nbhkdz.com冰点文库

第一课时 空间向量与平行、垂直关系


立体几何中的 向量方法
第一课时 空间向量与平行、垂直关系

【课标要求】
1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能 运用它们证明平行问题和垂直问题. 2.能用向量语言表述线线,线面,面面的平行关 系和垂直关系.

课前预习

栏 目 导 航

课堂探究

> 课前预习
【实例】 (1)如图(1)所示,直线 l∥m,在直线 l 上取两点 A,B,在直线 m 上取两点 C,D. (2)如图(2)所示,直线 l⊥平面 α ,直线 l∥m,在 直线 m 上取向量 n.

图(1)

图(2)

(3)如图(3)所示,直线 l∥平面 α ,直线 l 的方 向向量为 a,平面 α 的法向量为 n. (4)如图(4)所示,平面 α ∥平面 β ,平面 α 的 法向量为 m,平面 β 的法向量为 n.

图(3)

图(4)

(5)如图(5)所示,直线 l⊥平面 α ,直线 l 的方向向 量为 a,平面 α 的法向量为 n. (6)如图(6)所示,平面 α ⊥平面 β ,平面 α 的法向 量为 n,平面 β 的法向量为 m.

图(5)

图(6)

直线的方向向量和平面的法向量
1:(1)在实例图(1)中,向量 有怎样的关系? ( ∥ ) 与向量

(2)在实例图(2)中,向量 n 与平面 α 有怎样的关系? (∵l⊥α ,l∥m,∴m⊥α ,故 n⊥α )

1:(1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的 向量,一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线 l⊥α ,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫 做平面 α 的法向量.

【质疑探究 1】 (1)在空间直角坐标系中,如何求平 面的法向量? (①当已知平面的垂线时,在垂线上取一非零向量即 可作为平面的法向量. ②当已知平面 α 内两不共线向量 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)时,常用待定系数法求法向量:

?a ? n ? 0, 设法向量 n=(x,y,z),由 ? ?b ? n ? 0,

?a1x ? a2 y ? a3 z ? 0, 得? ?b1x ? b2 y ? b3 z ? 0,

在上述方程组中,对 x、y、z 中的任一个赋值,求 出另两个,所得 n 即为平面的法向量. 利用上述方法求解平面 α 的法向量时,方程组

?n ? a ? 0, 有无数多个解,只需给 x,y,z 中的一个 ? ?n ? b ? 0
变量赋一个特殊值,即得平面 α 的一个法向量,赋 的值不同,所得平面的法向量就不同,但它们是共 线向量)

(2)已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1), C(3,-2,0),怎样求平面 α 的一个法向量? (① =(1,-2,-4), =(2,-4,-3),

②设平面 α 的一个法向量 n=(x,y,z), ③则

? x ? 2 y ? 4 z ? 0, ? ?2 x ? 4 y ? 3z ? 0. ?

解得 x=2y,z=0, ④令 y=1,则可得 n=(2,1,0))

空间平行关系的向量表示
2:(1)在实例图(3)中,向量 a 与向量 n 的关系是怎样的? (a⊥n) (2)在实例图(4)中,向量 m 与向量 n 的关系是怎 样的? (m∥n)

2:(1)线线平行 设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2), 则 l∥m?a∥b?a=λ b?a1=λ a2,b1=λ b2,c1=λ c2(λ ∈R). (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量为 u=(a2,b2,c2),则 l∥α ?a⊥u?a·u=0?a1a2+b1b2+c1c2=0. (3)面面平行 设平面 α ,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2), 则 α ∥β ?u∥v?u=λ v?a1=λ a2,b1=λ b2,c1=λ c2(λ ∈R).

【质疑探究 2】 如何用向量法证明平行关系(线线、 线面、面面平行)?
平行 关系 线线 平行 用向量法证平行关系的思路与方法 设直线 l1、 l2 的方向向量分别是 a、 b,则要证 明 l1∥l2,只需证明 a∥b,即 a=kb(k∈R) (1)设直线 l 的方向向量是 a,平面 α 的法向 量是 u,则要证明 l∥α ,只需证明 a⊥u,即 a·u=0; 线面平行 (2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向 量与已知直线的方向向量是共线向量即可 ; (3)证明一条直线 l 与一个平面 α 平行,只需 证明 l 的方向向量能用平面 α 内两个不共线 向量线性表示 (1)转化为相应的线线平行或线面平行 ; 面面平行 (2)求出平面 α ,β 的法向量 u,v,证明 u∥v 即可说明 α ∥β 备注

