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高考数学三角函数公式测试


专题考案 三角函数公式
(时间:90 分钟 题型示例 若 A -B = 解
2 3 ? ,tanA -tanB = , 则 cosA?cos B = 3 6

满分:100 分)

.

tan(A -B)=

tan A ? tan B 3 3 2 3 sin A ? sin B

? ? (1+tanA ?tanB )? ? ? 1+ ?2? 1 ? tan A ? tan B 3 3 3 cos A ? cos B

cosA ?cosB +sinA ?sinB =2cosA ?cos Bcos A ?cos B = 答案 点评
3 4

1 cos(A-B )= 2

3 . 4

“ 化 切 为 弦 ” 是 三 角 变 换 的 常 用 方 法 . 若 把 1+

sin A ? sin B =2 化 为 cos A ? cos B

s iA n?s i B n =1 ? cosA·cosB=sinA·sinB,解题便陷入困境,不易求解. c oA s?c o B s

一、选择题 (9?3′=27′) 1.tan 15°+ cot 15°等于 A.2 2.当 x≠ B.2+ 3 C.4 D.
4 3 3

(

)

k? sin x ? tan x (k ∈Z)时, 的值是 2 cos x ? cot x

( D. 无法确定 ( D. 以上都不对 (

)

A. 恒正 B. 恒负 C. 非负 2 2 3.若 cotα =2, 则 sin α +sin α 的值是 A.1 B.-1 C.2 A. logcos C cos A >0 sin B

) )

4.若△ABC 为锐角三角形,则下列不等式中一定能成立的是 B.logcos C
cos A >0 cos B

sin A C.logsin C sin A >0 D.logsin C >0 cos B sin B 1 1 5.设 tanα = ,tanβ = , α 、β 均为锐角,则α +2β 的值是 7 3

(

)

A.

? 4

B.

3 π 4

C.

5 π 4

D.

? 3 或 π 4 4

6.如果角θ 满足条件, 则θ 是 A. 第二象限角 B. 第二或第四象限角 C. 第四象限角 7.若 cotθ =3, 则 cos 2 θ A.5 6

(

)

D. 第一或第三角限角
1 sin2 θ 的值是 2

( D.
4 5

)

B.-

4 5

C.

3 5

8.若α ∈[0,2π ], 且

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? ? ? sin ? cos , 则α 的取值范围是 2 2 2 2

(

)

A. [0,2π ]

B. [

? ,π ] 2

C. [0, π ]

D. [π ,2π ] ( )

9.在△ABC 中,若 sin( A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形

? 3 +A )cos(A+C- π )=1, 则△ABC 为 4 4

B. 直角三角形 D. 等边三角形

二、填空题 (5?3′=15′) 10.化简
1 ? cos6 ? ? sin6 ? = 1 ? cos4 ? ? sin4 ?

. . .

11.tan20°+tan40°+ 3 tan20°tan40°的值是 12.若 sinα +sinβ = 13.已知α =

3 1 ? ,cos α +cos β = , 则 sin(α + )的值为 2 2 3

cos 2 ? ? 的值为 , 求得 , ? ? 8 cot ? tan 2 2

.

14.若 a≠0,且 sinx+siny=a,cos x+cos y=a, 则 sinx+cos x= 三、解答题 (2?10′+6′+10′=36′)
2 2

.
7 π, 2

15.已知 tanα 、cotα 是关于 x 的方程 x -kx+k -3=0 的两实根,且 3π <α < 求 cos(3π +α )+sin( π +α )的值. 16.已知 tan ? ? ? ? ?
? ?? ?4 ? 1 . 2

(1)求 (2)求

tan

α 的值;

sin 2? ? cos2 ? 的值. 1 ? cos 2?
1 , 求 cos α +sinβ 的取值范围. 2 ? ? , π ),求 sin(2α + )的值. 2 3

17.已知 sinα +cos β =

18.已知 6sin2 α +sinα cos α -2cos2 α =0, α ∈ ? 四、思考与讨论 (12′+10′=22′)

2 19.已知关于 x 的方程 2x -( 3 +1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cos θ ,θ ∈(0,2π ),求:

(1)

sin ? cos ? 的值; ? 1 ? cot ? 1 ? tan ?

(2)m 的值; (3)方程的两根及此时θ 的值. 20.设α 、β 、γ 是锐角, 且 tan
? a 1 ? tan3 ,tanβ = tanγ , 求证:α 、β 、γ 成等差数列. 2 2 2

参考答案
1.C
? 2?

tan 15°+cot 15°=tan 15°+

1 1 ? tan2 15? ? tan15? tan15?

1 ? tan 2 15? 2 ? 2 csc 30? ? ? 4. 2 tan15? sin 30?
k? sin x ? tan x sin x x≠ , k ∈Z, ? ? 2 cos x ? cot x cos x

1?

