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【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版

时间:2013-09-17


第13讲

定积分与微积分基本定理

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积分的概

念.
2.了解微积分基本定理的含义.

1个必会关键

由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求导函数的原

数,由此可知,求导与积分是互为逆运算. 2个必记关系 1. 当对应的曲边梯形位于x轴上方时定积分的取值为正,位 于x轴下方时定积分的取值为负.

2. 当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形 面积相等时,定积分的值为零. 3项必须注意

1. 利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、
下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论. 2. 加速度对时间积分为速度,速度对时间积分是路程. 3. 定积分在物理中应用的不同类型的计算方法,可类比平 面图形面积的计算.

课前自主导学

1.定积分的几何意义

F(x)

?b ? ? ?

F(x)dx的几何意义

a

表示由直线______,______,y=0及 F(x)≥0 曲线y=F(x)所围成的曲边梯形的面 积 表示由直线______,______,y=0及 F(x)<0 曲线y=F(x)所围成的曲边梯形的面 积的相反数 F(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积 上有正有负 减去位于x轴下方的曲边梯形的面积

(1)F(x)是奇函数,且 ________.

?5 ? ? ?

F(x)dx=6,则

?5 ?

-5F(x)dx=

0

(2)?1-1 1-x2dx的值是____. ?

2.定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4
?b ? ? ?

1dx=______ kF(x)dx=____________(其中k为常数)
? [F1(x)± 2(x)]dx=?bF1(x)dx± bF2(x)dx F ? ? ? ? ?a ?a

a

?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a

F(x)dx=?c F(x)dx+?bF(x)dx(其中a<c<b) ? ? ? ?
?a ?c

(1)已知 ________.

?1 ? ? ?0

F(x)dx=2,

?2 ? ? ?0

F(x)dx=3,则

?2 ? ? ?1

F(x)dx=

(2)计算下列定积分:①?2-1x(x+1)dx=________. ? ② (e +2x)dx=________.
0
?1 ? ? ?

x

1 ③ dx=________. x
?4 ? ? ?

2

3.微积分基本定理 一般地,如果函数F(x)是区间[a,b]上的连续函数,并 且F′(x)=F(x),那么 ?b F(x)dx=________,这个结论叫做微 ? ?
?a

积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼兹公式,可以把F(b) -F(a)记作________,即?bF(x)dx=________=______. ? ?
?

a

一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t+2,质点作 直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为________.

1.x=a

x=a π 填一填:(1)0 (2)2 2.b-a k?bF(x)dx ? ?
?a

x=b

x=b

填一填:(1)1

9 (2) 2

e ln2

b 3.F(b)-F(a) F(x)|a F(x)|b F(b)-F(a) a

17 填一填: 6

? 13 12 17 ? 2 2 ? 提示:? (t -t+2)dt= t - t +2t? = . ? 3 2 6 ?1 ?
2 1

核心要点研究

例1 (1)[2012· 江西卷]计算定积分 ________.

?1 ?

-1(x2+Sinx)dx=

(2)[2013· 浙江丽水]函数F(x)=xm+ax的导函数为F′(x) =2x+1,则?2F(-x)dx的值等于( ? ?
?1

)

5 A. 6 2 C. 3

1 B. 2 1 D. 6

[审题视点] 计算

?b ? ? ?a

F(x)dx的关键是找到满足F′(x)=

F(x)的函数F(x),其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆 向使用得到.

[解析]

?1 1 3 2 (1)?1-1(x +Sinx)dx=( x -coSx)? ? ? 3 ?-1

2 = . 3

(2)由于F(x)=xm+ax的导函数为F′(x)=2x+1,所以 1 3 1 2? 2 2 ?2 ?2 F(x)=x +x,于是 ? F(-x)dx= ? (x -x)dx=( x - x ) ? = ? ? 3 2 ?1 ? ? ?
2 1 1

5 . 6

[答案]

2 (1)3 (2)A

(1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间 的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再 求积分.并注明变量的取值范围.

1 [变式探究] 计算以下积分:(1) (2x -x)dx;
?2 ? ? ?1

2

(2)?2|1-x|dx. ? ?
?

0

1 2 3 解:(1)被积函数y=2x - 的一个原函数是y= x - x 3
2

? 1 2 3 16 2 ? 2 2 ? lnx,所以 ? (2x - x )dx=( 3 x -lnx) ? =( 3 -ln2)-( 3 -ln1) ? ?1 ?
2 1

14 = 3 -ln2.

