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一道探究题的再探究


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专论 荟 萃 ?  

数 学 通讯 — — 2 O 1 O年 第 4期 ( 上半月)  

3 9  

一 
:  :  
S   )在 函数 - 厂 ( z )一 z  +z的 图象上 .   ( 1 ) 求 a  的表 达式 ;  


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道 探究 题 的再 探 究 
文卫星  
( 上 海 市 七 宝 中学 ,2 0 1 1 0 1 )  

由于探 究性 问题 已经 进 人 高 考 , 因 此 越 来 越 

所以 b l 0 0— 1 0十 ( 5 0一 1 ) ×1 2— 5 9 8 .  

为人 们所 重视 . 各 种考 试 中 常有 探 究 性 问题 , 但好 

( 3 ) 提 出问题 1 : 当  一 
值.  

( 忌∈ N。 ) , 求b   的 

的题 目还 是不 多 , 以下 是 一 道难 得 的 好题 , 但 命题 
者 只提供 一 种 最 简 单 的情 形 ( 可 能 考 虑 实 际考 试  情况 ) , 下 面给 出一 般性 结 论 , 供 同学们参 考 .  
试 题  ( 2 0 0 8年 1 2月上海 市 1 4 校 联 考题 ) 设  数列 { a   }的前  项 和 为 S   , 对一 切  ∈ N  , 点(  ,  

数列 { a   ) 依 次按 1 项 ,2项 ,3 项, …, m 项循  环 地分 为 
第 1 循环 节 : ( 2 ) , ( 4 , 6 ) , ( 8 , 1 0 ,1 2 ) , …, ( m 

一 m+ 2 , m。 一 m+4 , m。 一 m+ 6 , …, m 。 +m) ; 其 

中第 m 个 括 号 中的第 一 个 数是 这 样 求 得 的 : 到 第 


1 个 括号 结束 时 用 了 1 +2 +3 +…+ ( m一 1 )  
个偶 数 , 其 和为 m(  一 1 ) .  
第 2 循环 节 : ( m   +m+2 ) , ( m。 +m+4 , m。 + 

( 2 ) 将 数列 { n   ) 依 次按 1 项, 2项循 环地 分为 
( Ⅱ 1 ) ,( n 2 ,a   3 ) ,( 口 4 ) ,( 口 5 ,a 6 ) ,( n 7 ) ,( 以 8 ,a   9 ) ,  



 

( Ⅱ 1 0 ) , …, 分 别计 算 各 个 括 号 内各 数 之 和 , 设 由这 
些和 按原 来 括 号 的 前 后 顺 序 构 成 的 数 列 为 { 6   ) ,  

m+ 6 ) , …, ( 2 m。+ 2, 2 m + 4, … , 2 m + 2 m) ;  

求b   。 。的值 ;  
( 3 ) 如 果将 数列 ( a   } 依 次按 1 项, 2项 , 3 项,  


第 3循环 节 : ( 2 m   +2 m+ 2 ) , …, ( 3 m  +m+ 
2, … , 3 m + 3 m) .  

, m ( m≥ 3 ) 项 循环 ; 分 别计 算 各个 括 号 内各数  由此 可知 , 若 把第 优组 , 第2 m组 , …, 第k m( 足   ∈N  ) 这 k组 中每组 m 个数 排成 一个 k行 m 列 方 

之和 , 设 由这 些 和 按 原 来 括 号 的 前 后 顺 序 构 成 的  数列 为 { b   ) , 提 出 同( 2 ) 类 似 的 问题 ( ( 2 )应 当作为 

特例 ) , 并 进行 研究 , 你 能得 到什 么样 的结 论 ?   解  ( 1 )因 点 ( ” ,S   )在 函数 厂 ( z )一 z   +z  
的 图象上 , 所以 S  一  。 +  . 又 a 1 一S , 一2 , 当  ≥ 2时 , a  一 S   一S 一  一 2 n ( n一 1 时 也成 立) , 故 
a  一 2 n(   ∈ N  ) .  

阵, 则 各行各 列 都组 成等 差 数 列 , 且 各 列 的公 差 均 
为 m( m+1 ) .  

因此 , 第 m组 , 第2 m组 , …, 第  z 组 的各数 之  和 也组 成一 个 等差 数 列 , 其 公 差 为 m。 ( m+ 1 ) . 这  是 因 为后 一组 每个 数字 比前 一个 大 m( m+ 1 ) , 共  有 , , z 个数字, 故 和多  。 (  +1 ) .   第  组 的  个数 之 和为 

( 2 ) 数列{ a   )依 次 按 1项 ,2项 循 环 地 分 为 
( 2 ) ,( 4, 6 ) ;( 8 ) ,( 1 0, 1 2 ) ;( 1 4 ) ,( 1 6 ,1 8 ) ;  
( 2 0 ) , ….  

E  : . 二 一 !   ±  ) - ±  

一 十 三   一m 3 +m
.  