2. A

1 1 ? cos x cos x ? tan x ? cos x ? tan 2 x ? 1 ? cos x ? 0 . 1 1 ? sin x 1 ? sin x 1? sin x sin x

3.A cotα =2 ? sinα =

?1 1? 22

??

5 2 5 ,? cos ? ? ? . 5 5

又由 cotα =2>0 知 sinα 、cos α 同号.
? 5? 5 2 ? =1. ∴sin2α +sin α =2? ? 5 ?? ? 5 ? 5 5 ? ?
2
2

4.A ∵A +B > ∴logcos C

? ? ? cos A , ∴A > -B,cos A <cos( -B )=sinB,∴0< <1, 又 0<cos C<1, 2 2 2 sin B

cos A >0. sin B

5.A

1 1 3 ?3 tanβ = ? tan2 β = 1 4 3 1? ( )2 3 2?
? ? 3 1 1 <1, <1,则 0<α < ,0<β < , ∴0<α +2β < π , 4 4 4 7 3 ? . 4



1 3 ? 1 又 tan(α +2β )= + 7 4 1 3 7 1? ? 7 4

=1, ∴α +2β =

6.B

∵sin2 θ +cos2 θ =1, ∴ ?

? k ? 3 ? ? 4 ? 2k ? 3 4 ? ?? ? ? 1 ? k =0 或 8.k =0 时,sinθ =- ,cos θ = ,θ k ? 5 k ? 5 5 5 ? ? ? ?

2

2

在第四象限;k =8 时,sinθ =

5 ?12 ,cos θ = , θ 在第二象限. 13 13
2

7. C

?1? 1 1? ? ? 1 3 ? 3 ,cos 2 θ = ? 3 ? ? 4 . cotθ =3,则 tanθ = , ∴sin2 θ = 2 2 5 5 3 ?1? ?1? 1? ? ? 1? ? ? ?3? ?3?
2?
1? 4 5 ? 1?3 ? 3. 2 2 5 5

1 1 ? cos 2? 1 ? sin 2? ? cos θ - sin 2? ? 2 2 2
2

8.D

α ∈[0,2π ], 则

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? cos2 ? sin2 ? cos ? sin , ∈[0, π ]. 2 2 2 2 2 2 2

由已知得 sin 9.C 10.
3 2

? ? ? ? ≥0,cos ≤0, ∴ ∈[ , π ], ∴α ∈[π ,2π ]. 2 2 2 2

sin(

? 3 ? 3 ? 3 +A )cos (A+C- π )=1 ? sin( +A )=1,cos (A +C- π )=1 ? A = , A +C= π . 4 4 4 4 4 4

原式 ? ?

4 1 ? ( c o2 s? ? s i 2 n ?) ( c o ? s ?s i 2 n ? c o 2s ? ? s i 4 n ?)

? 1 ? ?( c o s? ? s i n ?)
2 2

1 ? ( c o2 s? ? s i 2 n ?) 2 ? 3 s i 2 n ? c o 2s ?
2 2 2

? ? 3s i n? c o s? ? 3 . ? 2 s i n ? c o s ?? 2 s i n ? c o s ? 2
2 2 2 2

1? c o 4 sa ?s i 4 n?

?

1 ? ( c o4 s? ? s i 4 n? ? s i 2 n ? c o 2s ?) 1 ? ( c o4 s? ? s i 4 n ?)

11. 3 12.
1 2

3 =tan60°=

tan 20? ? tan 40? ? tan20°+tan40°+ 3 tan20°tan40°= 3 . 1 ? tan 20? tan 40?

3 1 -sinα ,cos β = -cos α , 两式平方相加得 1=2-sinα - 3 cos α =2-2sin(α 2 2 1 ? ? + ),∴sin(α + )= . 2 3 3

由已知 sinβ =

13.

2 8

c o 2s ? ? ? ? c o t ?t a n co 2 2

c o 2s ? c o 2s ? c o 2s ? ? ? ? ? ? ? co? s s sin c o 2s ? s i 2 n 1 2 ? 2 2 2 sin ? ? ? ? ? 2 sin cos sin cos 2 2 2 2

?

sin ?c o ? s 1 1 ? 2 ? sin 2? ? s i n ? . 2 4 4 4 8

14.a

∵sin y+cos y=1, ∴(a-sinx) +(a-cos x) =1, 得 2a -2a(sinx+cos x)+1=1, ∴sinx+cos x=a.
?tan ? ? cot ? ? k
2

2

2

2

2

2

15.解 ?

