 ( Fl1 cos ? ? 2 2 P 1 ? 2P 2 tan ? ? 2F

(2)

以AB为研究对象,其所受的合力为零,因此

N ?

F ?P
2

2 2

N

N 的方向与水平线的夹角?满足:

A

F

P 2 tan ? ? F

?
P2

B

两个可视为质点的小球a和b,用质量可忽略的刚 性细杆相连,放置在一个光滑的半球面内,如图所示。 已知小球a和b的质量之比为 3 ,细杆长度是球面半 径的 2 倍。两球处于平衡状态时,细杆与水平面的 夹角 ? 是: ( D ) O A. 45° B.30°
b a θ

C.22.5°

D.15°

解:

细杆长度是球面半径的 2倍, ∴∠aOb=90° 过O作竖直线OD,作ab的垂线OC, ? ?aOD ? ? ? 45 ? ? 由力矩平衡条件,ΣMO =0
ma g ? R sin ? ? mb g ? R cos ?
O β β θ a θ C mbg b

mb 3 tan ? ? ? ma 3 ? ? 30?

? ? 45? ? ? ? 30?

D
mag

12 、 如 图 所 示 , 均 匀 球 重 为 G ? 30N , 放 在 倾 角 为

? ? 37? 的 固 定 斜 面 上 , 球 的 顶 端 用 一 根 水 平 绳 子 拉
住,球静止。求: (1) 绳 子 对 球 的 拉 力 T ; (2 ) 斜 面 对 球 的 弹 力 N 和 摩 擦 力 f 。

O α

解:
( 1 )球 受 力 情 况 如 图 所 示 ,以 球 与 斜 面 交点为转动轴,根据力矩平衡可得
T ( R ? R cos? ) ? GRsin?

T
N O A

GR sin? T ? ? 10 N R ? R cos?

G
α

f
B

(2)解法 一:
以 球 心 为 转 轴 , 由 力 矩 平 衡 条 件 得 f R ? TR

f ? T ? 10 N
以斜面和绳的交点

A 为转轴,由力矩平衡条件得

G ? AC ? N ? AB
由于 A C ? A B

C N O

T

N ? G ? 30N

A
f B

G
α

解法二: 由受力平衡条件得,水平方向
T ? f cos? ? N sin?

竖直方向 G ? f sin? ? N cos? 以上两式联立可解得

T N O f α B

N ? G ? 30N

A

G

1.两个 质 量 分 布 均 匀 的 球 , 半 径 为 r , 重 为 P , 置 于 两 端 开 口 的 圆 筒 内 , 圆 筒 半 径 为 R ( r ? R ? 2r ) , 并 竖 直 放 在 水 平 面 上 ( 如 图 所 示 ) 。 设所有接触面均光滑,为使圆筒不至于倾倒,圆 筒的最小重量 Q 为多少?如果换成有底的圆筒, 情况又如何?
O2 O1

解法一: (整体法)
取两个球整体为研究对象,则地面对球的支持力 N ? 2P 取筒及两个球组成的系统为研究对象, 受力情 况如图所示

N (2 R ? r ) ? Q ? R ? P ? r ? P(2 R ? r )
2( R ? r ) Q? P R

N
O1

O2

P
Q

P

如果筒有底,则筒底总有弹力,因此筒无论如何都 不会翻。

25

解法二: (隔离法)
O2 球受力如图所示,根据平衡条件可知
N ? P cot? ? P ? 2 R ? 2r (2r ) ? ?2 R ? 2r ?
2 2

N'

对圆筒有
QR ? N ? (2r ) ? (2 R ? 2r )
2 2

N
O1

?

O2

P

以上两式联立可解得
2( R ? r ) Q? P R

2.如图所示,半径是 0.1m,重为 10 3 N 的均匀 小球, 放在光滑的竖直墙和长为 1m 的光滑木板 (不 计重力)OA 之间,木板可绕轴 O 转动,木板和竖 直墙的夹角为 ? ? 60 ,求墙对球的弹力和水平绳 对木板的拉力。
o

O

解:

对木板 OA 受力分析如图所示,由力矩平衡条件得 ? N1 ? Rctg ? T ? L cos ? ①
2

对球受力分析如图所示,根据平衡条件得 ② N1 sin ? ? G
N1 cos ? ? N2


T

?
O
N1
N1

由①②式得

2 = 4 3 N=6.93N L sin ? cos ? 由②③式得 N =10N T ?
2

GRctg

?