(2)若1-x≥0,则x≤1, 若1-x<0,则x>1,于是
?2 ? ? ?

|1-x|dx=?1(1-x)dx+?2(x-1)dx ? ? ? ?
?

0

0

?

1

? 1 2? x2 ? =(x-2x )? +( 2 -x)? =1. ? ?0 ?1
1 2

另解:∵x∈[0,2]时,y=|1-x|,如图 关于x=1对称, ∴?2|1-x|dx=2?1(1-x)dx ? ? ? ?
?

0 1

?

0

x2 ? =2(x- 2 )? =1. ? ?0

π 例2 若定积分?m-2 -x -2xdx= ,则m等于( ? 4
2

)

A.-1 C.1

B.0 D.2

[审题视点] 被积函数y= -x2-2x 的原函数不易直接 求出,其图象与圆有关,故可用定积分的几何意义求解.

[解析]

根据定积分的几何意义知,定积分

?m ?



2 -x2-2x dx的值,就是函数y= -x2-2x 的图象与x轴及 直线x=-2,x=m所围成图形的面积,y= -x2-2x 是一

π 个半径为1的半圆,其面积等于 2 ,而 ?m -2 -x2-2x dx= ? π 1 4 ,即在区间[-2,m]上该函数图象应为 4 的圆,于是得m= -1.故选A.
[答案] A

(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑 用定积分的几何意义求定积分.

(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系
来比较定积分值的大小.

[变式探究] 用定积分的几何意义求值:

Sinxdx.

π π 解:由于函数y=Sinx在区间[-2,2]上是一个奇函数, 图象关于原点成中心对称,在x轴上方和下方面积相等,故 该区间上定积分的值为面积的代数和,等于0,即 =0. Sinxdx

例3

[2012· 山东卷]设a>0,若曲线y= x 与直线x=a,

y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=________.

[审题视点] 由于x≥0,a>0,所以曲线y=

x 与直线x

=a,y=0所围成封闭图形的面积就是函数y= x 以x为积分 变量在区间[0,a]上的定积分,也可以以y为积分变量在区 间[0, a]上的定积分.

[解析] 9 4. 解法二

解法一

S=

?a ? ? ?0

2 a 2 xdx= 3x | 0= 3 a =a,解得a=

S=∫ a0(a-x)dy=∫ a0(a-y2)dy

1 3? a 1 ? =(ay-3y )? =a a-3a a=a, ?0 2 9 即3 a=1,所以a=4.

9 [答案] 4

奇思妙想:本例变为“曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积”,如何求解?

解: y= x与 y=x-2 以及 y 轴所围成的图形为如图所示
?y= x ? 的阴影部分, 联立? ?y=x-2 ?

得交点坐标为(4,2), 故所求面积

x2 2 16 4 ?4 为 S=? [ x-(x-2)]dx=[ x -? 2 -2x?]|0= . ? 3 3 ?
0

利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的 上、下限. (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分,写出答案.

[变式探究]

[2013·山东潍坊模拟]由抛物线y=x2 -1,直

线x=2,y=0所围成的图形的面积是________.

8 答案:3

解析:抛物线y=x2-1与x轴的交点为(-1,0)和(1,0), 如图,

所求面积S=?2(x2-1)dx+?1-1(1-x2)dx ? ? ?
?1

1 3 1 1 3 8 2 =(3x -x)|1+?x-3x ?|-1=3.

例4 2012年7月2日,美国费米国家加速器实验室宣 布,接近发现“上帝粒子”的存在,再次把人们的目光聚 集在微观世界.按万有引力定律,两质点间的吸引力F= m1m2 k r2 ,k为常数,m1,m2分别为两质点的质量,r为两质点 间的距离,若两质点起始距离为a,质点m1沿直线移动至离 质点m2的距离为b处,则吸引力所做的功(b>a)为________.

[审题视点] 本题考查的是定积分的物理意义,物体在 变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功W= F(x)dx.
?b ? ? ?a

m1m2 [解析] W= F(x)dx= k 2 dr=km1m2· (-1)·-1|b=- r a r
?b ? ? ?

a

?b ? ? ?

a

km1m2· r

-1

1 1 b |a=km1m2( - ). a b

[答案]

1 1 km1m2(a-b)

利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关 键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的

函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分
基本定理计算即得所求.