7 13 , 得 k =±2,tanα =±1,又 3π <α < π , ∴tanα =1, α = π . 2 4 ?tan ? cot ? ? k ? 3 ? 1

cos(3π +α )+sin(π +α )=-cos α -sinα = 2 . 16.分析 (1)将已知用两角和的正切公式展开即可. (2)将所求式子化简成只含 tanα 的形式,再代入数便可求解.
? tan ? tan ? 1 ? tan ? ?? ? 4 ? . (1)tan ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 1 ? tan tan ? 1 ? tan ? 4
?? ?4 ? ? 1 1 ? tan ? 1 1 ,有 ? , 解得 tan ? ? ? . 2 1 ? tan ? 2 3



由 tan ? ? ? ? ?

(2)方法 1 方法 2

sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos ? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos ? 1 1 1 5 ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? . 2 1 ? cos 2? 2 cos ? 2 3 2 6 1 ? 2 cos ? ?1

1 1 由(1),tanα =- , 得 sinα =- cos α . 3 3 1 1 cos2 α ,1-cos 2 α = cos 2 α . 9 9 9 4 2 3 2 2 2 2 , 于是 cos α =2cos α -1= ,sin α =2sinα cos α =- cos α =- . 10 5 3 5
2

∴sin2 α = ∴cos α =
2

3 9 ? ? sin 2? ? cos ? 5 代入得 ? 5 10 ? ? . 4 1 ? cos 2? 6 1? 5

点评

本题考查了两角和的正切公式,倍角的正余弦公式等一些基本三角公式,进而考查了

学生灵活运用公式的能力及运算能力.
1 ? ?sin ? ? cos ? ? 设 cos α +sinβ =t, 则 ? 2 ? cos ? ? sin ? ? t ?
2 2

17.解

① ②

① +② , 得:2+2sin(α +β )=

1 2 1 7 +t , ∴sin(α +β )= t 2 ? 4 2 8

1 7 由 sin(α +β )∈[-1,1]得-1≤ t 2 ? ≤1 2 8

即?

? 15 15 ? 15 15 ?t ? , , 从而 cos α +sinβ 的取值范围是 ?? ?. 2 ? 2 2 ? ? 2 ?

点评

如果已知 sinα+cosβ=m,cosα+sinβ=n,则两边平方出现 sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,

可以求出 sin(α+β)的值,同样已知 sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=n 平方可求出 cos(α-β)的值. 18. 解 方法 1 由已知得(3sinα +2cos α )(2sinα -cos α )=0 ? 3sinα +2cos α =0 或 2sinα -cos α =0.
? ? , 即α ∈ ( , π ). 2 2

由已知条件可知 cos α ≠0,所以α ≠ 于是 tanα <0, ∴tanα =sin(2α + =
2 . 3

3 ? ? ? 2 2 )=sin2α cos +cos2α sin =sinα cos α + (cos α -sin α ) 2 3 3 3

sin ? cos ? 3 cos 2 ? ? sin2 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ? ? ? ? ? , 2 cos 2 ? ? sin2 ? 1 ? tan 2 ? 2 1 ? tan 2 ? cos 2 ? ? sin2 ?
2

? 2? 2 1? ? ? ? ? ? 3 6 5 2 ? ? ? 3? 3 将 tanα =- 代入上式得 sin? 2? ? ? ? ? ? ?? ? 3. 2 2 3? 2 13 26 3 ? ? 2? ? 2? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? 3? ? 3?

方法 2

由已知条件可知 cos α ≠0, 则α ≠

? , 所以原式可化为 6tan2 α +tanα -2=0. 2

即(3tanα +2)(2tan-1)=0. 又∵α ∈ ? , ? ? , ∴tanα <0. ∴tanα =? ?? ?2 ?

2 . 3

下同方法 1. 19.解
? 3 ?1 sin ? ? cos ? ? ? ? 2 ① (1)由根与系数的关系,知 ? ?sin ? cos ? ? m ② ? 2 ?
sin2 ? cos 2 ? sin2 ? ? cos 2 ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? 3 ?1 . 2

原式=

(2)由①式平方,得(sinθ +cos θ )2 = ∴sinθ cos θ = (3)当 m=
? sin ? ? ? ? ∴? ?cos ? ? ? ?

2? 3 2? 3 ,即 1+2sinθ cos θ = . 2 2

3 3 3 m . 由②,得 = , ∴m= . 2 4 4 2

3 3 3 1 时,原方程为 2x2 -( 3 +1)x+ =0, 解得 x1 = , x2 = . 2 2 2 2
3 ?sin ? ? 1 ? 2 ? ? 2 或? . 又 x∈(0,2π ),∴θ = 或? ? . ? 3 6 1 3 ?cos ? ? ? 2 2 ?

20.解

1 tanβ = tan ? ? 2

? ? ? a tan (1 ? tan 2 ) tan ? tan 2 2 2 2 ? tan ? ? ? . ? ? ? ? ? ? a 2 1 ? tan 2 (1 ? tan 2 )(1 ? tan 2 ) 1 ? tan ? tan 2 2 2 2 2 tan

? 2

再分析范围得β =

??? ,故α 、β 、γ 成等差数列. 2


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