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湖北省黄石二中2009年高一第二学期期末调研考试数学试题


黄石二中高一第二学期期末调研考试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的,把正确答案的代号填在括号内.) 1.sin600o+tan240o 的值是( )

3 3 1 B. C. ? ? 3 2 2 2 2.若 sin2?<0,sin??cos?<0,则角?的终边

所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
A. ? 3.设向量 a ? (cos ?, ) 的模为
?

D.

1 ? 3 2

D.第四象限

2 ,则 cos2?=( ) 2 3 1 1 1 A. ? B. ? C. D. 2 2 4 2 ? ? 4. 已知 f ( x) ? sin[ ( x ? 1)] ? 3 cos[ ( x ? 1)] ,则 f (1)+f (2)+??+f (2005)+f (2006)=( 3 3

1 2

)

A. 2 3

B. 3

C.1

D.0

5.在?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos 2

A b?c ,则?ABC 的形状为 ? 2 2c

( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变) ,然后把

? 个单位,则所得图形对应的函数解析式为( 4 1 ? ? A. y ? cos( x ? ) B. y ? cos(2x ? ) 2 4 4 1 ? ? C. y ? cos( x ? ) D. y ? cos(2x ? ) 2 8 2
图象向左平移
? ??



7.已知 P(4,?9),Q(?2,3),y 轴与线段 PQ 的交点为 M,则 M 分 PQ 所成的比为( A.



1 3 1 2

B.

1 2

C.2 )

D.3

8.函数 y ? tan( x ? ) 在一个周期内的图象是(

? 3

9.若 a , b 均为非零向量,则“ a ? b ”是“ | a ? b |?| a ? b | ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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? ?

?

?

?

?

?

?



10. 若函数 f (x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期为 1, 则它的图像的一个对称中心为 ( A. ( ?



? ,0) 8
?

B.(0,0)
?

C.( ?

1 ,0 ) 8
? ? ?

D. ( ,0)
?

1 8

11.设向量 a ? (cos 25o , sin 25o ), b ? (sin 20o , cos 20o ) ,若 c ? a ? t b (t?R),则 | c | 的最小值 为( A. 2 ) B.1 C.

2 2

D.

1 2

12.已知函数 f (x)=f (??x),且当 x ? (? , ) 时,f (x)=x+sinx,设 a=f (1),b=f (2),c=f (3),则 ( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 二、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分, 把最简单结果填在题后的横线上.) 13.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[0,
? ?
?

? ? 2 2

? ]上的最小值为_______________. 2

14.设 a ? (?sin15o,cos15o),则 a 与 ox 的夹角为________________. 15.已知 sin?+2sin(2?+?)=0,且 ? ? 16.下面有四个命题: (1) x ? 2k? ?

k? ? , ? ? ? ? ? k? (k?Z),则 3tan(?+?)+tan?=_______. 2 2

? (k ? Z ) 是 tanx= 3 的充分非必要条件; 3 ? ? ? )在 [? , ] 上是增函数; 2 2 4 ? ,则 a+b=0. 4

(2)函数 f (x)=|2cos2x?1|的最小正周期是?; (3)函数 f (x)=sin(x+

(4)函数 f (x)=asinx?bcosx 的图象的一条对称轴为直线 x=

其中正确命题的序号是_____________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17. (12 分)已知 ?

1 ? ? x ? 0 ,sinx+cosx= . 5 2

(Ⅰ)求 sinx?cosx 的值; (Ⅱ)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

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18.(12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? sin(x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x ? cos x . (Ⅰ)求函数 f (x)的单调递减区间; (Ⅱ)将函数 f (x)的图象按向量 a ? ( m,0) 平移后得到 g(x)的图象,求使函数 g(x)为偶 函数的 m 的最小正值.
?

? 3

19.(12 分)一动点 P 从坐标原点出发,按向量 an ? (n, sin 次按 a n 移动). (Ⅰ)设点 P 连续运动 13 次后到达点 Q,求 Q 的坐标;
? ? ?

?

n? ) (n ? N * ) 连续运动(第 n 2

(Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn,且 S n ? a n ? a n ?1 ,试求 {bn } 的通项公式.

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20.已知在直角坐标系中(O 为坐标原点) , OA ? (2,5) , OB ? (3,1), OC ? ( x,3) . (Ⅰ)若 A、B、C 可构成三角形,求 x 的取值范围; (Ⅱ)当 x=6 时,直线 OC 上存在点 M,且 MA ? MB ,求点 M 的坐标.
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

21.(12 分)在?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,C=2A,cosA= (Ⅰ)求 cosC,cosB 的值; (Ⅱ)若 BA ? BC ?
? ?? ? ??

3 . 4

27 ,求边 AC 的长. 2

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22.(14 分)已知 a ? (1 ? cos x,2 sin ), b ? (1 ? cos x,2 cos ) (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 ? sin x ?

?

x 2

?

x 2

1 ? ?2 | a ? b | , 求 f ( x) 的表达式; 4 ? ? 2 2

(Ⅱ)若函数 f (x)和函数 g(x)的图象关于原点对称,求函数 g(x)的解析式; (Ⅲ)若 h( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? 1在 [? , ] 上是增函数,求实数?的取值范围.

