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高考文科数学解析几何考点精细选

时间:2014-11-06


高考文科数学解析几何考点精细选
1、 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是 ( ) A.x+y-2=0 B.x-y=2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 [解析] 由直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,可设直线 l 的方程为 x-y+m=0. 又直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心(

0,3),则 m=3,所以直线 l 的方程为 x-y+3=0, 故选 D. 2、已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 设 M(x,y),则 CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). 由题设知 CM· MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以直线 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 又|OM|=|OP|=2 故|PM|= 4 10 2,O 到直线 l 的距离为 , 5

4 10 16 ,所以△POM 的面积为 . 5 5 2 2 x y 3、 如图 15,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上, a b |F1F2| 2 DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2 (1)求该椭圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个 交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说 明理由.

图 15 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. |F1F2| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2

1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 2 9 3 2 从而|DF1|= .由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= , 2 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两 2 个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易 知,x2=-x1,y1=y2.

→ → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1 2 ⊥F2P2 得-(x1+1)2+y1 =0. x2 4 1 由椭圆方程得 1- =(x1+1)2,即 3x2 1+4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 2 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C.设 C(0,y0), 3 y1-y0 y1 由 CP1⊥F1P1,得 · =-1. x1 x1+1 1 5 而 y1=|x1+1|= ,故 y0= . 3 3 4 2 1 5 2 4 2 - ? +? - ? = 圆 C 的半径|CP1|= ? . ? 3? ?3 3? 3 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 5 2 32 y- ? = . x2+? ? 3? 9 4、 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心, 且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y=2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 [解析] 由直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,可设直线 l 的方程为 x-y+m=0. 又直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心(0,3),则 m=3,所以直线 l 的方程为 x-y+3=0, 故选 D. 5、 如图 16 所示,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护 区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相 切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m.经测量,点 A 位于点 4 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tan∠BCO= . 3 (1)求新桥 BC 的长.

(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

图 16 解: 方法一: (1)如图所示, 以 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系 xOy.

由条件知 A(0, 60), C(170,0), 4 直线 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=- . 3 3 又因为 AB⊥BC, 所以直线 AB 的斜率 kAB= . 4 设点 B 的坐标为(a,b), b-0 b-60 3 4 则 kBC= =- , kAB= = , 3 a-170 a-0 4 解得 a=80, b=120, 所以 BC= (170-80)2+(0-120)2=150. 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM=d m (0≤d≤60). 4 由条件知, 直线 BC 的方程为 y=- (x-170), 3 即 4x+3y-680=0. 由于圆 M 与直线 BC 相切, 故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是 r, |3d - 680| 680-3d 即 r= = . 5 42+32
? ?r-d≥80, 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以? ?r-(60-d)≥80, ?

-3d -d≥80, ?6805 即? 680 - 3d ? 5 -(60-d)≥80, 解得 10≤d≤35. 680 - 3d 故当 d=10 时, r = 最大, 即圆面积最大, 5 所以当 OM=10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二: (1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点 F.

4 因为 tan∠FCO= , 3 4 3 所以 sin∠FCO= , cos∠FCO= . 5 5 因为 OA=60,OC=170, 680 OC 850 500 所以 OF=OC tan∠FCO= , CF= = , 从而 AF=OF-OA= . 3 3 cos∠FCO 3 4 因为 OA⊥OC, 所以 cos∠AFB =sin∠FCO= . 5 400 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AFcos∠AFB= , 从而 BC=CF-BF=150. 3 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD 是圆 M 的 半径,并设 MD=r m,OM=d m (0≤d≤60). 因为 OA⊥OC, 所以 sin∠CFO=cos∠FCO. 680-3d MD MD r 3 故由(1)知 sin∠CFO= = = = , 所以 r= . MF OF-OM 680 5 5 -d 3 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
? ?r-d≥80, 所以? ?r-(60-d)≥80, ?

-3d -d≥80, ?6805 即? 680-3d ? 5 -(60-d)≥80, 解得 10≤d≤35. 680 - 3d 故当 d=10 时, r= 最大,即圆面积最大, 5 所以当 OM=10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 6、 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的 5 交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 1 又直线 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2+3. m 4 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 2+2m +3,- 故线段 MN 的中点为 E? m?, ?m |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 由于线段 MN 垂直平分线段 AB, 故 A, M, B, N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 从而 1 1 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 7、已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值 是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 [解析] 圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,则圆心(-1,1)到直线 |-1+1+2| x+y+2=0 的距离为 = 2.由 22+( 2)2=2-a,得 a=-4, 故选 B. 2 8、过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围 是( ) π A.?0, ? 6? ? π C.?0, ? 6? ? π B.?0, ? 3? ? π D.?0, ? 3? ?

[解析] 易知直线 l 的斜率存在,所以可设 l:y+1=k(x+ 3),即 kx-y+ 3k-1 | 3k-1| =0.因为直线 l 圆 x2+y2=1 有公共点,所以圆心(0,0)到直线 l 的距离 ≤1,即 k2- 1+k2 π 3k≤0,解得 0≤k≤ 3,故直线 l 的倾斜角的取值范围是?0, ?. 3? ? 9、 已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 [解析] 由图可知,圆 C 上存在点 P 使∠APB=90°,即圆 C 与以 AB 为直径的圆有 公共点,所以 32+42-1≤m≤ 32+42+1,即 4≤m≤6.

