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对数的运算性质教案

时间:2011-06-08


2.2.1 对数与对数运算性质(二) 教学目标 (1)知识与技能: 理解对数的运算性质. (2)过程与方法: 通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生的“推理能力”“等价转化”和“演 、 绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识. (3)情感、态态与价值观: 1、利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培养学生注意探索、研究、 揭示事物的内在联系,培养分析问题、解决问题的

能力,培养学生大胆探索,实事求是的科 学精神。 2、对数运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加减乘除运算,加快了运算速 度、简化了计算方法、显示了对数计算忧越性,体现了所学知识实践中的应用。 教学重点、难点 教学重点:对数运算性质及其推导过程. 教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明. 教学过程 (一)复习巩固,引入新课: (1)对数的定义

log a N = b ,掌握其中 a 与 N 的取值范围;

(2)指数式与对数式的互化,及两个重要公式; (3)指数运算法则(积、商、幂、方根) 。 设计意图: 对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础, 学习新知前的简单复习, 不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课做好了知识上的准备. 2、请同学判断以下几组数是否相等?

1 1 , lg(100 × ) ; 10 10 1 1 (2) log 2 4 + log 2 , log 2 ; 8 2
(1) lg 100 + lg 提出问题:由(1) (2)结果出发,同学们能看出他们具有一个怎样的共同点? 设计意图:让学生观察,学会从特殊到一般,寻求规律。 新课讲解: 请同学们交流讨论得出结论, 当底数相同的时候, 两个正数的对数之和等于两个正数积 的对数。 1

那么这个结论是否正确呢?接下来我们具体的来证明我们的这一结论: 设计意图:让学生让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论,证明结论的完 整思维方法,让学生体会回到最原始(定义)的地方是解决数学问题的有效策略. 如果 a > 0 , a ≠ 1, M > 0 ,N > 0,证明: log a ( MN ) = log a M + log a N 证明: (性质 1)设 log a M = p , log a N = q , 由对数的定义可得 ∴ MN = a ? a = a
p q

M = a p , N = aq ,
p+q

引导学生进行转化, 把不熟悉的知 识向熟悉的知识转化。 利用指数和对数的关系:



log a N = b ? a b = N

∴ log a ( MN ) = p + q , 即证得 log a MN = log a M + log a N . 结论总结: 如果 a > 0 , a ≠ 1, M > 0 ,N > 0,那么 log a ( MN ) = log a M + log a N 事实上,除了上面的这个运算性质之外,人们在对数的运算和推理过程中,还发现了两个 性质: (2) log a

M = log a M - log a N ; N
n

商的对数=对数的差 一个数 n 次方的对数=这个数对数的 n 倍

(3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .

那么, 请同学们结合前面的性质 (1) 的证明以及以前的所学知识, 对我们所给出的性质 (2) (3)进行证明。3 分钟后同桌交换,看相互之间的证明,交换心得,并进一步讨论,是否能 够找到更多的证明方法。 设计意图: 1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化,更深的理解对数的概念; 2、寻求多种方法,发散学生思维 性质 2. 方法一: (仿照性质(1)同理可证)

方法二:由性质(1)的结论出发:

M M + log a N = log a ? N = log a M N N M ? log a M ? log a N = log a N

log a

方法三:由性质(1)的结论出发:

log a

M M = log a + log a N ? log a N = log a M ? log a N N N

这法二和法三证法使用拆分技巧,化减为加(化除为乘) ,会常用到。 2

(性质 3) 设 log a M = p , 由对数的定义可得 ∴M = a ,
n np

M = ap ,
n

∴ log a M = np ,
n

即证得 log a M = n log a M .
n

∴ log a M = np ,

即证得 log a M = n log a M
n

通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质 如果 a > 0 且 a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 那么 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; (2) log a 积的对数 = 对数的和 商的对数=对数的差 一个数 n 次方的对数=这个数对数的 n 倍

M = log a M - log a N ; N
n

(3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .

说明: (1)语言表达: “积的对数 = 对数的和”……(简易表达以帮助记忆) ; (2)注意有时必须逆向运算:如

log 10 5 + log 10 2 = log10 10 = 1 ;

(3)注意限制条件:必须是同底的对数,真数必须是正数; 例如: log 2 3 + log 3 4 ≠ log 2 12 ≠ log 3 12

log 2 ( ? 3)( ? 5) = log 2 ( ? 3) + log 2 ( ? 5) 是不成立的,
log 10 ( ?10 ) 2 = 2 log 10 ( ?10 ) 是不成立的;
(4)当心记忆错误: log a ( MN ) ≠ log a M ? log a N ,试举反例,

log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N ,试举反例。
(5)性质(1)可以进行推广: 即 loga(M1M2M3…Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn (其中 a>0,且 a≠1,M1、M2、M3…Mn>0). 设计意图:加深学生对知识的理解,注意到一些细节问题,避免出现公式的错误应用。 (三) .典型例题: 例 1、计算
1

(1) log3 (9 2 × 35 )
答案: (1)9 (2)

(2) lg100 5

2 5

设计意图:让学生熟悉三个运算性质

3

例 2.计算:lg14 ? 21g

7 + lg 7 ? lg 18 ; 3 7 2 解: (1)解法一: lg 14 ? 2 lg + lg 7 ? lg 18 = lg(2 × 7) ? 2(lg 7 ? lg 3) + lg 7 ? lg(3 × 2) 3 = lg 2 + lg 7 ? 2 lg 7 + 2 lg 3 + lg 7 ? 2 lg 3 ? lg 2 = 0 ; 7 2 7 解法二: lg 14 ? 2 lg + lg 7 ? lg 18 = lg14 ? lg( ) + lg 7 ? lg18 3 3 14 × 7 = lg = lg1 = 0 ; 7 ( ) 2 × 18 3

设计意图:本例体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质常常逆用,应引起足够的 重视。

(四).课堂练习:P.68 练习 2,3 其中第 3 题同桌分工,一个顺向作,一个逆向作,最后核对答案是否一致。 (五).小结: 1、本节课学习了对数的运算性质及其运用,要注意指数运算性质与对数运算性质的对照。 式子 log a N = b ab = N 名称

a ——幂的底数 b ——幂的指数 N ——幂值

a ——对数的底数 b ——以 a 为底的 N 的对数 N ——真数 log a ( MN ) = log a M + log a N ;

运算性质

a m · a n = a m+ n am = a m?n n a

(a m ) n = a mn ( a > 0 , a ≠ 1, , n ∈ R ) 且 m

M = log a M - log a N ; N log a M n = n log a M (n ∈ R ) . ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 )
log a

2.对数的运算法则(积、商、幂、方根的对数)及其成立的前提条件; 3.运算法则的逆用,应引起足够的重视; 4.对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧。 (六)作业:课本 74 页习题 2.2 A 组第三、四题。

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