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云南省高考文科数学解答题:概率与统计


云南省高考数学解答题:概率
一. 考试内容和要求
排列、组合、二项式定理 分类计数原理与分步计数原理 . 排列 . 排列数公式 . 组合 . 组合数公式 .组合数的两个性质 . 二项式定理 .二项展开式的性质 . 考试要求: (1) 掌握分类计数原理与分步计数原理, 并能用它们分析和解决一些简单的应用问 题. (2) 理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用

它解决一些简单的应用问题 . (3) 理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些 简单的应用问题 . (4) 掌握二项式定理和二项展开式的性质, 并能用它们计算和证明一些简单的问题 . 概率 考试内容: 随机事件的概率 .等可能性事件的概率 .互斥事件有一个发生的概率 . 相互独立事 件同时发生的概率 .独立重复试验 . 考试要求: (1) 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 . (2) 了解等可能性事件的概念的意义, 会用排列组合的基本公式计算一些等可能性 事件的概率 . (3) 了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率 . (4) 会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 . 概率与统计 考试内容: 离散型随机变量的分布列 .离散型随机变量的期望值和方差 . 抽样方法:总体分布的估计 . 正态分布 .线性回归 . 考试要求: (1) 了解离散型随机变量的意义,会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 . (2) 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列 求出期望值、方差 . (3) 会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本 . (4) 会用样本频率分布去估计总体分布 .
1

(5) 了解正态分布的意义及主要性质 . (6) 了解线性回归的方法和简单应用 .

二、201x 年高考概率分析与预测:
概率与统计,与生活问题联系密切,也是高考的热点问题。考查的主要内容是: (1)抽样方法与用样本估计总体 (2)互斥事件的概率加法公式 (3)古典概率模型与几何概率模型 (4)离散型随机变量及其分布列 (5)条件概率与时间的独立性 (6)随机变量的数字特征 (7)正态分布。 文科以统计为主, 考查用样本估计总体及变量的线性相关关系。 理科主要考查相互独立 事件的概率、 独立重复试验及互斥事件的概率模型, 同时重在考查离散型随机变量及其分布 列与期望和方差. 备考指南:首先通过回归课本熟悉本部分的知识点(也即考点) ,做到心中有数,从而才能 从容应对.另外还应做好以下几方面的准备: (1)概率与统计题目特点与实际生活密切相关,应立足基础知识和基本方法的复习,通过 对基本概念,基本方法的学习,发现解题规律以提高解题能力. (2)抓好破势训练,从不同角度,不同侧面对题目进行分析,查找思维的缺陷,提高分析 问题和解决问题的能力. (3)加强数学思想方法的训练,分类讨论,数形结合,转化思想,正难则反等思想也是命 题的趋势.

三.概率 概率与统计 知识点 概率知识点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能 性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 么事件 A 的概率 P ( A) ?
1 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那 n

m . n

3. ① 互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、 B 中有一个发生)的概率, 等于事件 A、 B 分别发生的概率和, 即 P(A+B)=P(A)+P(B), 推广: P (A1 ?A 2 ? ? ?A n ) ? P (A1 ) ? P (A2 ) ? ? ? P (An ) . ② 对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任 ............... 取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保 证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为 互斥 其中一个必发生. 对立 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③ 相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件 叫做相互独立事件 . 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的 积,即 P(A· B)=P(A)· P(B). 由此,当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生概 率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.
2

注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个 事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件. ④ 独立重复试验: 若 n 次重复试验中, 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复
k n ?k 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) ?C k . n P (1 ? P)

4. 对任何两个事件都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)

概率与统计知 知识点
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ① 试验可以在相同的情形下重复进行;② 试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; ③ 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果.它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变 量.一般地, 若 ξ 是随机变量, f ( x) 是连续函数或单调函数, 则 f (? ) 也是随机变量.也就是说, 随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的 分布列.
?
x1 p1 x2 p2

… …

xi pi

… …

P

p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ; ② p1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 . 有性质①