(

(1)用向量法证线面 平行时 ,需说明直线 不在平面内 ; (2)方法中既可用向 量的线性运算 ,也可 以用坐标运算

)

1:已知直线 l 的方向向量 u=(2,0,-1),平 面 α 的法向量为 v=(-2,1,-4),则 l 与 α 的位置关系 为 . 解析:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0. ∴l∥α 或 l ? α . 答案:平行或 l 在平面 α 内

空间垂直关系的向量表示
3:(1)在实例图(5)中,向量 a 与向量 n 的关系是怎样的? (a∥n) (2)在实例图(6)中,向量 m 与向量 n 的关系是怎 样的? (m⊥n)

3:(1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,a2,a3),直线 m 的方向向量 为 b=(b1,b2,b3),则 l⊥m?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0. (2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量是 u=(a2,b2,c2),则 l⊥α ?a∥u?a=λ u?a1=λ a2,b1=λ b2, c1=λ c2(λ ∈R). (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u=(a1,b1,c1),平面 β 的法向量 v=(a2,b2,c2),则 α ⊥β ?u⊥v?u·v=0? a1a2+b1b2+c1c2=0.

【质疑探究 3】 如何用向量法证明垂直关系(线线、 线面、面面垂直)?
垂直 关系 线线 垂直 用向量法证明垂直关系的思路和方法 设 l1、l2 的方向向量分别为 a,b,则要证 明 l1⊥l2,只需证 a⊥b,即证 a·b=0 (1)设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的 法向量为 u,则要证 l⊥α ,只需证 a∥u; (2)根据线面垂直的判定定理 ,转化为证 线面 垂直 明线与面内的两条相交直线都垂直 ,即 设 a,b 在平面 α 内 (或与平面 α 平行), 且 a 与 b 不共线 ,直线 l 的方向向量为 c,且 l⊥α ? c⊥a 且 c⊥b ? a ·c=0 且 b·c=0 面面 垂直 (1)根据面面垂直的判定定理 ,将面面垂 直转化为证线面垂直、线线垂直 ; (2)证明两个平面的法向量垂直 证明 a⊥b,即证 a·b=0,在 用该结论证垂直关系时,可 根据题目的特点 ,选用向量 的线性运算或坐标运算 备注

(

)

2:若平面 α 的法向量 u=(2,-3,0),直线 l 的方向向量 a=(8,-12,0),则直线 l 与平面 α 的位置 关系为 . 解析:∵a=(8,-12,0),u=(2,-3,0),∴a=4u,∴a∥u. ∴l⊥α . 答案:垂直

利用空间向量证明平行问题
【例 1】 如图所示,在正方体
ABCD A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD. 名师导引:怎样证明 MN∥平面 A1BD?(建立坐标系,求平面 A1BD 的法向量 n,然后再证 ⊥n 即可)

证明:法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,
1? ?1 ? ? 则可求得 M ? 0,1, ? ,N ? ,1,1? , 2? ?2 ? ?

D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 于是
?1 1? = ? ,0, ? , ?2 2?

=(1,0,1),

=(1,1,0),

设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z), 则 n· =0,且 n·

? x ? z ? 0, =0,得 ? ? x ? y ? 0.

取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). 又

?1 1? ·n= ? ,0, ? ·(1,-1,-1)=0, ?2 2?
⊥n.又 MN ? 平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.



法二 ∵

=
1 = ( 2

-

=

1 2 1 )= 2

-

1 2

,





,而 MN ? 平面 A1BD,DA1?平面 A1BD,

∴MN∥平面 A1BD.

利用向量法证明几何中的平行问 题可以通过两条途径实现,一是利用三角形法则 和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得 到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标 系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平 行关系的证明.

跟踪训练 1 1:(2013 浙江师附大高 二检测)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、 B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 AMN∥ 平面 EFDB. 解:如图所示,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系. 设正方体棱长为 a,则 A(a,0,0),A1(a,0,a),D1(0,0,a), B1(a,a,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).

?a ? ? a ? ?a ? ? a ? ∴N ? ,0, a ? ,M ? a, , a ? ,E ? , a, a ? ,F ? 0, , a ? . ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ?



? a ? = ? ? ,0, a ? , ? 2 ? ? a ? = ? 0, , a ? , ? 2 ?

