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2013届高考数学二轮突破知精讲精练综合训练(一)

时间:2013-03-07


综 合 训 练 ?一?

时量:50 分钟

满分:50 分

解答题:本大题共 4 小题,第 1,2,3 小题各 12 分,第 4 小题 14 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 3 1.已知向量 a=(sinx, ),b=(cosx,-1). 2 (1)当 a∥b 时,求 2cos2x-sin2x 的值; π (2)求 f(x)=(a+b)· 在[- ,0]上的值域. b 2 3 解析:(1)因为 a∥b,所以 cosx+sinx=0, 2 3 所以 tanx=- . 2 2cos2x-2sinxcosx 2-2tanx 20 所以 2cos2x-sin2x= = = . sin2x+cos2x 1+tan2x 13 1 (2)因为 a+b=(sinx+cosx, ), 2 所以 f(x)=(a+b)· b= 2 π sin(2x+ ). 2 4

π 3π π π 因为- ≤x≤0,所以- ≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 π 2 2 1 所以-1≤sin(2x+ )≤ ,所以- ≤f(x)≤ . 4 2 2 2 所以函数 f(x)的值域为[- 2 1 , ]. 2 2

2.某外资企业计划从应届毕业的大学生中招聘从事外贸翻译工作的人员, 现有若干人进入应聘面试阶 段,他们至少精通英语和日语中的一种语言,已知精通英语的有 5 人,精通日语的有 2 人.现从中随机选 2 7 人,设 X 表示选出的 2 人中既精通英语又精通日语的人数,且 P(X>0)= . 10 (1)求进入应聘面试阶段的人数; (2)求 X 的分布列和数学期望 EX. 解: (1)设既精通英语又精通日语的人数为 x,则进入应聘面试阶段的人数为 7-x 人,只精通一种语言 的人数为 7-2x 人. 7 由题设 P(X>0)=P(X≥1)=1-P(X=0)= , 10 C2-2x ?7-2x??6-2x? 3 3 7 所以 P(X=0)= ,因此 2 = = ,解之得 x=2. 10 C7-x ?7-x??6-x? 10 故进入应聘面试阶段的人数为 5 人. (2)由题设 X 的可能取值为 0,1,2.

3 C1C1 6 2 3 P(X=0)= ,P(X=1)= 2 = , 10 C5 10 C2 1 2 P(X=2)= 2= . C5 10 则 X 的分布列如下表: X P 3 6 1 4 EX=0× +1× +2× = . 10 10 10 5 0 3 10 1 6 10 2 1 10

3.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值; (3)在平面 PAD 内是否存在一点 G,使 G 在平面 PCB 上的射影为△PCB 的外心.若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,说明理由.

解析:以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. a a a a 设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a, ,0),P(0,0,a),F( , , ). 2 2 2 2 a a → → (1)证明:因为EF=(- ,0, ),CD=(0,-a,0), 2 2 a a → → 所以EF· =(- ,0, )· CD (0,-a,0)=0, 2 2 所以 EF⊥CD. (2)设平面 DEF 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ?n· =0 ?2?x+y+z?=0 ? DF 则? ,即? a → ?n· =0 ? DE ?ax+2y=0 a



取 x=1,则 y=-2,z=1,所以 n=(1,-2,1).

设 BD 与平面 DEF 所成的角为 θ, → |BD· n| → 则 sinθ=|cos? ,n?| BD = → |BD|· |n| = a 3 = , 6 2a· 6 3 . 6

所以 BD 与平面 DEF 所成角的正弦值为 (3)假设存在点 G 满足题意. 因为 G∈平面 PAD,可设 G(m,0,n). → → 因为CB· =(a,0,0)· CP (0,-a,a)=0, 所以 BC⊥PC.

在 Rt△PBC 中,因为 F 为斜边 PB 的中点, a a a 所以 F( , , )为 Rt△PBC 的外心. 2 2 2 a a a → 又FG=(m- ,- ,n- ),由 FG⊥平面 PCB, 2 2 2 a a a a a → → 有FG· =(m- ,- ,n- )· CB (a,0,0)=a(m- )=0,得 m= . 2 2 2 2 2 a a a a2 a → → FG· =(m- ,- ,n- )· CP (0,-a,a)= +a(n- )=0,得 n=0. 2 2 2 2 2 a 所以存在点 G,其坐标为( ,0,0),即 G 为 AD 的中点. 2

4.某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园 区.已知 AB⊥BC,OA∥BC 且 AB=BC=2AO=4 km,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的 一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上,且一个顶点落在 OC 上,问如何规划才能使矩形工业 园区的用地面积 S 最大?并求出最大的用地面积.(精确到 0.1 km2) 解析:以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系如图所示.

依题意可设抛物线方程为 y2=2px(p>0)且 C(4,2). 1 因为 22=2p×4,所以 p= . 2 所以曲线段 OC 的方程为 y2=x(0≤x≤4,y≥0).

设 P(y2,y)(0≤y<2)是曲线段 OC 上任意一点,则在矩形 PQBN 中,|PQ|=2+y,|PN|=4-y2, 所以工业园区面积 S=|PQ|· |PN|=(2+y)(4-y2) =-y3-2y2+4y+8. 2 又 S′=-3y2-4y+4,令 S′=0,得 y1= ,y2=-2. 3 2 因为 0≤y<2,所以 y= . 3 2 当 y∈[0, )时,S′>0,S 是 y 的增函数; 3 2 当 x∈( ,2)时,S′<0,S 是 y 的减函数. 3 2 所以,当 y= 时,S 取得极大值, 3 8 32 此时|PQ|=2+y= ,|PN|=4-y2= , 3 9 8 32 故 S= × ≈9.5(km2). 3 9 因为 y=0 时,S=8,所以 Smax=9.5(km2). 32 8 答:当矩形的长为 km,宽为 km 时,工业园区的用地面积最大,且最大面积约为 9.5 km2. 9 3


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