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高考数学复习点拨 以圆为背景的最值问题

时间:2017-03-21


以圆为背景的最值问题
以圆为背景的最值问题,在高考和竞赛中频频出现.本文从数学思想方法的高度予以分 类导析,旨在探索解题规律,总结解题方法,从而使此类问题简单化. 一、切线斜率法 例 1 如果实数 x,y 满足 ( x ? 2)2 ? y2 ? 3 ,则 A.

y 的最大值为( x



1 2


B.

3 3

C.

3 2

D. 3

0) , 分析:等式 ( x ? 2)2 ? y2 ? 3 有明显的几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为 (2,

半径 r ? 3 (如图 1) ,而

y y?0 0) 的连线的斜率.如此 ,它表示圆上的点与坐标原点 (0, ? x x?0

0) 为圆心,以 3 为半径的圆上移动, 以来,该问题可转化为如下几何问题:动点 A 在以 (2,

求直线 OA 的斜率的最大值,由图 1 可见,当 ?A 在第一象限,且直线 OA 与圆相切时,其斜 率最大,经简单计算,得最大值为 tan 60° ? 3 ,故选(D) . 二、切线的纵截距法 例 2
? s ? x ?3 c o ? ? ?? 若 集 合 M ? ?( x , y)|? (0 ? ? ? π) ? , 集 合 N ? ?( x,y)| y ? x ? b? 且 ? ? ? ?y ? 3 s i n ? ?

M ? N ? ? ,则 b 的取值范围为



0) 分析:M ? ( x,y)| x2 ? y2 ? 9, 0 ? y ≤3 ,显然,M 表示以 (0,

?

?

为圆心,以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分(如图 2) ,而 N 则表示一 条直线,其斜率 k ? 1 ,纵截距为 b ,由图表易知,欲使 M ? N ? ? , 即使直线 y ? x ? b 与半圆有公共点,显然 b 的最小值为 ?3 ,最大值为
3 2 ,即 ?3 ? b ≤ 3 2 .

三、函数的解析式法 例 3 已知直线 l : y ? k ( x ? 2 2) 与圆 O : x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, O 是坐标原点, 三角形 AOB 的面积为 S . (1) 试将 S 表示成 k 的函数 S (k ) ,并求出它的定义域; (2) 求三角形 AOB 的面积最大时 k 的值. 解析: ( 1 ) 直 线 l 的 方 程 k x? y?2 2 k ? 0 ( k ? 0, ) 原点 O 到直线 l 的距离为
OC ? 2 2k 1? k2

,弦长 AB ? 2 OA ? OC ? 2 4 ?

2

2

8k 2 , 1? k2

△ ABO 的面积为 S ?

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1 AB· OC ? , 2 1? k2

∵ AB ? 0 ,∴ ?1 ? k ? 1(k ? 0) .
4 2 k 2 (1 ? k 2 ) (?1 ? k ? 1且k ? 0) . 1? k2

∴ S (k ) ?

(2) △ ABO 的面积为 S ?

1 OA · OB sin ?AOB ? 2sin ?AOB , 2 ∴当 ?AOB ? 90° 时, S 可以取得最大值 2,
2 2k 2 3 OA ? 2 ,即 ? 2 ,故 k ? ? 2 2 3 1? k

此时 OC ?