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2013届高考数学二轮突破知精讲精练综合训练(四)


综 合 训 练 ?四?

时量:50 分钟

满分:50 分

解答题:本大题共 4 小题,第 1,2,3 小题各 12 分,第 4 小题 14 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 1.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 tanA=3,cosC= (1)求角 B 的大小; (2)若

c=4,求△ABC 的面积. 解析:(1)由 cosC= 5 2 5 ,所以 sinC= ,所以 tanC=2. 5 5 tanA+tanC =1, 1-tanAtanC 5 . 5

因为 tanB=-tan(A+C)=- π 又 0<B<π,所以 B= . 4

b c (2)由正弦定理 = 可得, sinB sinC c b= · sinB= 10, sinC π 3 10 由 sinA=sin(B+C)=sin( +C),得 sinA= , 4 10 1 所以△ABC 的面积 S△ABC= bcsinA=6. 2

2.某班甲、乙、丙三人按下面的规则进行羽毛球比赛.第一局由甲、乙两人比赛,而丙轮空,以后每 一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则进行到其中一人连胜 1 两局或打满 6 局时停止.设在每局中甲、乙、丙获胜的概率均为 ,且各局胜负相互独立.求: 2 (1)打满 3 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数 X 的分布列与期望 EX. 解: 令 Ak,Bk,Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. 1 1 1 (1)由题设,所求事件的概率 P=P(A1C2B3)+P(B1C2A3)= 3+ 3= . 2 2 4 (2)X 的所有可能取值为 2,3,4,5,6, 1 1 1 P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= 2+ 2= , 2 2 2 1 1 1 P(X=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)= 3+ 3= , 2 2 4 1 1 1 P(X=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)= 4+ 4= , 2 2 8 1 1 1 P(X=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)= 5+ 5= , 2 2 16

1 1 1 P(X=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)= 5+ 5= . 2 2 16 故 X 的分布列如下表: X P 2 1 2 3 1 4 4 1 8 5 1 16 6 1 16

1 1 1 1 1 47 从而 EX=2× +3× +4× +5× +6× = . 2 4 8 16 16 16 3.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30° ,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC, FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.

(1)证明:EM⊥BF; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 解析:(1)证明:因为 EA⊥平面 ABC, BM?平面 ABC, 所以 EA⊥BM. 又因为 BM⊥AC,EA∩AC=A, 所以 BM⊥平面 ACFE. 而 EM?平面 ACFE,所以 BM⊥EM. 因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90° . 又因为∠BAC=30° ,AC=4, 所以 AB=2 3,BC=2. 在 Rt△ABM 中,AM=3,所以 CM=1,BM= 3. 如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC,AC,AE 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.

由已知条件得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1), → → 所以ME=(0,-3,3),BF=(- 3,1,1). → → ME· =(0,-3,3)· BF (- 3,1,1)=0,

→ → 得ME⊥BF,所以 EM⊥BF. → → (2)由(1)知BE=(- 3,-3,3),BF=(- 3,1,1). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z), → ?n· =0 ? BE ?- 3x-3y+3z=0 由? ,得? . → ?- 3x+y+z=0 ?n· ? BF 令 x= 3,得 y=1,z=2,所以 n=( 3,1,2). 由已知 EA⊥平面 ABC, → 所以取平面 ABC 的法向量为AE=(0,0,3), 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 θ, 3×0+1×0+2×3 2 → 则 cosθ=|cos〈n,AE〉|=| |= , 2 3×2 2 所以平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 . 2

4.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如图所示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m, 仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

(1)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大, 可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时, α-β 最大? H H 解析:(1) =tanβ?AD= , AD tanβ H h 同理:AB= ,BD= . tanα tanβ H H h AD-AB=DB,故得 - = , tanβ tanα tanβ 解得 H= 4×1.24 htanα = =124. tanα-tanβ 1.24-1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. (2)由题设知 d=AB, H H h H-h 得 tanα= ,tanβ= = = , d AD DB d H H-h - d d tanα-tanβ tan(α-β)= = 1+tanα· tanβ H H-h 1+ · d d



hd h = . d +H?H-h? H?H-h? d+ d
2

H?H-h? d+ ≥2 H?H-h?(当且仅当 d= H?H-h?= 125×121=55 5时,取等号), d 故当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< ,所以当 d=55 5时,α-β 最大. 2 2 故所求的 d 是 55 5 m.


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