nbhkdz.com冰点文库

椭圆的参数方程(精品课件)

时间:2013-06-06


第二章 参数方程

椭圆的参数方程

第二章 参数方程 复习回顾: 圆的标准方程:
x ? y ? r
2 2

2

? x ? r cos ? (? 为 参 数 ) 圆的参数方程: ? ? y ? r s in ?

sin ? ? 1 ? co s ?

? (1 ? co s ? )(1 ? co s ? )
2 2

a sin ? ? b co s ? ?

a ? b sin (? ? ? )
2 2

ta n ? ?

b a

第二章 参数方程 例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥OX,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为 M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=θ
O

A
B N

M

x

第二章 参数方程 例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥OX,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为 M,求当半径OA绕点O旋转时点M轨迹的参数方程. y 解: 设∠XOA=θ, M(x, y), 则 A A: (acosθ, a sinθ), B B: (bcosθ, bsinθ), M 由已知:
? x ? a cos ? ? ? y ? b s in ?

(?为 参 数 )

O

N

x

即为点M的轨迹参数方程.
消去参数得:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1,

即为点M轨迹的普通方程.

第二章 参数方程

1 .参数方程 是椭圆的 参数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b 另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2 ? )
? x ? a cos ? 焦 点 在 X轴 ? (? 为 参 数 ) ? y ? b s in ? ? x ? b cos ? 焦 点 在 Y轴 ? (? 为 参 数 ) ? y ? a s in ?

x ? a cos ? ( ? 是参数) y ? b s in ?

第二章 参数方程 知识归纳 2 2 x y 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 椭圆的参数方程:
y A
B O M N

φ
x

a b x ? a cos ? ( ? 是参数) y ? b sin ?

椭圆的参数方程中参数? 的几何意义:
是∠AOX= ? ,不是∠MOX=φ. 圆的标准方程: x2+y2=r2 圆的参数方程:
? x ? r cos ? ? ? y ? r sin ?
θ y P

(?为 参 数 )

O

A x

θ的几何意义是 ∠AOP=θ

第二章 参数方程

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
x
2

(1)

?

y

2

?1

4

9

(2)

x

2

?

y

2

?1

16

? x ? 2 cos ? (1) ? (? 为 参 数 ) ? y ? 3 s in ?

? x ? cos ? (2) ? (? 为 参 数 ) ? y ? 4 s in ?

把下列参数方程化为普通方程
? x ? 3 cos ? ? x ? 8 cos ? (3) ? (? 是 参 数 ) ( 4 ) ? (? 是 参 数 ) ? y ? 5 sin ? ? y ? 1 0 sin ?

(3)

x 9

2

?

y

2

25

?1

(4)

x 64

2

?

y

2

100

?1

第二章 参数方程 (5) θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ D. 线段

设中点M (x, y)

x

2

?

y

2

?? ? 2

4

9

第二章 参数方程 例2、如图,在椭圆4x2+9y2=36上一点M ,则M到直线

l:x+2y-10=0的距离最小,并求出最小距离. y 平移直线 l 至首次与椭圆相切, 分析1: 切点到直线的距离即为所求.

分析2:设

M (?

3 2

4 ? y , y)
2

O

x

|? 则 d ?

3 2

4? y

2

? 2 y ? 10 |

M
| 3 c o s ? ? 4 sin ? ? 1 0 | 5

5

设 分析3:

M (3 co s ? , 2 sin ? ) 则 d ?

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一点
的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

第二章 参数方程

? 4 ?1 练习2:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9

2

y

2

O

第二章 参数方程

? 4 ?1 练习2:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9

2

y

2

解 : 设 点 P (3 c o s ? , 2 s in ? ) (0 ? ? ?

?
2

)

S ?AOB 面 积 一 定 , 需 求 S ?APB 最 大 即 可
即 求 点 P 到 线 A B的 距 离 最 大 值 O x y 线 A B的 方 程 为 ? ? 1? 2x ? 3y ? 6 ? 0 3 2 | 6 c o s ? ? 6 sin ? ? 6 | 6 ? d ? ? | 2 sin (? ? ) ? 1 |
2 ?3
2 2

所以当? ?