?
G

N2

28

3、 重为 80 千克的人沿如图所示的梯子从底部向上 攀登, 梯子质量为 25 kg , 顶角为 30? 。 已知 AC 和 CE 都为 5 m 长且用铰链在 C 点处相连。 BD 为一 段轻绳,两端固定在梯子高度一半处。设梯子与 地面的摩擦可以忽略,求在人向上攀登过程中轻 绳中张力的变化规律。 (取重力加速度 g ? 10 m/s 2 )
C

B
A

D
E

解:
设梯子质量为 M ,长为 l ;人的质量为 m ,人到 A 点的距 离为 x 以整体为研究对象,受力情况如图所示 C

N1 ? N 2 ? Mg ? mg

以 C 点为轴,应满足
N 2l sin15? ? mg(l ? x) sin15? ? N1l sin15?
N1 A

B

Mg mg

D N2

E

取左侧梯子为研究对象,以 C 点为轴,则 l Mg l mg(l ? x) sin15? ? T ? ? cos15? ? ? ? sin15? ? N1l sin15? 2 2 2

以上三式联立解得

T ? (125? 160x) tan15?

4. 如 图 所 示 , 一 个 质 量 M 、 棱 边 长 为 L 的 立 方 体放在粗糙的平面上,在左上棱施力,使立方 体向前或向后翻转,立方体不与平面发生相对 滑动,求向前和向后施加力的最小值以及对应 的摩擦因数。
F



M

L



解: (1)如图图所示,当立方体向前翻滚时,以 B
点为转动轴,根据力矩平衡的条件可知,当力 臂最大时,施加的力最小,则施加的力 F 应垂 直于 BC
L Mg ? ? F? 2
F

2L

C M G B


F ?

若不发生相对滑动,此时应满足 ? ( Mg ? F sin 45 ) ? F cos 45

2Mg 4

1 ?? 3

(2)如图所示,当立方体向后翻滚时,以 A 点为转 动轴,根据力矩平衡条件可知,当力臂最大时,施加 的力最小,则施加的力 F 应垂直于 AC
L Mg ? ? F?L 2
F


C M G

Mg F ? 2

A

若不发生相对滑动,此时应满足 F ? ? Mg

1 ?? 2

6.质量为 m,长为 l 的均匀杆 AB,下端靠在竖直墙 上,借助绳 CD 保持倾斜状态。如图所示,绳的一端系 2 在墙上 C 点,一端系在杆上 D 点, AD ? AB ,绳和 3 墙成 ? 角,杆和墙成 ? 角平衡。试求:为保持平衡, 墙面和杆间摩擦系数应取多大?

你可能需要的公式: sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

C

A

?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? m sin ? sin ?
2 2
?
B

a sin? ? b cos ? ? a ? b sin(? ? ? )
a tan ? ? ( ? 为辅助角, ) b

D

解: 杆平衡时,取 B 轴,受力如图,则
T? l l sin(? ? ? ) ? G sin ? 3 2 3 sin ? T ? ?G 2 sin(? ? ? )
C
A

?

T

沿水平竖直方向分解,则可得:
D

f ? [1 ?

3 sin ? cos ? ]G 2 sin(? ? ? )

3 sin ? sin ? N ? G 2 sin(? ? ? )

?
B
G

故若 f ? 0 ,即 2tg? ? tg? 时, ? 可取任意值。
若 f ? 0 ,即 f 方向向上,即 2tg? ? tg? 时, ? ?
1 2 1 ( ? ) 3 tg ? tg?

若 f ? 0 ,即 f 方向向下,即 2tg? ? tg ? 时, ? ?

1 1 2 ( ? ) 3 tg? tg ?

35

8、三根质量为 m 、长为 l 的相同匀质棒,如图所示地紧靠在一起, 三棒与地接触点的连线构成一边长为 l 的正三角形。 已知三个棒与地 面间的摩擦系数相等。 1 .试求 OA 棒顶点所受作用力的大小与方向; 2.若在 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球,再求其顶端所受作 用力的大小和方向; 3.固定小球后,要使体系保持静止,则棒与地面之间的摩擦系数至 少为多少?
O

A

C

B

1.三根棒的顶端相互靠在一起,如图所示。
由对称性可知,任何一棒(如 OA 棒)的顶端受到其余两棒对 它的作用力的合力 F 必沿水平方向。如图所示,D 是 BC 的中点,有
AD = DO = 3 l 2
( 1)
A D B

