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2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上学期期末考试数学(理科)试题

时间:2016-01-13


2015-2016 学年甘肃省兰州一中高二上学期期末考试数学 (理科)试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 100 分, 考试时间 100 分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列说法

正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2

(

)

2 B.命题“ ?x0 ? R,x0 ? 1”的否定是“ ?x ? R,x ? 1 ”
2

C.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆否命题为假命题 D.命题“若 x ? y ,则 cos x ? cos y ”的逆命题为假命题 2. 已 知 空 间 四 边 形 OABC 中 , OA ? a , OB ? b , OC ? c , 点 M 在 OA 上 , 且

??? ? ?

??? ?

?

??? ?

?

???? ? OM ? 2 MA , N 为 BC 中点,则 MN =
A.

( B. ?

)

1? 2? 1? a? b? c 2 3 2

2? 1? 1? a? b? c 3 2 2

C.

1? 1? 1? a? b? c 2 2 2

D.

2? 2? 1? a? b? c 3 3 2
( )

3. 下面的命题中是真命题的是 A.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 B.设空间向量 a , b 为非零向量,若 a ? b ? 0 ,则 ? a, b ? 为锐角 C.方程 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0) 表示的曲线是椭圆
2 2

?

?

? ?

? ?

D.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2 4. 方程 1? | x | ? 1 ? y 表示的曲线是 A.两条线段 C.两条射线 B.两条直线 D.一条射线和一条线段 ( ) ( )

5. “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? (ax ?1) x 在区间 (0, ??) 内单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第1页 共8页

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C : x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | , 6. 已知 F 1 、 F2 为双曲线
则 cos ?F 1PF 2为 A. ( B. )

1 4

3 5

C.

3 4

D.

4 5

7. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | = A. 3 B.

??? ?

??? ?

( C. 2 D.

)

7 2

5 2

1 x2 y 2 8. 过点 M (1,1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A , B 两 2 a b
点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 A. ( D. )

1 2

B.

2 2

C.

3 2
0

2 3

9. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BCA ? 90 , M , N 分别是 A1B1 , AC 1 1 的中点,

BC ? CA ? CC1 ,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为
A.

(

)

1 10

B.

2 5

C.

2 2

D.

30 10

10.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与 C 交 a 2 b2
b 的值为 a
D. ( )

于点 P , Q . 若 | PF2 |?| F 1F 2 | ,且 3| PF 1 |? 4 | QF 1 | ,则

A.

3 5

B.

5 7

C.

2 6 7

2 6 5

高二第一学期期末数学试卷(理科)

第2页

共8页

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 若 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 准 线 经 过 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1 的 一 个 焦 点 , 则

p?


2

12. 过双曲线 x ?

y2 ? 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A , 3


B 两点,则 AB ?

13. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲 说“是乙或丙获奖”,乙说“甲、丙都未获奖”,丙说”我获奖了”,丁说“是乙获奖”。 四位歌手的话只有两位是真的,则获奖的歌手是_____. 1 2 14. 已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面是边长为 的正方形,高为 ,则点 A 1 到截面

AB1D1 的距离是
2



15. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且满 足 ?AFB ?

| MN | ? . 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N , 则 的最大值是 3 | AB |

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16. (本小题满分 10 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点,

2 AB. 2 (Ⅰ) 证明: BC1 ∥平面 ACD ; 1 AA1 ? AC ? CB ?
(Ⅱ) 求 A 所成角的正弦值. 1E 与平面 ACD 1

17. (本小题满分 8 分)
2 给定两个命题 p :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立; q :关于 x 的方程

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第3页 共8页

18.(本小题满分 10 分) 如图,已知四边形 ABCD 内接于抛物线 x 2 ? y ,点
y D

C (3,9) , AC 平行于 x 轴, BD 平行于该抛物线在点 C
处的切线, ?BAD ? 90 .
?

(Ⅰ)求直线 BD 的方程; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积.

A

C

B O

x

19. (本小题满分 10 分) 如图 1 , ?ABC 是边长为 6 的等边三角形, E , D 分别为 AB , AC 靠近 B , C 的三等 分点,点 G 为 BC 边的中点,线段 AG 交线段 ED 于 F 点,将 ?AED 沿 ED 翻折,使平 面 AED ⊥平面 BCDE ,连接 AB , AC , AG 形成如图 2 所示的几何体.