?a a ? = ? , ,0 ? , ?2 2 ?

=(a,a,0),

设平面 AMN 与平面 EFDB 的法向量分别为 m=(x1,y1,z1) 和 n=(x2,y2,z2),则

? a ? x1 ? 0 ? y1 ? az1 ? 0, ? ? 2 ∴? ? a x ? a y ? 0 ? z ? 0. 1 1 1 ? 2 2 ?

∴y1=-x1=-2z1,取 z1=1, ∴平面 AMN 的一个法向量为 m=(2,-2,1), 同理由 可得 x2=-y2,y2=-2z2,

令 z2=1,∴平面 EFDB 的一个法向量为 n=(2,-2,1). ∴m=n,∴m∥n,∴平面 AMN∥平面 EFDB.

利用空间向量证明线线垂直 问题
【例 2】 已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长都为
1,M 是底面上 BC 边的中点,N 是侧
1 棱 CC1 上的点,且 CN= CC1. 4

求证:AB1⊥MN.

名师导引:(1)在正三棱柱中建立坐标系,应该怎样 建?(取 AB 的中点 O,A1B1 的中点 O1,可以 O 为坐标原 点,以 AB 所在直线为 x 轴,以 OC 所在直线为 y 轴,以 OO1 所在直线为 z 轴建立坐标系) (2)怎样证明 AB1⊥MN?(可以通过证明 来证 AB1⊥MN) 证明:法一 设 =a, =b, =c,则由已知条件 · =0

和正三棱柱的性质,得 |a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0,

=a+c, =b+ ∴
1 c, 4

1 = (a+b), 2

=

-

=-

1 1 1 a+ b+ c, 2 2 4

·

1 1 ? ? 1 = ?a ? c? · ? ? a ? b ? c ? 2 4 ? ? 2
1 1 1 =- + cos 60°+0-0+0+ 2 2 4

=0. ∴ ⊥ ,

∴AB1⊥MN.

法二 设 AB 中点为 O, 作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点,建立如图 所示的空间直角坐标系.由 已知得

? 1 ? ?1 ? A ? ? ,0,0 ? ,B ? ,0,0 ? , ? 2 ? ?2 ?
? 3 ? ? 3 1? 0, ,0 0, , C? ,N ? ? ? 2 ? ? 2 4? ?, ? ? ? ?

?1 ? B1 ? ,0,1? , ?2 ?

∵M 为 BC 中点, ?1 3 ? ∴M ? ? 4 , 4 ,0 ? ?. ? ? ∴ ∴
? 1 3 1? =? ?? 4, 4 ,4? ?, ? ?

=(1,0,1),

·

1 1 =- +0+ =0. 4 4





,

∴AB1⊥MN.

怎样利用空间向量证明线线垂直问题? (用向量法证明空间两条直线相互垂直,主要思路是证 明两直线的方向向量相互垂直,具体方法为: (1)坐标法:根据图形的特征,建立恰当的直角坐标系, 准确地写出相关点的坐标,表达出两直线的方向向量, 证明其数量积为零. (2)基向量法:利用向量的加减法运算,结合图形,将要 证明的两直线所在的向量用基向量表达出来,利用数量 积运算说明两向量的数量积为 0)

跟踪训练 2 1:在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB,BC 的中点,求证:A1F⊥C1E. 证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角 坐标系,则 A1(a,0,a),
? a ? ?a ? C1(0,a,a),E ? a, ,0 ? ,F ? , a,0 ? . ? 2 ? ?2 ?

∴ ∴

? a ? = ? ? , a, ?a ? , ? 2 ?

a ? ? = ? a, ? , ?a ? , 2 ? ?

·

=-

1 2 1 2 2 a - a +a =0,所以 2 2



,因此 A1F⊥C1E.

(注:本题也可不建系,把 后证明 · =0)



分别用基底{

,

,

}表示,然

利用空间向量证明线面垂直 问题
【例 3】 如图所示,在
棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的中 点,求证:A1O⊥平面 GBD.