每一 次循 环 记为一 组 . 由于每 一个循 环 含 有 2   个括 号 , 故 b   。 。是 第 5 0组 中 第 2个 括 号 内各 数 
之 和.  

当 n— k m 时, b  一  。 + m+ ( 七 一1 )? m。 (  
+1 ) 一 mn(  + 1 )一  (  一 1 ) .  

由分组 规 律 知 , b   ,b   ,b 。 ,… ,b  


… 组 成 

提 出 问题 2 : 当” 一是 m+t (  ∈ N, 0 <t ≤ m)   时, 求 b  的值 .  
( 下转 第 4 1页 )  

个首项 b  一 4+ 6= = : 1 0 , 公 差 d一 1 2的等差 数 

列.  

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数 学通 讯 — — 2 O l O年 第 4期 ( 上半月)  

综 合 可 知 : 如 果 号<   < 2 s , 则L z ≤ 2 (   +   )  


综 上 所 述 : 当 £ ≤专时 , £ <L z <   ; 当 专<  
< 2 s时 , ( s +£ ) 一 ma x { s , t ) < L 2 ≤ 2 ( s +£ )一 

2  

( 当  一  

时 取得 等号 ) '  

2、 / ,   ; 当t ≥2 s 时, s <L 2 <t .  

L z > 2 ( s + " - t  ̄ m a x ( 1 十 字 , 2 +   }  


现 在利 用上 面得 到 的结 论 来 解 决 《 问题 征 解 》   中的第 2题 ( 2 )小题 和第 3题 .  

( s +£ )一 ma x( 5 , t ) ,  





( 5 +£ )一 ma x{ s , t )< L。  

第 2 题 ( 2 ) 小 题 中 的 点 P ( 譬 ,   1 ) 符 合 条 件  
.  
<  1 <  


≤2 ( s +£ ) 一 2佤

 

③ 如 果 0< k≤ 1 ( 即t ≥ 2 s ) , 则对 一切 1 <  <2 , 有厂 , (   ) > o , 所 以 厂(   ) : +  在 区间 ( 1 ,  
1一  

所 以L 。 =口 +6 一 

有最 大 

2 )上单 调递 增 , 故厂 ( 1 )< 厂 (  ) < , ( 2 ) . 而- 厂 ( 1 )  


第3 题 中 的 条 件 可 变 形 得  + 阜:l , 再由 上  
的最小 
值为 4 0 .  

1 + 警 , 厂 ( 2 ) 一 2 + 了 5 , 所 以 1 十 字 < 厂 (   ) < 2   面的 结论计 算 可得 L = 。+b+ ~  

+ ÷ , 从 而2 ( s + £ ) 一 £ ? ( 2 + ÷ ) < L z <2 ( s +   )  


£ ? ( 1 十 字 ) , 即 s < L 。 < £ .  
( 上接 第 3 9页 )  

( 收 稿 日期 : 2 0 1 0一 O 2 —2 5 )  

愚 ∈ N,0< t ≤ m) .  

这 时第 项 在原 数列 中位 于第 足 +1 个 循环 节  的第 t 个括号, 此 时第 忌 +1 个循 环 节括 号 内有 1 +  2+ … + £ =  个 数 字.  

提 出问题 3 : 在 提 出问题 2中, 求  — b 。 +b  
+ … + b   .  


b - +b z + … +b   的值 就是从 2 开始 的所  个数宣 I 叉 ^   - /   ’   根据 l I  由 已知 L 一 ^ H   条件 , , { l 1   得 l 寸  


有 偶 数一 直 加 到 b  的 最 后 一 个 数 字 ,即第 忌?   由于每个 循环 节有 
最 后一个 数字 为止 , 共 有  ?   个 数字.  


个 数字 , 到  的 
+ 

e( r m ̄1 ) + 


2  


  l

2  



f( k?  

+ 

)  

由于 b  比6 , r  多 t 个数字, 因此 到 6 , r  的最后 


[ L  


2  

+  l  

2   J ]   z + I  

个 数字 为止 , 共 有 忌?  

+ 

个数 


L   [ L   [ L  

2   2   2  

+  l   2   j ]   +  2   J ].   +  I   2   + I   1 ‘ ] J . ‘  

字.  
。 ?

。 b   一 Sk .  


卫+ £  

一 S   .  

+  

。  .

f ( k?   f ( k?  

+  + 

) 一  )  

用这 个式 子求 ( 2 )中的 T   ∞一 b 。 +b   + … + 
6 l o 0 , 此 时 n一 1 0 0 , t —m一2 , T l o 0= f ( 4 9? 3 十 
3 )一 厂 ( 】 5 O) 一 】 5 0 .】 5】 一 2 2 65 0  



k t m( m十 1 )+ t 。+ t   (   +1 ) (  一£ ) t +t 。+ t .  



故b   一 (   +1 ) (  一 £ ) t +t 。 +t ( n一 

+t ,  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —1 0 —2 7 )  


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