(Ⅰ) 求证: BC ⊥平面 AFG ; (Ⅱ) 求二面角 B ? AE ? D 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 A : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 12 ,圆 A 内一定点 B( 2,0) ,圆 P 过点 B 且与圆 A 内切. (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? 2 与点 P 的轨迹交于 C , D 两点.问是否存在常数 k ,使得以 CD 为 直径的圆过坐标原点 O ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.
高二第一学期期末数学试卷(理科) 第4页 共8页

高二数学答题卡(理科)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.________________ 12.________________ 13. ________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14.________________ 15. ________________ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.(本小题满分 10 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点,

2 AB. 2 (Ⅰ) 证明: BC1 ∥平面 ACD ; 1 (Ⅱ) 求 A 所成角的正弦值. 1E 与平面 ACD 1 AA1 ? AC ? CB ?

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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17.(本小题满分 8 分)
2 给定两个命题 p :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立; q :关于 x 的方程

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 10 分)
2 如 图 , 已 知 四 边 形 A B C D内 接 于 抛 物 线 x ? y , 点

y D

C (3, 9) ,AC 平行于 x 轴,BD 平行于该抛物线在点 C 处
的切线, ?BAD ? 90 .
?

(Ⅰ)求直线 BD 的方程; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积.

A

C

B O

x

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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共8页

19. ( 本小题满分 10 分) 如图 1 , ?ABC 是边长为 6 的等边三角形, E , D 分别为 AB , AC 靠近 B , C 的三等 分点,点 G 为 BC 边的中点,线段 AG 交线段 ED 于 F 点,将 ?AED 沿 ED 翻折,使平 面 AED ⊥平面 BCDE ,连接 AB , AC , AG 形成如图 2 所示的几何体. (Ⅰ) 求证: BC ⊥平面 AFG ; (Ⅱ) 求二面角 B ? AE ? D 的余弦值.

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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20.(本小题满分 12 分) 已知圆 A : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 12 ,圆 A 内一定点 B( 2,0) ,圆 P 过点 B 且与圆 A 内切. (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? 2 与点 P 的轨迹交于 C , D 两点.问是否存在常数 k ,使得以 CD 为 直径的圆过坐标原点 O ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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兰州一中 2015-2016-1 学期期末考试高二数学(理科)参考答案
一、 题号 答案 选择题(每题 3 分,共 30 分) 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 A 8 B 9 D 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 2 2 12. 4 3 13. 丙 14.

2 3

15. 1

三、 解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.解:(Ⅰ) 连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥平面 A1CD. (Ⅱ)由 AC=CB= 平面 A1CD,

?????3 分 ?????5 分

2 ?????6 分 AB 得,AC⊥BC. 2 ??? ? 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.
设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD =(1,1,0),

??? ?

???? ???? CA1 =(2,0,2), A1E ? (?2,2, ?1) . ? 设 n =(x,y,z)是平面 A1CD 的一个法向量, ? ??? ? ? n ? CD ? 0, ? x ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 即? n ? CA ? 0, ?2 x ? 2 z ? 0. ? ? 1 ? 可取 n =(1,-1,-1).?????8 分 ? 设A 1E 与平面 A1CD 所成角为 , ????? ? ???? ? | A1 E ? n | 3 则 sin ? ?| cos ? A1 E , n ?|? ????? . ???10 分 ? ? | A1E |? | n | 3
4a<0” .解得 0≤a<4.

17. 解:命题 P:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立,则“a=0” ,或“a>0 且 a2- ???3 分 ???5

1 命题 q :关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根,则 Δ=1-4a≥0,得 a≤ . 4 分 因为 P∧ q 为假命题,P∨ q 为真命题,则 P, q 有且仅有一个为真命题,

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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a<0或a≥4 0≤a<4 ? ? ? ? 故 p ∧ q 为真命题,或 P∧ q 为真命题,则? 1 或? 1 ? ? ?a≤4 ?a>4.
? ?

???7

分 1 解得 a<0 或 <a<4. 4 分
2 2 18.解: (Ⅰ)由 C (3,9) ,知 A(?3,9) ,设 B( x1 , x1 ) , D( x2 , x2 );

1 所以实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪( ,4). 4

???8

由题意知,过点 C 的切线斜率存在,故设切线的方程为 y ? 9 ? k ( x ? 3) 联立 ?