?

13

4

时,d有最大值,面积最大.
3 2 2 , 2)

4
此时P 的坐标为(

第二章 参数方程

? 4 ?1 练习2:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9

2

y

2

解:设 点 P (3 c o s ? , 2 sin ? ) (0 ? ?
S OAPB ? S ? OAP ? S ? OBP
= 1 2 ? 2 ? 3 cos ? ? 1 2

?

?
2

)

? 3 ? 2 sin ?

O O
?
4

? 3(c o s ? ? s in ? ) ? 3 2 s in ( ? ?

)

当? ?

?
4

时 , S O A B P的 面 积 最 大 , 此 时 P 的 坐 标 为 (

3 2 2

,

2)

? 4 ?1 练习2:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9

2

y

2

解:

设 点 P ( x0 , y0 )

x0 9

2

?

y0 4

2

?1

S OAPB ? S ? OAP ? S ? OBP
= 1 2 ? 2 ? x0 ? 1 2 ? 3 ? y0

O O

? (
当( x0 3 y0 2

x0 3

,

y0 2

) ?(3, 3) ?

x0 9

2

?

y0 4

2

3 ?3
2

2

? 3 2
3 2 2

,

) / /(3, 3) 时 , S O A B P 的 面 积 最 大 , 此 时 P 的 坐 标 为 (

,

2)

例 3、设椭圆 a

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、右顶点分别为 A , B ,点 P

在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 | A P |= | O A | , 证明:直线 O P 的斜率 k 满足 | k |?
3

.

1

2

3

4

5



x2 y 2 3、设椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P

在椭圆上且异于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| , 证明:直线 OP 的斜率 k 满足 | k |?
解:依题意,直线 O P 的方程为 y
? y0 ? kx0 ? 由条件得 ? x 02 y 02 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? kx

3.

,设 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) 。
a b
2 2 2 2 2

消去 y 0 并整理得 x 02

?

k a ?b



由|

A P | ? | A O |, A ( ? a , 0 )
2 2

及 y0

? kx 0

,得 ( x 0
? 0,

? a ) ? k x0 ? a .
2 2 2 2

整理得 (1 ? k

) x0 ? 2 a x0 ? 0

. 而 x0

于是 x 0

?

?2a 1? k
2

, 代入①,

整理得 (1 ? k 2 ) 2 即k2
?1? 4

2 a 2 2 ? 4 k ( ) ? 4 ? 4 k ? 4, b

,因此 k 2
2

? 3 ,所以 | k | ?
3 4 5

3

例 3、设椭圆 a

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、右顶点分别为 A , B ,点 P

在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 | A P |= | O A | , 证明:直线 O P 的斜率 k 满足 | k |?
解:依题意,直线 O P 的方程为 y 由点 P 在椭圆上,有 即 (1 ? k 2 ) x 02
? a .
2

3

.

? kx

,设 P 点的坐标为 ( x 0 , k x 0 ) 。
? b ? 0, kx 0 ? 0,

x0 a

2 2

?

k x0 b
2

2

2

? 1.

因为 a

所以
2

x0 a

2 2

?

k x0 a
2

2

2

? 1,


? 2 a x0 ? 0

由|

A P | ? | A O |, A ( ? a , 0 )

,得 ( x 0
2

? a ) ? k x0 ? a .
2 2 2

整理得 (1 ? k 2 ) x 02 得 (1 ? k
2

. 而 x0

? 0,

于是 x 0

?

?2a 1? k

, 代入②

)

4a

2 2 2

(1 ? k )

? a

2

, 解得 k 2

? 3 ,所以 | k | ?

3

.

1

3

4

5

例 3、设椭圆 a

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、右顶点分别为 A , B ,点 P

在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 | A P |= | O A | , 证明:直线 O P 的斜率 k 满足 | k |?
解:设 P ( a co s ? , b sin ? )(0 ? ? 有
( a co s ? ? a ) ? ( b sin ? )
2 2

3

.
.由 |
A P |? | O A | ,
2 2 2

? 2? ) , A ( ? a , 0 )

? a
2

,即 a 2 co s 2 ?
2 2

? 2 a co s ? ? b sin ? ? 0
2 2 2

.