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量 . 例如: ? ? [0,5] 即 ? 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴ 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个
k n ?k 事件恰好发生 k 次的概率是: P(ξ ? k) ?C k [其中 k ? 0,1, ? , n, q ? 1 ? p ] np q

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B
k n ?k (n· p) ,其中 n,p 为参数,并记 Ck ? b(k;n ? p) . np q

⑵ 二项分布的判断与应用. ① 二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每 次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有 两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时 事件 A 发生记为 A k ,事 A 不发生记为 A k , P (Ak ) ? q ,那么 P(ξ ? k) ? P(A1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据 相互独立事件的概率乘法分式: P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ?P(A k ?1 )P(Ak ) ?q k ?1p (k ? 1,2,3, ?) 于是得
3

到随机变量 ξ 的概率分布列.
?

1 q

2 qp

3
q p
2

… …

k
q
k ?1


p

P



我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k,p) ?q k ?1 p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3? 5. ⑴ 超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N) 件, 则 其 中 的 次 品 数
P (ξ ? k) ?
k k CM ?C Nn??M n CN

ξ

是 一 离 散 型 随 机 变 量 , 分 布 列 为

? (0 ? k ? M ,? n 0 ? k ? N ? M) .〔分子是从 M 件次品中取 k 件,从 N-M 件正

r 品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m ? 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…,n.〕

⑵ 超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b) , 则次品数 ξ 的分布列为 P (ξ ? k) ?
n ?k Ck a ?C b

C a ?n b

k ? 0,1,? , n. .

⑶ 超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布. 若放回式抽取,则其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共
k n ?k 有 (a ? b) n 个 可 能 结 果 , 等 可 能 : (η ? k) 含 C k 个 结 果 , 故 na b
k n ?k Ck na b

P (η ? k) ?

(a ? b) n

?C k n(

a a k a n ?k ) .[我们先为 k 个次品 ) (1 ? ) , k ? 0,1,2,? , n ,即 ? ~ B(n ? a?b a?b a?b

选定位置,共 C k n 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以 证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项分布可作为超几何 分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 6.抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的 特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干 部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差 异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。

四.2004 年—2010 年云南省高考概率解答题汇总
1、(2004 年本小题满分 12 分) 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A 、B 两组, 每组 4 支.求 A (Ⅰ) 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ) A 组中至少有两支弱队的概率.

C32C52 6 解:(Ⅰ)有一组恰有两支弱队的概率 2 ? C84 7
(Ⅱ)

王新敞
奎屯

新疆

3 1 C32C52 C3 C 1 A 组中至少有两支弱队的概率 ? 45 ? 4 C8 C8 2

王新敞
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2、(2005 年本小题满分 12 分)
4

甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比 赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束,设各局比赛相互间没有影响,求 (Ⅰ)前三局比赛甲队领先概率; (Ⅱ)本场比赛乙队以 3:2 取胜的概率. (精确到 0.001) 解:(Ⅰ)前三局比赛甲队领先分为两种情况:
3 3 0 ① 三局比赛中甲队全部获胜,其概率为 P 1 ? C3 (0.6) (0.4) ? 0.216; 2 2 1 ②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败,其概率为 P 1 ? C3 (0.6) (0.4) ? 0.432

王新敞
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故前三局比赛甲队领先的概率为: P ? P 1 ?P 2 ? 0.684

王新敞
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(Ⅱ)本场比赛乙队以3:2取胜,则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中
2 获胜,其概率为 P ? C4 (0.6) 2 (0.4) 2 ? 0.4 ? 0.13824? 0.138
王新敞
奎屯 新疆

3、 (2006 年本小题满分12分) 某批产品成箱包装,每箱 5 件,一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一 等品。 (I)求取 6 件产品中有 1 件产品是二等品的概率。 (II)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产 品被用户拒绝的概率。 解:设 Ai 表示事件“第二箱中取出 i 件二等品” , i ? 1,2 ;

Bi Bi 表示事件“第三箱中取出 i 件二等品” , i ? 0,1,2 ;
(I)依题意所求的概率为

? P i ? P( A 1 ? B0 ) ? P( A 0 ?B 1 ) ? P( A 1 ) P( B0 ) ? P( A0 ) P( B1 )