名师导引:怎样证明 A1O⊥平面 GBD?(法一:取基底 { , · , =0, },表示出向量 · =0 即可. , =0) , 的坐标,然后再 , , ,然后证

法二:建立坐标系,求出 证 · =0, ·

证明:法一 设 =a,

如图所示, =b, =c,

则 a·b=0,b·c=0,a·c=0, 而 = =
1 + ( 2

+ +
1 )=c+ (a+b), 2

= =

+

=b-a,
1 = ( 2

+

)+

1 c = (a+b)- , 2 2



·

1 1 ? ? = ? c ? a ? b ? ·(b-a) 2 2 ? ?
1 =c·(b-a)+ (a+b)·(b-a) 2

=c·b-c·a+

1 (b-a)(b+a) 2

1 2 2 = (|b| -|a| )=0. 2

同理可证:

·

=0,

所以 A1O⊥BD,A1O⊥OG, 又 BD∩OG=O, 所以 A1O⊥平面 GBD.

法二 如图所示,以点 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), A1(2,0,2),G(0,2,1),O(1,1,0), 所以 =(-1,1,-2),

=(2,2,0), =(0,2,1), 则 · 所以 · =(-1,1,-2)·(2,2,0)=0, =(-1,1,-2)·(0,2,1)=0, ⊥ , ⊥ ,即 A1O⊥DB,A1O⊥DG,又 DB∩DG=D,

故 A1O⊥平面 BDG.

法三 以点 D 为坐标原点,DA、 DC、 DD1 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2), G(0,2,1),O(1,1,0), 所以 =(-1,1,-2), =(2,2,0), =(0,2,1).

设向量 n=(x,y,z)为平面 BDG 的一个法向量, 则 n⊥ ,n⊥ .

即 n·

=0,n·

=0,

?2 x ? 2 y ? 0, 所以 ? ?2 y ? z ? 0,
令 x=1,则 y=-1,z=2, 所以 n=(1,-1,2),所以 所以 A1O⊥平面 BDG. =-n,即 ∥n,

如何用向量法证线面垂直?(用向量法 证明线面垂直主要有以下两种方法: (1)基向量法,操作步骤是①设出基向量,用基向量表 示直线所在的向量;②找出平面内两条相交的向量,并 分别用基向量表示;③利用数量积运算分别计算直线 的方向向量与平面内的两相交向量. (2)坐标法:其操作步骤是:①建立坐标系;②将直线 的方向向量用坐标表示;③求出平面的法向量;④证明 平面的法向量与直线的方向向量平行.)

跟踪训练 3 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中证明 BD1⊥平面 ACB1.

证明:以 D 为原点,分别以 DA,DC, DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系(如图). 设正方体棱长为 1. 则 A(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1) D1(0,0,1),B(1,1,0).



=(-1,-1,1), =(-1,1,0), =(0,1,1),

由 ·

·

=1-1+0=0, =0-1+1=0,

∴BD1⊥AC 且 BD1⊥AB1, 又 AC∩AB1=A,∴BD1⊥平面 ACB1.

利用空间向量证明面面垂直 问题
【例 4】 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 是棱 BC 的中
点,试在棱 CC1 上求一点 P,使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE. 名师导引:如何利用空间向量,在棱 CC1 上求点 P,使平 面 A1B1P⊥平面 C1DE?(通过平面 A1B1P 与平面 C1DE 的法 向量,去求两法向量数量积为 0,求出 P 点坐标)

解:如图所示,以 D 为原点,直线 DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,| |=a,则

P(0,1,a)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、

?1 ? E ? ,1,0 ? 、C1(0,1,1), ?2 ?
=(0,1,0), =(-1,1,a-1), =(0,1,1).

?1 ? = ? ,1,0 ? , ?2 ?

设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则
? ? y1 ? 0, ?? ? ?? x1 ? y1 ? ? a ? 1? z1 ? 0,

令 z1=1,得 x1=a-1, ∴n1=(a-1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则
?1 ? x2 ? y2 ? 0, ? ?2 ? y2 ? z2 ? 0, ?

? x2 ? 2 z2 , ∴? 令 z2=1 得 n2=(2,-1,1), ? y2 ? ? z2 ,
要使平面 A1B1P⊥平面 C1DE,则 n1·n2=0,
1 即 2(a-1)+0+1=0,解得 a= . 2

即 P 是 CC1 的中点, 所以当 P 是 CC1 的中点时,平面 A1B1P⊥平面 C1DE.

利用空间向量证明面面垂直通常可以 有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面 面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二 是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直 , 从而得到两个平面垂直.

【备选例题】
【例 1】 如图在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为 BB1 的
中点,F 为 CD 的中点,G 为 AB 的中点.

求证:平面 ADE⊥平面 A1GF.

