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2013年广西“创新杯”数学竞赛高二决赛试卷

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2013 年广西”创新杯”数学竞赛高二决赛试卷
一、 选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1、已知f ( x) ? bx ? 1 1 , 其中a、b为常数,且ab ? 2, 若f ( x) ? f ( ) ? k 为常数, 2x ? a x 则k的值为()
1 A、 4 1 B、 2
x

C、-2
x

r />
D、 -

1 2

?1? ?1? 2、设方程 log3 x ? ? ? ? 0与 log 1 x ? ? ? ? 0的根分别为x1 , x2 , 则() ? 3? ?4? 4
A、0 ? x1x2 ? 1 B、x1 x2 ? 1 C、1 ? x1 x2 ? 2

D、x1 x2 ? 2

3、设a、b ? R? , 则下列不等式中不正确的是()
b a A、 ? ? 2 a b 1 1 2 D、 2 ? 2 ? a b ab

b2 a 2 B、 ? ? a?b a b

b a a?b C、 2 ? 2 ? a b ab

4、用min{a, b}表示a、b两数中的最小值。若函数f(x)=min{ x , x ? t }的图象关于 1 直线x ? ? 对称,则t的值为() 2
A、1 B、2 C、-1 D、-2

1 的图象与函数y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4)的图象所有交点的横坐标 1? x 之和等于() 5、函数y ?
A、2 B 、4 C、6 D、8

6、已知正项等比数列{an }满足:a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项am , an,使得 am ? an ? 4a1 , 则 1 4 ? 的最小值等于() m n
3 B、 4 2 C、 3 3 D、 2

4 A、 3
二、

填空题(每小题 9 分,共 54 分)

1 1、已知f (3x ) ? 201x log 2 3 ? , 则f (2) ? f (4) ? f (8) ? f (16)的值等于_______________ 2

2、设a, b, c是方程x3 ? 5 x ? 2 ? 0的实数根,则

1? a 1? b 1? c ? ? ? _____________ 1? a 1? b 1? c

2 3、已知关于x的不等式(x ? 1 ) ? ax 2的整数解有且仅有三个,则实数a的取值

范围为_________
4、已知x, y ? ? 2, 2 , 且xy ? 1, 则

?

?

2 4 ? 的最小值是______________ 2 2 ? x 4 ? y2

5、设集合A={x

1 <8x <2012}和B={x log 2 (x 2-[x])=2},其中符号[x]表示不大于x的 2012

最大整数,则A ? B= ______________

6、使不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1+cos x对一切x ? R恒成立的负数a的取值范围 是____________
三、(20 分)

已知x, y ? (0, ), 解方程组: 2

?

x +y ?

?
3

cos x ? cos y ?

1? 3 4

四、(20 分)

如图, ? ABC中,AB ? AC , AE是其外接圆的切线,D为AB上的点,且AD=AC =AE 求证:直线DE过? ABC的内心I .

五、(20 分)
2 已知正项数列{an }满足 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ?1 ? an ?1 ? 3 an an ?1 且a1 ? 1

a2 ? 8, 求{an }的通项公式.


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