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2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(6)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

2. 已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55, 去掉一项 ak 后, 余下 10 项的算术平均值为 4. 若 a1=-5,则 k= .

3. 某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为 6

个部分 (如右 图 所示),现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻 部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有______种. 3x+1 1 4.已知 x = . - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x 5.已知正三角形 ABC 内有一条动线段,长为 a,它在△ABC 三边 AB、BC、AC 上的射 影长分别为 l、m、n.则 l2+m2+n2=_____. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个 宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水 箱的长、 宽、 高比净水器的长、 宽、 高分别长 20cm、 20cm、 60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存 水 cm3. . .

→ → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO =

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项 的和为 . .

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b=

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn 11.设复数 z1,z2 满足关系:z1 z 2 + A ? z1 + A ? z 2 =0,其中 A 为不等于 0 的复数,证明: (1) | z1 ? A || z 2 ? A |?| A | (2)
2

z1 ? A z ?A ? 1 z2 ? A z2 ? A

- 6-1 -

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7, AB=28,CE=12.求 BC.
C

A

D

E

B

- 6-2 -

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

- 6-3 -

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平 方数?请证明你的结论.

- 6-4 -

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1, cosβ=-1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2. 已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55, 去掉一项 ak 后, 余下 10 项的算术平均值为 4. 若 a1=-5,则 k= 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如右图所示),现要栽种 4 种 不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ______种. 分析 本题是近几年出现的排列组合问题中难度最大的问题之一。基本思想是运用分 步记数原理。
1 解 如图所示 ,把花坛视为一个圆环,先排区域 1,有 C4 ?4





种.由于 1 与其余 5 个位置均相邻,故其余 5 个位置共有 3 种颜色 可选.由任两个相邻位置不能同色,故必有 2 种颜色各种两块地, 第一种颜色只有一块地,有

1 1 C3 ? C5 种方法,另两种颜色种 4

1 1 1 个位置,只有两种选择,故共有 C4 ? C3 ? C5 ? 2 ? 120 种.

- 6-5 -

3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x 填 1.



1 3x 解:即 x = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3 -1 3(3 -1) 5.已知正三角形 ABC 内有一条动线段,长为 a,它在△ABC 三边 AB、BC、AC 上的射 影长分别为 l、m、n.则 l2+m2+n2=_____. 分析 动线段在三角形各边上的射影可由动线段的长 a 和动线段与各边所成角表示 出来,因此问题的关键是如何表示出动线段与各边所成角. 解 设动线段为 PQ,长为 a,设 PQ 与 BC 所成角为 θ(0° ?θ?90° ),则 PQ 与 AC 所成角为 60° -θ, PQ 与 AB 所成角为 60° +θ, 于是有 l=acos(60° +θ), m=acosθ, n=acos(60° -θ), 2 2 2 2 2 2 2 因此有 l +m +n =a [cos (60° +θ)+ cos θ+ cos (60° -θ)], A 2 2 2 而 cos (60° +θ)+ cos θ+ cos (60° -θ) 1 ? cos(120? ? 2? ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(120? ? 2? ) = ? ? 2 2 2

3 1 3 = ? (cos120? cos 2? ? cos 2? ? cos120? cos 2? ) ? , 2 2 2 3 ∴ l 2 ? m2 ? n2 ? a2 . 2
说明 本题也可以利用向量知识求解,读者不妨一试. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 填[3,4].

P

Q C
?

B



解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围 为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体, 长和高未定. 净水水箱的长、 宽、 高比净水器的长、 宽、 高分别长 20cm、 20cm、 60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 填 78000. 解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200)
- 6-6 -

cm3.

=30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO = 25 填- . 2 → → → → → → → → 解: 设| AO |=| BO |=| OC |=R. 则 BC ·AO =( BO + OC )·AO = → → → → BO · AO + OC · AO = R2cos(π - 2C) + R2cos2B = R2(2sin2C - 1 1 1 25 2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2
B R O



A R R C

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项 的和为 .

填 2008+ 2. 2 2 解: 若 an+1≠0, 则 an=2- , 故 a2008=2- 2, a2007=2- =- 2, a2006=2+ 2, an+1 2- 2 a2005= 2. an+1-2 2 2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,a - = ,a - an+1 an+1-1 n 2 2-an+1 n 3 =an+1,故 an-4=an. 于是, ak=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008
k=1 2009

Σ

+ 2. 10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 填 0, 3-1 , 3-1. 2 .

解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0. 于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0;

- 6-7 -

a=1 时,2b2+2b-1=0?b=

3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn 11.设复数 z1,z2 满足关系:z1 z 2 + A ? z1 + A ? z 2 =0,其中 A 为不等于 0 的复数,证明: (1) | z1 ? A || z 2 ? A |?| A | 2 (2)

z1 ? A z ?A ? 1 z2 ? A z2 ? A

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7, AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC· AE 2· 14· 16 2· 14· 16 16 11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· =72· 9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y?0 对于 x,y >0 恒成立.
A D C

E

B

- 6-8 -

令 t=

x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t>0 恒成立. y

当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2-1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3?0, 即 k? ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2 t2+2t+1 x >0, 则 k2? 2 y 2t +1 6 时, 不等式恒成立, 且当 x=4y>0 时等号成立. 2

( x+ y)2 x+2 xy+y 解法二: 显然 k>0, 故 k2? = . 令 t= 2x+y 2x+y 4t+1 1 = (1+ 2 ). 2 2t +1

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2 2t +1 2 9 u· -2 u 8

3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 又: 令 s(t)= 2 , 则 s?(t)= = , t>0 时有驻点 t= . 且 2 2t +1 (2t2+1)2 (2t2+1)2 1 1 1 1 在 0<t< 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? 2 2 2 2 1 3 (1+s( ))= . 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不 2 4 2 2 2 2 2

等式不能恒成立. 而当 k? 等式恒成立. 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不 2 2

- 6-9 -

∴ k∈[

6 ,+∞). 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平 方数?请证明你的结论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4), 均有 ab≡0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b ≡1(mod 4),或 a≡b≡3(mod 4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡ / b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13, 则 2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数,如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余, 这两个数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

- 6-10 -


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