1 1 1 2 C32 C4 C3 ? C2 C4 12 ? ? ? ? C52 C52 C52 C52 25

?1? (II)解法一:所求的概率为 P2 ? 1 ? P( A0 ? B0 ) ? P 1
解法二:所求的概率为

2 C32 12 7 C4 ? ? ? C52 C52 25 50

P2 ? P( A1 ? B1 ) ? P( A0 ? B2 ) ? P( A1 ? B2 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A0 ) P( B2 ) ? P( A1 ) P( B2 )

?

1 1 1 2 2 1 2 C3 ? C2 C4 C4 C2 C4 C2 17 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 C5 C5 C5 C5 C5 C5 50

4、 (2007 年本小题满分 12 分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出的 2 件产
5

品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B : “取出的 2 件产品中至少有一 件二等品”的概率 P ( B ) . 解: (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , . A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A 1 ) ? P( A0 ) ? P( A 1) 1 ,故 P( A) ? P( A0 ? A
1 ? (1 ? p) 2 ? C2 p(1 ? p) ? 1 ? p 2 ,

于是 0.96 ? 1 ? p .解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) .
2

(2)记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,则 B ? B0 . 若该批产品共 100 件,由(1)知其中二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故

P( B0 ) ?

2 316 179 C80 316 ? . P( B) ? P( B0 ) ? 1 ? P( B0 ) ? 1 ? . ? 2 495 495 C100 495

5、 (2008 年本小题满分 12 分)
甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击 中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率. 解: 记 A1 , A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,

B1 , B2 分别表示乙击中 8 环,9 环, A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数, C1 , C 2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数. (Ⅰ) A ? A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 B2 , P( A) ? P( A1 B1 ? A2 B1 ? A2 B2 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? 0.3 ? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 . (Ⅱ) B ? C1 ? C2 ,
2 P(C1 ) ? C3 [P( A)]2[1 ? P( A)] ? 3? 0.22 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ,

6

P(C2 ) ? [P( A)]3 ? 0.23 ? 0.008 , P( B) ? P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 .

6、 (2009 年本小题满分 12 分)
某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工 人进行技术考核。 (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率. 解: (I)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽 取 4 名工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人。
1 1 C4 C6 8 (II)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则 P( A) ? ? , 2 15 C10

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

1, 2 (III) Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人, i ? 0,

1, 2 Bj 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人, j ? 0,

B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。
1, 2 ,且 B ? A0 ? B2 ? A1 ? B1 ? A2 ? B0 , Ai 与 B j 独立, i,j ? 0,
故 P( B) ? P( A0 ? B2 ? A1 ? B1 ? A2 ? B0 )

? P( A0 ) ? P( B2 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? P( A2 ) ? P( B0 )

?

1 1 1 1 2 2 2 2 C4 C6 C6 C 4 C6 C6 C4 C4 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 C10 C10 C10 C82 C10 C 10

w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

?

31 . 75

8、 (2010 年本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1 , T2 , T3 , T4 ,电源能通过 T1 ,

T2 , T3 的概率都是 P ,电源能通过 T4 的概率是 0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知 T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 P ; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概
率.

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(1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1 , T2 , T3 至少有一个能通过 电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P . (2)将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得. 解:记 A1 表示事件:电流能通过 T1 , i ? 1,2,3,4 ,

A 表示事件: T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过,
(Ⅰ) A ? A1 A2 A3,A1,A2,A3 相互独立,

P( A) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? (1 ? p)3 ,
又 故

P( A) ? 1 ? P(A)=1 ? 0.999 ? 0.001, (1 ? p)3 ? 0.001 ,p ? 0.9 ,

(Ⅱ) B ? A4 +A4 A1 A3 +A4 A1 A2 A3 ,

P ( B? )

P4 (A 4 + A1 A3 A 4+ A 1 A 2 A 3 A )