证明:法一 以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,设正方体棱长为 1.
? 1? ∴D(0,0,0),E ?1,1, ? ,A(1,0,0), ? 2? ? 1 ? ? 1 ? A1(1,0,1),G ?1, ,0 ? ,F ? 0, ,0 ? . ? 2 ? ? 2 ?



1? ? = ? 0,1, ? , 2? ? ? 1 ? = ? 0, , ?1? , ? 2 ?

=(-1,0,0).



·

1 1 =0+ - =0, 2 2

· ∴ ⊥

=0+0+0=0, , ⊥ ,

又 A1G∩GF=G, ∴AE⊥平面 A1GF. ∵AE?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 A1GF.

法二 建立坐标系如法一. 设平面 AED 的法向量为 n=(x1,y1,z1). 平面 A1GF 的法向量为 m=(x2,y2,z2). 则 n⊥ ∴ 取 z1=2,则 n=(0,-1,2). 由 m⊥ ,m⊥ 得 ,n⊥ ,

取 z2=1 得 m=(0,2,1). ∵m·n=0-2+2=0,∴m⊥n. ∴平面 ADE⊥平面 A1GF.

【例 2】 如图所示,正方体
ABCD A1B1C1D1 中,M、N 分别为 AB、B1C 的中点.试判断 MN 与平面 A1BD 的位置 关系. 解:设正方体的棱长为 1,以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所 在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系 Dxyz, 则 B(1,1,0),A1(1,0,1),
? 1 ? ?1 1? M ?1, ,0 ? ,N ? ,1, ? , ? 2 ? ?2 2?



=(1,0,1),

=(1,1,0),

? 1 1 1? = ?? , , ? , ? 2 2 2?

设平面 A1BD 的一个法向量为 n0=(x,y,z), 则

? x ? z ? 0, 即? ? x ? y ? 0.

取 x=1,则 y=z=-1, ∴n0=(1,-1,-1). ∴n0=-2 ,即 n0∥ .

∴MN⊥平面 A1BD.

点击进入课后作业


空间向量与平行垂直关系

空间向量与平行垂直关系_数学_高中教育_教育专区。静宁二中“一·三·九课题”结构...三.收获了什么完成模块测评课时作业 ——— 我主动,我参与,我体验,我...

第1课时 空间向量与平行关系

向量的方法证明空间中的平行关系导学案 一、复习 1.直线的方向向量 直线的方向...B1D1H 知识点三 利用向量方法证明垂直关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,...

空间向量证明平行和垂直位置关系教案

空间向量证明平行垂直位置关系教案_数学_高中教育_教育专区。北京市第九十四中学...日 《空间向量与立体几何》 §4.平行垂直的证明(1 课时) 知识与技能: 1....

空间向量与平行、垂直关系

空间向量与平行垂直关系_数学_高中教育_教育专区。空间向量在立体几何中的应用 平行与垂直 1.设平面 α 的法 向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-...

空间向量巧解平行、垂直关系

空间向量巧解平行垂直关系_数学_高中教育_教育专区。高中数学 编稿老师 空间向量巧解平行垂直关系 刘咏霞 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 郑建彬 一、考点突破...

2013-2014学年高中数学 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1

2013-2014 学年高中数学 3.2 第 1 课时 空间向量与平行垂直关系 知能演练 理(含解析)新人教 A 版选修 2-1 1.直线 l 的方向向量,平面 α 的法向量...

空间向量平行与垂直关系练习

空间向量平行与垂直关系练习_数学_高中教育_教育专区。1 空间向量平行与垂直关系...→→→ [点评] 第(2)问可求出CD=(1,1,0),CA1=(2,0,-2),BC1=(0...

空间向量与平行、垂直关系

空间向量与平行垂直关系_数学_高中教育_教育专区。[学业水平训练] 1.已知平面 α 的一个法向量是 n=(1,1,1),A(2,3,1),B(1,3,2),则直线 AB 与平...

空间向量与垂直关系-课时作业24(解析版)

3.2第2课时空间向量与垂直... 1页 免费喜欢此文档的还喜欢 空间向量与空间角-课时作业... 14页 2财富值 空间向量与平行关系-课时作... 7页 2财富值 3....

空间向量与垂直关系

1/2 相关文档推荐 《空间向量与垂直关系》 46页 1下载券 空间向量与平行、...3.2第2课时空间向量与垂... 50页 免费 3.2第2课时空间向量与垂... 1页...