[变式探究]

[2013·广州模拟]物体A以v=3t2+1(m/S)的速

度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m 处,同时以v=10t(m/S)的速度与A同向运动,出发后物体A追上

物体B所用的时间t(S)为(
A.3 C.5 答案:C

)
B.4 D.6

解析:因为物体A在t秒内行驶的路程为 ?t (3t2+1)dt,物 ? ?
?

0

体B在t秒内行驶的路为?t 10tdt,所以?t (3t2+1-10t)dt=(t3+t ? ? ? ?
?0 ?0

-5t2)|t0=t3+t-5t2=5?(t-5)(t2+1)=0,即t=5.

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 [2012· 上海高考]已知函数y=F(x)的图象是折线段 ABC,其中A(0,0),B( 1 2 ,5),C(1,0).函数y=

xF(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________.

1 ? ?10x,0≤x≤2, [规范解答] 由题意F(x)=? ?-10x+10,1<x≤1, 2 ? 1 ? 2 ?10x ,0≤x≤2, 则xF(x)=? ?-10x2+10x,1<x≤1. 2 ?

∴xF(x)与x轴围成图形的面积为 +10x)dx ?1 ? ? 10 3?? 10 3?2 = x ? +?5x2- 3 x ??1 3 ? ? ?0 ?2
1

10x2dx+

(-10x2

10? ?5 10 1? 5 10 1 ? = 3 ×8+?5- 3 ?-?4- 3 ×8?=4. ? ? ? ?

5 [答案] 4

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

在解答本题时有以下几点错误
(1)作图不准确,致使被积函数或积分区间错误. (2)确定被积函数的方法错误,致使被积函数错误. (3)由于导数公式掌握不熟,原函数求解错误,导致面积结 果错误.

No.2

角度关键词:备考建议

(1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必

要时能正确分割图形;
(2)准确确定所求面积的范围,正确选择被积函数; (3)准确确定积分的上、下限; (4)备考时题的难度不宜太大,只需熟练掌握与教材类型、 难度相当的题目即可.

经典演练提能

1.[2012· 湖北高考]已知二次函数y=f(x)的图象如图所 示,则它与x轴所围图形的面积为( )

2π A. 5 3 C. 2

4 B. 3 π D. 2

答案:B

解析:由图象可知二次函数解析式为f(x)=-x2+1,则
1 ? x3 ?? 与x轴所围图形的面积S= ?1 -1(-x2+1)dx= ?- 3 +x? ? ? ? ? ?-1 ?



4 . 3

π π 2.[2011· 湖南高考]由直线x=- ,x= ,y=0与曲线y 3 3 =cosx所围成的封闭图形的面积为( 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D. 3 )

答案:D 解析:如图:

S=

?π ?3 cosxdx=sinx? ?-π ? 3

π π =sin3-sin(-3)= 3.

3.计算定积分?2 4-x2dx=________. ? ?
?0

答案:π

解析:?2 4-x2dx表示圆x2+y2=22与x=0,x=2,y=0 ? ?
?0

围成的图形的面积.根据定积分的几何意义,得 ?2 4-x2 dx ? ?
?0

=π.

?x2,x∈[0,1] ? 4.[2013· 西安模拟]设f(x)= ?1 ?x ,x∈[1,e] ? 对数的底数),则?e f(x)dx的值为________. ? ?
?

(e为自然

0

4 答案:3
? 1 3? 1 ? ? e 1 2 e1 ? ? ? 解析:? f(x)dx= ? x dx+? dx= x ? +lnx? = +lne ? ? ? x 3 ?0 3 ?1 ? ? ?
1 e 0 0 1

4 = . 3

5.[2013·精选题]由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2, t∈(0 , 1) 所 围 成 的 图 形 ( 阴 影 部 分 ) 的 面 积 的 最 小 值 为 ________.

1 答案:4
43 2 解析:由题图知,S= (t -x )dx+ (x -t )dx= 3 t -t
?t ? ? ?0

2

2

?1 ? ? ?t

2

2

1 1 43 2 2 + ,S′=4t -2t,令S′=0,得t=0或t= ,S= t -t + 3 2 3 1 1 1 1 3 在(0, 2 )单调递减,在( 2 ,1)单调递增,当t= 2 时,S取得 1 最小值4.

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