? P(A4 )+P(A4 A1 A3 )+P(A4 A1 A2 A3 ) ? P(A4 )+P(A4 )P(A1 )P(A3 )+P(A4 )P(A1)P(A2 )P(A3 )
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891

9、 (2011 年)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率是 0.5,购买乙种保险
但不购买甲种保险的概率为 0.3。设各车主购买保险相互独立。 (1)求该地一位车主至少购买甲乙两种保险中的 1 中的概率。 (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。 解:记 A 表示事件:该地一位车主购买甲种保险;

B 表示事件:该地一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;

C 表示事件:该地一位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 中;
D 表示事件:该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.
(1) P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.3 , C ? A ? B ,

P(C ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.8 ,
(2) D ? C , P( D) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 ,
1 P( E) ? C2 ? 0.2 ? 0.82 ? 0.384.

8

10、 (2012 年本小题满分 12 分)
乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再 连续发球 2 次,依次轮换。每次发球,胜方得1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每 次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中, 甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率。 解:记 Ai 表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得 i 分, i ? 0,1,2 ;

Bi 表示事件:第 3 次和第 4 次这两次发球,甲共得 i 分, i ? 0,1,2 ;
A 表示事件:第 3 次发球,甲共得 1 分; B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2; C 表示事件:开始第 5 次发球,甲得分领先.
(Ⅰ) B ? A0 A ? A1 A , P( A) ? 0.4 , P( A0 ) ? 0.4 2 ? 0.16 ,

P( A1 ) ? 2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48 , P(B) ? P( A0 A ? A1 A) ? P( A0 A) ? P( A1 A)

? P( A0 )P( A) ? P( A1 )P( A) ? 0.16? 0.4 ? 0.48? (1 ? 0.4) ? 0.352;
(Ⅱ) P( B0 ) ? 0.6 2 ? 0.36 , P( B1 ) ? 2 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.48 , P( B2 ) ? 0.4 ? 0.16 ,
2

P( A2 ) ? 0.6 2 ? 0.36 , C ? A1 B2 ? A2 B1 ? A2 B2 ,
P(C ) ? P( A1 B2 ? A2 B1 ? A2 B2 ) ? P( A1 B2 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A1 ) P( B2 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? P( A2 ) P( B2 )
? 0.48 ? 0.16 ? 0.36 ? 0.48 ? 0.36 ? 0.16 ? 0.3072 .

11、(2013 课标全国Ⅱ,文 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度 内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t t 亏损 300 元.根据历史资料,得 到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 T (单 130 t 该农产品. 100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, 以 X(单位: t, 位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率.

解:(1)当 X ? [100,130) 时,
9

T ? 500X ? 300(130? X ) ? 800X ? 39000. 当 X ? [130,150) 时, T ? 500 ? 130 ? 6500 , ?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, 所以 T ? ? ?65000,130 ? X ? 150. (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 ? X ? 150 , 由直方图知需求量 X ? [120,150] 的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57
000 元的概率的估计值为 0.7.

12、 (2014 年本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民

甲部门 3 9 1 0 0 2 4 7 0 0 0 0 4 5 6 7 8 9 10

乙部门 5 9 0 1 0 0 1 0 0 4 2 1 0 2 1 0 4 2 1 1 3 1 0 8 4 2 1 4 4 5 3 3 5 5 6 6 7 7 7 8 9 4 6 8 8 4 4 9 6

9 7 6 6 5 3 3 2 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 6 6 5 5 6 3 2

1 1 2 2

(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 解: (1)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在 25、 26 位的是 75、75,故样本中位数是 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数 的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在 25、26 位的是 68、68,故
66 ? 68 ? 67 样本中位数,66、68,故样本中为数是 2 ,所以该市的市民对乙部门评

分的中位数的估计值是 67. (2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为
5 8 ? 0.1 ? 0.16 50 , 50 ,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计

值分别为 0.1,0.16. (3) 由所给茎叶图知, 市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的 中位数。 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的 评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高,评价较为一致,对乙部门的
10

评价较低、评价差异较大。(注:考生利用其它统计量进行分析,结论合理的同 样给分)

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