10、 设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的 取值范围是( ) 1 1? A. [-1,1] B. ? ?-2,2? 2 2 C. [- 2, 2] D. ?- , ? 2? ? 2

[解析] 点 M(x0,1)在直线 y=1 上,而直线 y=1 与圆 x2+y2=1 相切.据题意可 |ON| 设点 N(0,1),如图,则只需∠OMN≥45°即可,此时有 tan ∠OMN= ≥tan 45°,得 |MN| 0<|MN|≤|ON|=1,即 0<|x0|≤1,当 M 位于点(0,1)时,显然在圆上存在点 N 满足要求,综 上可知-1≤x0≤1.

11、 圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3, 则圆 C 的标准方程为________. [解析] 因为圆心在直线 x-2y=0 上,所以可设圆心坐标为(2b,b).又圆 C 与 y 轴 的正半轴相切,所以 b>0,圆的半径是 2b.由勾股定理可得 b2+( 3)2=4b2,解得 b=± 1.又因 为 b>0,所以 b=1,所以圆 C 的圆心坐标为(2,1),半径是 2,所以圆 C 的标准方程是(x- 2)2+(y-1)2=4. 12、 设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交 于点 P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[ 5,2 5 ] B.[ 10,2 5 ] C.[ 10,4 5 ] D.[2 5,4 5 ] [解析] 由题意可知,定点 A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直, 则其交点 P(x,y)落在以 AB 为直径的圆周上, 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,即|PA|+|PB|≥|AB|= 10. 又|PA|+|PB|= (|PA|+|PB|)2= |PA|2+2|PA||PB|+|PB|2≤ 2(|PA|2+|PB|2)=2 5, 所以|PA|+|PB|∈[ 10,2 5],故选 B. 13、已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长 度的最小值. x2 y2 解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0), 其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0,

2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0
2 又 x2 0+2y0=4,所以 |AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2

2y0 2 x0+ ? +(y0-2)2 =? x ? ?
0

4y2 0 2 =x0 +y2 0+ 2 +4 x0
2 =x0 +

4-x2 2(4-x2 0 0) + +4 2 x2 0 (0<x2 0≤4).

2 x0 8 = + 2+4 2 x0

x2 8 0 2 2 因为 + 2≥4(0<x2 0≤4),当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0 x2 y2 y2 14、如图 15 所示,O 为坐标原点,双曲线 C1: 2- 2=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2: 2 a1 b1 a2 2 x 2 3 ? + 2=1(a2>b2>0)均过点 P? , 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形 b2 ? 3 ,1? 是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程. → → (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且|OA+OB| =|AB| ?证明你的结论. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.

图 15 解: (1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而 a1=1,c2= 2 y2 2 3 ? ?2 3? - 12=1,故 b2=3. 2 1.因为点 P? ,1 在双曲线 x -b2=1 上,所以 1 ? 3 ? ? 3 ? b1 1 由椭圆的定义知 2a2=

2 y2 x2 2 2 2 y 于是 a2= 3,b2 2=a2-c2=2.故 C1,C2 的方程分别为 x - =1, + =1. 3 3 2 (2)不存在符合题设条件的直线. (i)若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x= 2或 x =- 2. 当 x= 2时,易知 A( 2, 3),B( 2,- 3),所以 → → → |OA+OB|=2 2,|AB|=2 3. → → → 此时,|OA+OB|≠|AB|.

?2 3? +(1-1)2+ ? 3 ?

2

?2 3? +(1+1)2=2 3. ? 3 ?

2

→ → → 当 x=- 2时,同理可知,|OA+OB|≠|AB|. (ii)若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m, y=kx+m, ? ? 由? 2 y2 得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. x - = 1 ? 3 ? 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实 根,从而 m2+3 2km x1+x2= . 2,x1x2= 2 3-k k -3 3k2-3m2 于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 2 . k -3 y=kx+m, ? ?2 2 由?y x 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. + = 1 ?3 2 ? 因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2- 3)=0. 化简,得 2k2=m2-3.因此 m2+3 3k2-3m2 -k2-3 → → OA·OB=x1x2+y1y2= 2 + 2 = 2 ≠0, k -3 k -3 k -3 → → → → → → → → → → → → 于是OA2+OB2+2OA·OB≠OA2+OB2-2OA·OB,即|OA+OB|2≠|OA-OB|2. → → → 故|OA+OB|≠|AB|. 综合(i),(ii)可知,不存在符合题设条件的直线. x2 y2 15、 如图 15 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂 线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. 4 1? (1)若点 C 的坐标为? ?3,3?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

图 15 解: 设椭圆的焦距为 2c, 则 F1(-c, 0), F2(c, 0). (1)因为 B(0, b), 所以 BF2= b2+c2=a.又 BF2= 2, 故 a= 2. 16 1 9 9 4 1? 2 因为点 C? ?3,3?在椭圆上,所以 a2 +b2=1,解得 b =1. x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 2

x y (2)因为 B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上,所以直线 AB 的方程为 + =1. c b

? ? ?x =a +c , ? ?x =0, ? 解方程组? 得? x y b(c -a ) ? ?y =b, ?y = a +c , ?a +b =1, ?
x y + =1, c b
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ? 2a c b(c -a )?. 所以点 A 的坐标为? 2 2, ? 2 2 a +c ?a +c ?

2a2c

? 2a c b(a -c )?. 又 AC 垂直于 x 轴, 由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为? 2 2, a2+c2 ? ?a +c ?
b(a2-c2) -0 a2+c2 b(a2-c2) b 因为直线 F1C 的斜率为 2 = ,直线 AB 的斜率为- ,且 F1C 2a c c 3a2c+c3 -(-c) a2+c2 b(a2-c2) ? b? 2 2 2 2 2 2 1 ⊥AB,所以 2 3 · - =-1.又 b =a -c ,整理得 a =5c ,故 e = , c ? ? 5 3a c+c 因此 e= 5 . 5

2

2

2


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