? y ? 9 ? k ( x ? 3) ? x 2 ? kx ? 3k ? 9 ? 0. 2 y ? x ?
y D

? ? (?k )2 ? 4(3k ? 9) ? 0 ? (k ? 6)2 ? 0 ? k ? 6.
从而 kBD ? k ? 6. ???3 分
A

从而设直线 BD 的方程为 y ? 6 x ? m

C

? y ? 6x ? m ? x2 ? 6 x ? m ? 0. ? 2 ? y?x
则 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? ?m 又因为 ?BAD ? 90 ; 所以
?

B O

x

k AB ? k AD

2 x12 ? 9 x2 ?9 ? ?1 ? ? ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ?1 ? x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 ? ?1. x1 ? 3 x2 ? 3

即 ?m ? 3 ? 6 ? 9 ? ?1 ? m ? ?8. 分

故直线 BD 的方程为 y ? 6 x ? 8.

???6

2 (Ⅱ)解方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 ,可得 B (2, 4) , D(4,16)

所以 | BD |? 分

(4 ? 2) 2 ? (16 ? 4) 2 ? 2 37.

???7

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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点 A 到 BD 的距离为 d1 ;点 C 到 BD 的距离为 d2

d 1 ?d2 ?


| 6 ? (?3) ? 9 ? 8 | ? | 6 ? 3 ? 9 ? 8 | 1? 6
2

?

36 . 37

???9

1 1 36 S四边形ABCD = | BD | ?(d1 ? d 2 ) ? ? 2 37 ? ? 36. 2 2 37
分 另解, 四边形 ABCD 面积 S ? S?ACD ? S?ACB

???10

1 1 1 ? ? AC ? yD ? yC ? ? AC ? yB ? yC ? ? 6 ? (7 ? 5) ? 36 . 2 2 2
19. 解: (Ⅰ)证明:在图 1 中,由△ABC 是等边三角形,E,D 分别为 AB,AC 的三等分 点,点 G 为 BC 边的中点, 则 DE⊥AF,DE⊥GF,DE∥BC. 在图 2 中,因为 DE⊥AF,DE⊥GF,AF∩FG=F,所以 DE⊥平面 AFG. 又 DE∥BC,所以 BC⊥平面 AFG. 分 (Ⅱ)解:因为平面 AED⊥平面 BCDE,平面 AED∩平面 BCDE=DE,AF⊥DE, 所以, AF ? 平面 BCDE 又因为 DE⊥GF, 所以 FA,FD,FG 两两垂直. 分 以点 F 为坐标原点,分别以 FG,FD,FA 所在的直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系 F-xyz.则 ???6 ???5

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A(0,0,2 3),B( 3,-3,0),E(0,-2,0), 所以=( 3,-3,-2 3),=(- 3,1,0). 设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z),

? 3x-3y-2 3z=0, 则即? ?- 3x+y=0,
取 x=1,则 y= 3,z=-1,则 n=(1, 3,-1). 分 显然 m=(1,0,0)为平面 ADE 的一个法向量, 所以 cos〈m,n〉= 分 由图形可知二面角 B-AE-D 为钝角, 所以,二面角 B-AE-D 的余弦值为- 分 5 . 5 ???10 m· n 5 = . |m|· |n| 5 ???9 ???8

20. (Ⅰ)解:设动圆圆心 P( x, y) ,半径为 r .

PA ? 2 3 ? r, PB ? r ? PA ? PB ? 2 3 ? AB ? 2 2.
分 故点 P 的轨迹为椭圆,

???3

2a ? 2 3 ? a ? 3;2c ? 2 2 ? c ? 2. a2 ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 3 ? 2 ? 1.
故圆心 P 的轨迹方程为 分

x2 ? y 2 ? 1. 3

???6

? y ? kx ? 2 ? (Ⅱ)假设存在实数 k ,由 ? x 2 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0. 2 ? ? y ?1 ?3 2 2 2 由 ? ? (12k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 0 得 k ? 1.
分 设直线 y ? kx ? 2 与椭圆交于 C( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), 则

???7

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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12k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 3k 2 ① ? ? xx ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
分 由以 CD 为直径的圆过坐标原点 O ,知

???8

??? ? ??? ? OC ? OD ? OC ? OD ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0.

???9

分 而 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,

x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0. ② 13 2 将①代入②整理可求得 k ? 3


???11

k2 ?


13 39 ? 1 ,其值满足 ? ? 0 .故 k ? ? . 3 3

???12

高二第一学期期末数学试卷(理科)

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