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参考答案 一、选择题 BDBAB DCAAC 二、填空题 13.1 三、解答题 17.(1)由 sinx+cosx= 即 2sinxcosx= ?

CD 14.105o 15.0 16. (1)(4)

1 1 ,平方得 sin2x+2sinxcosx+cos2x= , 5 25

24 25 49 25

? (sinx?cosx)2=1?2sinxcosx=
又? ?

? ? x ? 0 ,? sin x ? 0 ,cosx>0,sinx?cosx<0, 2 7 故 sinx?cosx= ? 5 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 2 sin x cos x(cos x ? sin x) (2) = = sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 24 1 5 24 = (? ) ? ? = ? 25 5 7 175 ? 18. f ( x) ? 2 cos x ? sin(x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 3 ? ? = 2 cos x(sin x cos ? cos x sin ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 3 3 ? =2sinxcosx+ 3 cos 2 x = 2 sin(2 x ? ) 3 ? ? 3? ? 7? (1) 令 ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? ,解得 ? k? ? x ? ? k?, k ? Z 2 3 2 12 12 ? 7? 所以 f (x)的单调递减区间是 [ ? k?, ? k?](k ? Z ) 12 12
(2)将函数 f (x)的图象按向量 a ? ( m,0) 平移后的解析式为:
?

? ? g ( x) ? 2 sin[2( x ? m) ? ] ? 2 sin(2x ? 2m ? ) 3 3 ? ? 要使函数 g(x)为偶函数,则 ? 2m ? ? k? ? (k ? Z ) 3 2
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又因为 m>0,所以 k= ?1 时,m 取得最小正值
? ?? ? ? ?

5? . 12

? 2? 13? ) ? ? ? (13, sin ) 2 2 2 ? 2? 13? = (1 ? 2 ? ? ? 13, sin ? sin ? ? ? sin ) =(91,1) 2 2 2
19.(1)? OQ ? a1 ? a 2 ? ? ? a13 = (1, sin ) ? (2, sin 即 Q 点的坐标为(91,1) (2)? S n ? a n ? a n ?1 ? (n, sin =n(n+1)+sin
? ? ??

(n ? 1)? n? n? n? ) ? (n ? 1, sin ) = (n, sin ) ? (n ? 1, cos ) 2 2 2 2

n? n? 2 = n +n cos 2 2

∵bn=Sn?Sn?1=n2+n?[(n?1)2+(n?1)]=2n(n≥2) 且 n=1 时,b1=S1=2 ∴bn=2n 即 {bn } 的通项公式为:bn=2n 20.解: (1)∵A、B、C 可构成三角形∴A、B、C 三点不共线,即 AB 与 BC 不共线 而 AB ? (1,?4), BC ? ( x ? 3,2) 则有 1?2+4?(x?3)?0 即 x 的取值范围是 x?R 且 x?
? ?? ? ??
? ??

? ??

? ??

? ??

5 2
? ?? ? ??

(2)∵ OM 与 OC 共线,故设 OM ? ? OC ? (6?,3?) 又∵ MA ? MB ,? MA? MB ? 0 即 45?2 ? 48? ? 11 ? 0 ,解得 ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

1 11 或? ? 3 15

22 11 , ) 5 5 22 11 ∴点 M 坐标为(2,1)或( , ) 5 5
∴ OM ? (2,1) 或 OM ? ( 21.解: (1)cosC=cos2A=2cos2A?1=2 ?

? ??

? ??

9 1 ?1? 16 8

? sin C ?

3 7 7 , sin A ? 8 4 7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16
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? cos B ? ? cos( A ? C ) ? sin A sin C ? cos A cos C ?

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27 27 ,? ac cos B ? ,?ac=24① 2 2 a c 3 又? ? , C=2A,?c ? 2a cos A ? a ② 2 sin A sin C 由①②解得 a=4,c=6 9 ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ? ? 25 16 ∴b=5 所以边 AC 的长为 5. 1 x x 22.解: (1) f ( x) ? 2 ? sin x ? [4 cos 2 x ? 4(sin ? cos ) 2 ] 4 2 2 2 2 =2+sinx?cos x?1+sinx=sin x+2sinx (2) 设函数 y=f (x)的图象上任一点 M(x0,y0)关于原点的对称点为 N(x,y) 则 x0= ?x,y0= ?y ∵点 M 在函数 y=f (x)的图象上
(2)? BA ? BC ?

? ?? ? ??

?? y ? sin 2 (? x) ? 2 sin(? x) ,即 y= ?sin2x+2sinx
∴函数 g(x)的解析式为 g(x)= ?sin2x+2sinx (3) h( x) ? ?(1 ? ?) sin 2 x ? 2(1 ? ?) sin x ? 1, 设 sinx=t,(?1≤t≤1) 则有 h(t ) ? ?(1 ? ?)t 2 ? 2(1 ? ?)t ? 1

(?1 ? t ? 1)

① 当 ? ? ?1 时,h(t)=4t+1 在[?1,1]上是增函数,∴λ = ?1 ② 当 ? ? ?1 时,对称轴方程为直线 t ? ⅰ) ? ? ?1 时,

1? ? . 1? ?

1? ? ? ?1 ,解得 ? ? ?1 1? ? 1? ? ⅱ)当 ? ? ?1 时, ? 1 ,解得 ? 1 ? ? ? 0 1? ?
综上, ? ? 0 .

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