O

cos ? =

3 3

C

由 OA 棒所受外力相对 A 点力矩平衡,得
l Fl sin ? -mg cos? =0 (2 ) 2 将(1)式代入(2 )式,可解得

O
F

?

l

F=

2 mg 4

mg
A

?
fA

D

2.当 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球后,三棒的受力 情况都发生了改变,且不再对称,但 OB 与 OC 两棒受力情况 相同,此二棒顶端的受力可看成是除原受力 F 外,再各受一个 力 TB 和 TC 的作用。且有 TB =TC ,既然此二棒仍平衡,可见 TB 和

TC 必沿各自棒的方向,故这两个力的合力沿 OD 方向,其反作 用力 T 作用于 OA 棒的顶端,如图所示。 由 T 和小球重力相对 A 点合力矩为零,可得
l Tl sin ? -mg cos? =0 2
2 T= mg 4
FA

T
F

?

O

由图所示的 F 和 T 的矢量关系。即可求得 OA 棒 顶端所受的作用力 FA 为
3 ? FA =2 F cos ? -? ? =2 F sin ? = mg 3 ? 2 ? ??

NA

l
2 mg

A

?
fA

D

3.由OA棒所受的竖直方向和水平方向合外力为零,可分别得
N A =2mg -T sin ? ? -2? ? (1)

f A =F +T cos ? ? -2? ?

(2)

FA

T
F



2 代入上( 1)(2)式,可得 T =F = mg 4

?

O

5 N A = mg 3

NA

l
2 mg

(3)
A

?
fA

D

2 fA = mg 3
将(3)(4)代入

(4)

fA ? N A?A ,可得

fA 2 ?A ? = NA 5

(5)

OB棒的受力情况如图所示。
由此棒竖直方向和水平方向合外力为零,可分别得 N B =mg +TB sin ? (6) f B =F +TB cos ? (7) 由图所示的矢量关系,可得TB 、TC 与T 的关系为
T =2TB cos 30
TB = 1 1 2 6 T= ? mg = mg 4 12 3 3 (8)
TC
F
NB

?
TB

O

l
mg

B

?
fB

T

TB

将(8)式分别代入(6)(7)式,得
N B =mg + 6 mg ? 12 2 7 = mg 3 6 (9)
A

O

C
D B

fB =

2 6 1 2 mg + mg ? = mg 4 12 3 3

(10)

将(9)(10)式代入

,可得 fB ? ?B N B
(11)

fB 2 2 ?B ? = NB 7

由于B、C棒受力情况完全相同,故C棒平衡所需的最小摩擦系数与 B棒相等。比较 (5)式与(11)式,即可得棒与地面间的摩擦系数应满足

2 2 ?? 7

7.在一些重型机械和起重设备上,常用双块式电磁制动器,它的简化示意图 如图所示,O 1 和 O2 为固定铰链。在电源接通时,A 杆被往下压,通过铰链

C 1、C 2、C3 使弹簧 S 被拉伸,制动块 B1、 B2 与制动轮 D 脱离接触,机械得以 正常运转。当电源被切断后,A 杆不再有向下的压力(A 杆及图中所有连杆及
制动块所受重力皆忽略不计),于是弹簧回缩,使制动块产生制动效果。此 时 O1 C1 和 O2 C2 处于竖直位置。已知欲使正在匀速转动的 D 轮减速从而实现 制动,至少需要 M=1100N ?m 的制动力矩,制动块与制动轮之间的摩擦系数 μ =0.40, 弹簧不发生形变时的长度为 L=0.300m, 制动轮直径 d=0.400m, 图示尺寸 a=0.065m ,h 1=0.245m, h2=0.340m ,试求选用弹簧的劲度系数

k 最小要多大。

解: 如图所示,制动时制动块 B 、B 对 D 的正压力分别为 N 1 2 1
和 N2,滑动摩擦力分别为μN 1 和μN2 。则制动力矩
d d M ? ? N1 ? ? N2 2 2

? N2
N1 D N2



以左、右两杆为研究对象,由力矩平衡条件可得
F (h 1 ? h 2 ) ? N1h 1 ? ? N1a


? N1

N2 h 1 ? F (h 1 ?h 2 ) ? ? N2 a



而 F 为弹簧的弹力,由胡克定律可得
F ? k (d ? 2a ? L)


由①②③④四式可得
2 (h1 ? ? 2 a 2 )M k? ? 1.24 ?104 N / m ? h1d (h1 ? h2 )(d ? 2a ? L)