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高二数学二项式定理课件


(a+b)的n次方展开式
?a ?a ?a ?a ?a ?a ?a
? b? ???
0

? b? ???
1

? b? ???
2

? b? ???
3

? b? ???
4

? b? ???

/>5

? b? ???
6

??????

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1

课题:二项式定理

复习: 1、从4个球中任取1个球,取法有 2、从4个球中任取2个球,取法有
, ,

C4

1

种 种 种 种

C

2 4

3、从4个球中任取3个球,取法有

C
4 4

3 4

4、从4个球中任取4个球,取法有 C

5、4个球一个都不取,取法有


C4

0



围绕下列要求听课:
1、理解并掌握二项式定理,会根据定 理将形如(a+b)n的式子展开

2、掌握二项展开式的通项公式,会利 用它求展开式中任一项及其系数
3、理解二项式系数与项的系数的差别

观察下面两个公式,从右边的项数、每项的 次数、系数进行研究,你会发现什么规律?
(a + b )
2

=

a

2

+

2 ab + b = C 0 a 2 + C 1 ab + C 2 b 2 2 2 2
2

2

(a + b )

3

=

a

3

+ 3 a b + 3a
3 1 3 2

b

2

+

b
2 3

3

=

C a +C a b+C ab +C b

0 3

2

3 3

3

项数比左边次数多1;每项次数均为 左边指数,a,b指数a降b升;系数

C ,C ,C ;C ,C ,C ,C

0 2

1 2

2 2

0 3

1 3

2 3

3 3

猜想:(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后,会是什么 样呢?你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗? ①展开式中,每一项是怎样得到的? ②既然这样,每一项的次数都应为几次? (4次) 展开后具有哪些形式的项呢? 4,a3b,a2b2,ab3,b4) (a ③每一项在展开式中出现多少次,也就是展开式中各项 系数为什么? 探索:(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中: 每个都不取b,有 C 种取法,a4的系数 C 恰有1个取b,有 C 种取法,a3b的系数 C 2 恰有2个取b,有 C 4 种取法,a2b2的系数 C 42 恰有3个取b,有 C 43 种取法,ab3的系数 C 43 4个都取b, 有 C 44 种取法 , b4的系数 C 44 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ( a ? b ) ? C 4 a ? C 4 a b ? C 4 a b ? C 4 ab ? C 4 b 因此:
0 0 4 4 1 1 4 4

特点:项数比次数多1;每项次数为左边指数4,a降b升; 系数为 C 40 C 1 C 42 C 3 C 4
4 4 4

按上述规律,我们能将(a+b)n展开吗?
(a ? b) ? C n a ? C n a
n 0 n 1 n ?1

(一)二项式定理:
b ? Cn a
2 n?2

b ? ? ? Cna
2 r

n?r

b ? ? ? Cnb
r n

n

右边多项式叫(a+b)n的二项展开式;
C n , C n , C n , ? C n , ? C n 叫二项式系数;
Cna
r n?r

0

1

2

r

n

b 叫二项展开式的通项,

r

用Tr+1表示即:Tr+1=

C a

r n

n?r

b

r

注意:
1、弄清定理结构特征:项数:n+1 次数:n,a降b升,和为n r 系数: C n 2、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数,而项的系数是该项的数字因数

3、①通项公式可用求展开式中任意一项,求时必需 明确r=? ②通项是针对(a+b)n的标准形式而言,而(b+a)n,(a-b)n 的通项则分别为: T r ? 1 ? C nr b n ? r a r ; T r ? 1 ? C nr a n ? r ( ? b ) r

4、在定理中,令a=1,b=x,则

(1 ? x ) ? C ? C x ? C x ? ? ? C x ? ? ? C x
n 0 n 1 n 2 n 2 r n r n n

n

(二)例题教学 1 1 例1:展开 (1 ? x ) (对照定理特殊情况,用 x 代替x)
4

解: (1 ?

1

) ? C ?C ( )?C ( ) ?C ( ) ?C ( ) x x x x x
4 0 4 1 4 2 4 2 3 4 3 4 4

1

1

1

1

4

? 1?

4 x

?
1

6 x
2

?
6

4 x
3

?

1 x
4

例2:展开 解:
(2 ? 1 x
3 4

(2

x ?

)

x

(先化简,再展开)
) ?
6 5

x ?
0

1 x

) ?(
6 6

2x ?1 x
1

1 x
3

( 2 x ? 1)
2

6

[ C 6 ( 2 x ) ? C 6 ( 2 x ) ( ? 1) ? C 6 ( 2 x ) ( ? 1) ? C 6 ( 2 x ) ( ? 1)
4 2 3 3 2 4 5 5 6 6

3

? C 6 ( 2 x ) ( ? 1) ? C 6 ( 2 x )( ? 1) ? C 6 ( ? 1) ]

计算出结果即可

例3:求(x+a)12展开式中倒数第4项 分析:倒数第4项,是第几项?用通项公式时,r=? 解:展开式共13项,倒数第4项为它的第10项 9 3 T9+1= C 12 x 12 ? 9 a 9 ? C 12 x 3 a 9 ? 220 x 3 a 9 例4:(1)求(1+2x)7展开式第4项的系数 解:(1+2x)7展开式第4项是: 3 T3+1= C 7 1 7 ? 3 ( 2 x ) 3 ? 280 x 3 展开式第4项系数为280。

思考:第4项的二项式系数是什么?这说明什么?

课堂练习
1.写出( ? q) 1 的展开式
7

(1 ? q ) ?C + C q + C q + C q + C q + C q + C q + C q
7
0 7 1 7 2 2 7 3 3 7 4 4 7 5 5 7

= 1 + 7q + 21q + 35q + 35q + 21q + 7q + q

2

3

4

5

6

6 6 7 7

7 7 7

2.写出( ? x) 1 的展开式 r r 2 1 n 2 x (1 ? x) ? 1 ? C n x ? C n x ? ?? ? C n
n

? ?? ? C x
n

n

n

3.写出(a ? b) 的展开式
n

(a ? b) ? C n
n

0

a ?C a
n n

1

n ?1

b

?C

2 n

a

n? 2

b ? ??
2

? ??1? C
r

r

a
n

n? r

b ? ?? ? ?? 1?
r

n

C

n n

b

n

小结:
1、二项式定理及结构特征
(a ? b) ? C n a ? C n a
n 0 n 1 n ?1

b ? Cn a
2

n?2

b ? ? ? Cna
2 r

n?r

b ? ? ? Cnb
r n

n

2、定理特例
(1 ? x ) ? C ? C x ? C x ? ? ? C x ? ? ? C x
n 0 n 1 n 2 n 2 r n r n n n


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