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函数与方程思想练习题

时间:2012-10-05


函数与方程思想测试题
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? +cos ? =0,则 a,b 满足 A. a ? b ? 1
?





B. a ? b ? 1

C. a ? b ? 0


D. a ? b ? 0

2.设 P 是 6 0 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, P A ? 平 面 ? , P B ? 平 面 ? , A , B 为 垂足,
P A ? 4, P B ? 2, 则 AB 的长为

( C. 2 7 D. 4 2



A. 2 3

B. 2 5

3. 若 { a n } 是等差数列,首项 a 1 ? 0, a 2 0 0 3 ? a 2 0 0 4 ? 0, a 2 0 0 3 .a 2 0 0 4 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立 的最大自然数 n 是 A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 ( A.2 种 5.设函数 f ( x ) ? ?
x 1? x





4.每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 ) B.3 种 C.4 种 D.5 种

( x ? R ) ,区间 M=[a,b](a<b),集合 N={ y y ? f ( x ), x ? M },则使 M=N

成立的实数对(a,b)有 ( ) B.1 个
2

A.0 个 6.设 f ( A.1
?1

C.2 个 的反函数,若 [1 ?
f
?1

D.无数多个
( a )][ 1 ? f
?1

( x ) 是函数 f ( x ) ? log

( x ? 1)

( b )] ? 8

,则

f (a ? b)

的值为

) B.2 C.3 D. log
2

3

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A、B BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 A.90°
2

C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 ( )

B.60°

C.45°

D.30° ( )

8.若函数 f(x)=(1-m)x -2mx-5 是偶函数,则 f(x)

A.先增后减

B.先减后增

C.单调递增

D.单调递减

9.定义在(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)在区间(-∞,0 ] 上的图像关于 x 轴对称,且 f(x)为增函数,则下列各选项中能使不等式 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)成立的是 A.a>b>0 B.a<b<0 C.ab>0 D.ab<0 ( ) 10.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ ABC 的面积为
3 2

,那么 b=





A.

1? 2

3

B. 1 ?

3

C.

2? 2

3

D. 2 ?
x
2

3
y
2

11.两个正数 a、b 的等差中项是 5,等比中项是 4。若 a>b,则双曲线 于

?

? 1 的离心率 e 等

a

b

( A.
3 2



B.

15 4

C.

5 2

D. 3

12.天文台用 3.2 万元买一台观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n 天的维修 保养费为
n ? 49 10

元(n∈N*),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器

的平均耗资最少)为止,一共使用了 ( A.800 天 B.1000 天 C.1200 天 D.1400 天 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 13.若 ( x ?
1 x ? 2 ) 的展开式中常数项为-20,则自然数 n=
n



.

14.正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为___。 15.已知函数 y f( ) y f ( ) ? x 与 ? x互为反函数,又 y f ( ? 与g 的图象关于直 ? x 1 y () ) ? x
() o ( ? 1 2 ) x 0 则x ) f ? 线 y ? x 对称,若 f x lg x? ( ? , () ___
2 2 ? 1
? 1 ? 1

__;

g ( 6 ) ? _______

.

16.已知矩形 ABCD 的边 AB ? a , BC ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 2 , 现有以下五个数据:
(1) a ? 1 2
PQ ? QD 时,则 a 可以取_____________.(填上一个正确的数据序号即可)

;

( 2 ) a ?1;

( 3 )a ?

3 ;

(4)a ? 2;

( 5 ) a ? 4 , 当在 BC 边上存在点 Q ,使

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 (1)求 tanα 的值; <α<π,tanα+cotα=- .

(2)求

的值.

18.(本小题满分 12 分)有一组数据 : x 1 , x 2 , ? , x n ( x 1 ? x 2 ? ? ? x n ) 的算术平均值为 10,若去掉 其中最大的一个,余下数据的算术平均值为 9;若去掉其中最小的一个,余下数据 的算术平 均值为 11. (1)求出第一个数 x 1 关于 n 的表达式及第 n 个数 x n 关于 n 的表达式; (2)若 x 1 , x 2 , ? , x n 都是正整数,试求第 n 个数 x n 的最大值,并举出满足题目要求且 x n 取到 最大值的一组数据.

19(本小题满分 12 分)如图 1,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、 ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a ( 0 ? a ? (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小.
2).

图1

20.(本小题满分 12 分) 直线 m : y ? kx ? 1 和双曲线 x ? y ? 1 的左支交于 A、B 两点,直线
2 2

l 过点 P ( ? 2 , 0 ) 和线段 AB 的中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件: f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,说明理由.

22.(本小题满分 14 分)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (1)若首项 a 1 ? ,公差 d ? 1 ,求满足 S k 2 ? ( S k ) 2 的正整数 k; 2 (2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S k 2
? (S k )
2

成立.

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13). 3; (14)24
6 .

(15).

? 1? 1 ? ? ?2(x ? ? ),?4; ? 2?

x

(16). ①或②

三、解答题(共 74 分,按步骤得分) 10 1 17.解:(1)由 tanα+cotα=- 得 3tan2α+10tanα+3=0,即 tanα=-3 或 tanα=- , 3 3 3π 1 又 <α<π,所以 tanα=- =为所求. 4 3

(1 ) ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 10 n ? 18.解:(1) 依条件得: ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ? 9 ( n ? 1 ) ( 2 ) ? x ? x ? ? ? x ? 11 ( n ? 1 ) (3) 3 n ? 2

由 (1) ? ( 2 ) 得:

x n ? n ? 9 ,又由 (1) ? ( 3 ) 得: x1 ? 11 ? n

(2)由于 x 1 是正整数,故 x 1 ? 11 ? n ? 1 , ? 1 ? n ? 10 ,故 x n ? n ? 9 ? 19 当 n =10 时,
x1 ? 1

, x 10 ? 19 , x 2 ? x 3 ? ? ? x 9 ? 80 , 此时,
x 2 ? 6 , x 3 ? 7 , x 4 ? 8 , x 5 ? 9 , x 6 ? 11 , x 7 ? 12 , x 8 ? 13 , x 9 ? 14 .

