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球与简单几何体的组合体学案

时间:2014-03-04


2014 届高三文科数学学案

王秀春

球与简单几何体的组合体
一、知识梳理 1、球与正方体 (1)球内接正方体:(2)球内切与正方体

(3)球与正方体的各棱相切

a r ?
3 2 ? a ,h ? o 3 cos 30

a2 ? r 2 ?

>6 a 12

6 a 3

4
3、球与正三棱锥

1 1 Rs ? hs 3 3

R ?

2R ? l ? 3a
2、球与正四面体

2R ? a

2R ? 2a

r 2 ? PD ? DE
4、利用体积转换求球的半径

a r ?
3 2 ? a ,h ? o 3 cos 30
2 2

a2 ? r 2 ?

6 a 3
5、球与正三棱柱

R

2

6 a ? (h ? R ) ? r , R ? 12

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2014 届高三文科数学学案

王秀春

h R 2 ? ( )2 ? r 2
2
例 2、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 这个三棱柱的体积是 A.96

32 ? ,那么 3

3

B.16 3

C.24

3

D. 48 3

二、例题讲解 例 1、(1)2011 全国Ⅰ 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为 (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 24 ? a2 (2)、半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积。
(3)、(2013 天津卷(文))已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

练习 2、(2011 四川)如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的 表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.

9? , 则正 2
例 3、(2013 年高考课标Ⅱ 卷(文))已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为

方体的棱长为 ______.
【答案】

3 2 错误!未找到引用 2

3

源。 ,底面边长为错误! 未找到引用源。 ,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.

练习 1、(2013 福建(理))已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测

试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是 _______________

练习 3、一个正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,五个顶点都在同一个球面上,则此球的 表面积为 .

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2014 届高三文科数学学案

王秀春

1例 4、(1)(2012 高考新课标)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的 距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π

练习 7、(2010 辽宁文)已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC ,

SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

(2)(2013 年高考课标Ⅰ 卷(文))已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH

面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______.

: HB ? 1: 2 , AB ? 平

(3)(2011 浙江)已知一个球的球心 O 到过球面上 A、B、C 三点的截面的距离等于此球半径 的一半,若 AB ? BC ? CA ? 3 ,则球的体积为 练习 4 、( 2011 全国Ⅰ理)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且

AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为



练习 8、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两 个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表 面积是 (A) 12? (B) 24? (C) 32? (D) 48? 练习 9、 (2011 辽宁文) 已知球的直径 SC=4, A, B 是该球球面上的两点, AB=2, ∠ ASC=∠ BSC=45° , 则棱锥 S-ABC 的体积为 A.

3 3

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

练习 10、在半径为 5 3 的球面上有 A 、 B 、 C 三点, AB ? 6 , BC ? 8 , CA ? 10 ,则球 例 5、(1)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相 垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.
( 2 ) ( 2013 辽 宁 理 ) 已 知 三 棱 柱

心到平面 ABC 的距离为



ABC ? A1B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若


AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为(
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

练习 6、(2012 高考辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥ 平面 ABCD, 四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形。若 PA=2 6 ,则△ OAB 的面积为______________.

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