从而

? 1 ? co s ? ? 0, ? a co s ? ? 2 a co s ? ? b sin ? ? a sin ? .
2

所以, ?

1 2

? c o s ? ? 0 ,且

b s in ?
2 2

a cos ?
2 2

? ?1 ?

2 cos ?

? 3.

所以, | k |?

b s in ? a cos ?
1 2

?

?1 ?

2 cos ?
4 5

?

3.

例 3、设椭圆 a

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、右顶点分别为 A , B ,点 P

在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 | A P |= | O A | , 证明:直线 O P 的斜率 k 满足 | k |?
解:设 P ( a co s ? , b sin ? )(0 ? ? 则线段 O P 的中点 Q (
a 2 cos ? , b 2
? 2? )

3

.

. .

s in ? )

| A P |= | O A | ? A Q ? O P ? k A Q ? k ? ? 1 .

k AQ ?

b s in ? 2 a ? a cos ?
3 3

?

a s in ? 2 a ? a cos ?
3

?

s in ? 2 ? cos ?

? | k A Q |?

? | k |?

.

1

2

3

5

例 3、设椭圆 a

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左、右顶点分别为 A , B ,点 P

在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 | A P |= | O A | , 证明:直线 O P 的斜率 k 满足 | k |?
解:设 P ( a co s ? , b sin ? )(0 ? ? 则线段 O P 的中点 Q (
a 2 cos ? , b 2
? 2? )

3

.

. .

s in ? )

| A P |= | O A | ? A Q ? O P ? k A Q ? k ? ? 1 .

k AQ ?

b s in ? 2 a ? a cos ?
AQ

? b s in ? ? a k A Q c o s ? ? 2 a k A Q

.
b
2

? 2 ak

?
1 3

(b

2

? b k AQ ) ? (sin
2 2

2

? ? cos

2

?) ?

? a k AQ ?
2 2

a

2

? a k AQ
2 2

? | k A Q |?

? | k |?
1 2

3

.
3 4

第二章 参数方程

作业:《导与练》第20, 21页

第二章 参数方程


椭圆的参数方程

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...椭圆的参数方程教学目标: 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义, 并能利用参数方程...

椭圆的参数方程 教学设计

(Learning Pyramid)理论,依照新课程中标准的要求打造 以老师为主导、学生为主体...重点:1.椭圆的参数方程的探究 2.应用椭圆的参数方程解题。 难点:参数的探索,...

椭圆的参数方程(含答案)

椭圆的参数方程.ppt 12页 1下载券 圆的参数方程 3页 免费 参数方程与普通方程...椭圆的参数方程 教学目标: 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义,并能利用参数方程...

椭圆参数方程教学设计

椭圆的参数方程教学设计王丽萍一、基本说明 1 、 教学内容所属模块:选修 4-4 ...(六)、教具准备: PowerPoint 课件、《几何画板》 (七)、教学过程: 一、复习...

陶维林(椭圆的参数方程)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 教学研究 教学...陶维林(椭圆的参数方程)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。椭圆的参数方程老师:...

2..2.1椭圆的参数方程(教学设计)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2.2.1 椭圆的参数方程(教学设计) 教学目标: 知识与技能:了解椭圆的参数方程...

椭圆的参数方程说课稿

《椭圆的参数方程》说课稿张军(一)教材分析: 一、教材的地位和作用:教科书根据...课件—直线、圆及椭圆的... 34页 免费 椭圆的参数方程(精品课件... 21页...

2.2.1椭圆的参数方程

搜试试 7 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 专业资料 IT...2.2.1椭圆的参数方程_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。12999 数学网 ...

椭圆的参数方程及其应用

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...椭圆的参数方程及其应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。选修4-4椭圆...

高中数学_椭圆的参数方程的几点应用

椭圆的参数方程的几点应用贵州省习水县第一中学 袁嗣林 椭圆 )。 的参数方程是...高中数学课件 第二课时 ... 43页 免费 高中数学 4.4.3参数方程... 12页...