19. 解:(1)如图 2,作 MP//AB 交 BC 于点 P,NQ//AB 交 BE 于点 Q,连结 PQ,依题意可得,MNQP 是平行四边形.? MN=PQ.
? CM=BN= a ,CB=AB=BE=1,? AC=BF=

2 ,

CP 1 CP ? BQ ? a 2 .

?

a 2

,

BQ 1

?

a 2 ,即
? (1 ? a 2 ) ? (
2

? MN ? PQ ?

(1 ? CP ) ? BQ
2

2

a 2

)

2

?

(a ?

2 2

) ?
2

1 2

(0 ? a ?

2)


(a ? 2 2 ) ?
2

(2)由上得

MN ?

1 2

,? 当

a ?

2 2 时,

MN

min

?

2 2 .即 M、N 分别移动到

2

AC、BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为 2 .
? y ? kx ? 1, ( x ? ? 1) ? 2 2 2 2 x ? y ? 1, 20. 解:由 ? 消去 y ,得 ( k ? 1) x ? 2 kx ? 2 ? 0 .( ? )

因为直线 m 与双曲线的左支有两个交点,所以方程( ? )有两个不相等的负实数根.
? 2 2 ? ? ? 4 k ? 8 (1 ? k ) ? 0 , ? 2k ? ? 0, ? x1 ? x 2 ? 2 1? k ? ? 2 ? ? 0. 2 ? x1 ? x 2 ? 1? k 所以 ? 解得 1 ? k ?

2 .

设 M ( x 0 , y 0 ) ,则
P ( ? 2 , 0 ), M ( k 1? k
2

x ? x2 k ? x ? 1 ? , 2 ? 0 ? 2 1? k ? 1 ? y ? kx ? 1 ? . 0 2 ? 0 1? k ?
, 1 1? k
2



), Q ( 0 , b )

三点共线,得出
17

b?

2 ? 2k ? k ? 2 .
2



f (k ) ? ?2k

2

? k ? 2 ? ?2(k ?

1 4

) ?
2

8 ,则 f ( k ) 在 (1,

2 ) 上为减函数,

? f ( 2 ) ? f ( k ) ? f (1) ,且 f ( k ) ? 0 .? ? ( 2 ?

2 ) ? f ( k ) ? 0 ,或 0 ? f ( k ) ? 1 ,

?b ? ?

2 ? 2 ,或 b ? 2 .

21.解:(1)∵方程 ax +bx-2x=0 有等根,∴△=(b-2) =0,得 b=2。 由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图像的对称轴方程为 x=- 故 f(x)=-x +2x.
2

2

2

b 2a

=1,得 a=-1,

(2)∵f(x)=-(x-1) +1≤1,∴4n≤1,即 n≤ 而抛物线 y=-x +2x 的对称轴为 x=1,∴当 n≤ 若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?
?? m ? ?? n ?
2
2

2

1 4 1 4

. 时,f(x)在[m,n]上为增函数。

? f (m ) ? 4m ? f (n) ? 4n

即?

? 2m ? 4m ? 2n ? 4n

2

? m ? 0或 m ? ? 2 1 ? ? 又 m<n≤ . 4 ? n ? 0或 n ? ? 2

∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0]. 由以上知满足条件的 m,n 存在,m=-2,n=0. 22. 解:(1)当 a 1 ?
2

3 2

, d ? 1 时,
1 2 k
4

S n ? na 1 ?
2

n ( n ? 1) 2
2

d ?

3 2

n?

n ( n ? 1) 2

?

1 2

n

2

? n

由 S k ? (S k ) , 得
2

? k

? (

1 2

k

2

? k) ,



k (

3

1 4

k ? 1) ? 0

又 k ? 0 , 所以 k ? 4 .
2
2

(2)设数列{an}的公差为 d,则在 S n ? ( S n ) 中分别取 k=1,2,得
? ?S1 ? (S1 ) , ? 2 ?S 4 ? (S 2 ) ?
2

? a 1 ? a 12 , ? 即? 4?3 2?1 2 d ? (2 a1 ? d) ?4 a1 ? 2 2 ?

(1) (2)

由(1)得 a 1 ? 0 或 a 1 ? 1 . 当 a 1 ? 0时 , 代入 ( 2 ) 得
d ? 0或 d ? 6,
2

若 a 1 ? 0 , d ? 0 , 则 a n ? 0 , S n ? 0 , 从而 S k ? ( S k ) 成立 若 a 1 ? 0 , d ? 6 , 则 a n ? 6 ( n ? 1), 由 S 3 ? 18 , ( S 3 ) ? 324 , S n ? 216 知
2

s 9 ? ( S 3 ) , 故所得数列不符合题意.
2

当 a 1 ? 1时 , 代入 ( 2 ) 得

4 ? 6 d ? ( 2 ? d ) , 解得 d ? 0 或 d ? 2
2

若 a 1 ? 1, d ? 0 , 则 a n ? 1, S n ? n , 从而 S k ? ( S k ) 成立 ;
2
2

若 a 1 ? 1, d ? 2 , 则 a n ? 2 n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n , 从而 S ? ( S n ) 成立 .
2 2

综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,…; ②{an} : an=1,即 1,1,1,…; ③{an} : an=2n-1,即 1,3,5,…,


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