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2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十三 空间线面位置关系的推理与证明

时间:2014-01-15


专题十三 空间线面位置关系的推理与证明

1.如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.

[来源:学&科&网]

求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A

1F∥平面 ADE. 证明 所以 CC1⊥平面 ABC, 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1, CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE,所以 A1F∥平面 ADE. (1)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱,

本问题主要以解答题的形式进行考查, 重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明, 而 且一般是这个解答题的第一问.

首先要学会认识几何图形,有一定的空间想象能力,对 照着已知条件逐一判断.其次 要熟悉相关的基本定理和基本性质, 要善于把空间问题转化为平面问题进行解答. 高考试题 一般是利用直线与平面平行或垂直的 判断定理和性质定理,以及平面与平面平行或垂直的

判定定理和性质定理, 把空间中的线线位置关系、 线面位置关系和面面位置关系进行相互转 化, 这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握, 并在相应的题目中用相 应的数学语言进行准确的表述.

必备知识 ?平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行, 而直线与平面平行又可转化为直线 与直线平行,所以要注意转化思想的 应用,以下为三种平行关系的转化示意图.

?解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (2)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面. (3)一条直线与两平行平面中的一个相交,那么它与另一个也相交. (4)平行于同一条直线的两条直线平行. (5)平行于同一个平面的两个平面平行 . (6)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交线平行.

?垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图.

在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平 面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面, 当题目中有面面垂直的条件时, 一般都要 用此定理进行转化. 必备方法 1.证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理,将分析法与综合 法综合起来考虑. 2.证明面面平行、垂直时,常转化为线面的平行与垂直,再转化为线线的平行与垂直. 3.使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题. 4.正向思维受阻时,可考虑使用反证法.

5.计算题应在计算中融入论证,使证算合一,逻辑严谨.通常计算题是经过“作图、 证明、说明、计算”等步骤来完成的,应不缺不 漏,清晰、严谨.

空间点、线、平面之间的位置关系 此类问题涉及的知识面较广,综合性较强,常考查空间线线、线面、面面位置关系的判 定与性质,考查学生分析、解决问题的能力,难度中档. 【例 1】? 如图所示,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠ 1 1 BAD=∠FAB=90° ,BC 綉 AD,BE 綉 AF,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 要证明四边形 BCHG 是平行四边形, 只要证明 GH 綉 BC 或 GB 綉 HC 即可; 要证明 C,D,E,F 共面,可通过证明四边形 CDEF 中至少有一组对边平行或两边的延长 线相交即可. 1 (1)证明 由题意知,FG=GA,FH=HD,所以 GH 綉 AD. 2 1 又 BC 綉 AD,故 GH 綉 BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形. 2 (2)解 C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綉 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綉 GF,所以 EF 綉 BG. 2 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面.又点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、 F、E 四点共面.

法二 由题设知 FA,AB,AD 两两互相垂直,如图,以 A 为坐标原点,以射线 AB 为 x 轴正方向,以射线 AD 为 y 轴正方向,以射线 AF 为 z 轴正方向,建立直角坐标系 Axyz. (1)证明 设 AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得 A( 0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0), D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c), H(0,b,c). → → → → 所以GH=(0,b,0),BC=(0,b,0),于是GH=BC. 又点 G 不在直线 BC 上,所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)解 C,D,F,E 四点共面. 理由如下: → → 由题设知 F(0,0,2c),所以EF=(-a,0,c),CH=(-a,0,c), → → EF=CH,又 C?EF,H∈FD,故 C,D,E,F 四点共面. 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法: (1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和 性质定理逐项判断来解决问题; (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结 合有关定理,肯定或否定某些选项,并作出选择. 【突破训练 1】 给出下列关于互不相同的直线 m,l,n 和平面 α,β 的四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是________(填序号). 解析 ③中 l∥m 或 l,m 异面,所以③错误,其他正确. 答案 ①②④ 线线、线面位置关系 此类问题多以多面体为载体,求证线线、线面的平行与垂直,在解答题中往往作为第一 问,难度一般不大,适当添加辅助线是解题的常用方法,考查学生灵活应用线线、线面的平

行与垂直的相互转化能力. 【例 2】 如图所示, 正三棱柱 A1B1C1ABC 中, 点 D 是 BC 的中点, BC= 2BB1, 设 B1D∩BC1 =F.求证:

(1)A1C∥平面 AB1D; (2)BC1⊥平面 AB1D. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系,第(1)问可利用“线 线平行”或“面面平行”,第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”.

证明

(1)连接 A1B,设 A1B 与 AB1 交于 E,连接 DE.

∵点 D 是 BC 中点,点 E 是 A1B 中点, ∴DE∥A1C,∵A1C?平面 AB1D, DE?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (2)∵△ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵平面 ABC⊥平面 B1BCC1, 平面 ABC∩平面 B1BCC1=BC,AD?平面 ABC, ∴AD⊥平面 B1BCC1, ∵BC1?平面 B1BCC1,∴AD⊥BC1. ∵点 D 是 BC 的中点,BC= 2BB1,∴BD= ∵ BD CC1 2 = = ,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. BB1 BC 2 2 BB1. 2

∴∠BDB1=∠BC1C. ∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90° . ∴BC1⊥B1D.因为 B1D∩AD=D,

∴BC1⊥平面 AB1D. 将立体几何问题转化为平面几何问题,是解决立体几何问题的很好途径,其 中过特殊点作辅助线,构造平面是比较常用的方法.当然,记住公式、定理、概念等基础知 识是解决问题的前提. 【突破训练 2】如

图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB =2AD ,AD=A1B1,∠BAD=60° .证明: (1)AA1⊥BD; (2)CC1∥平面 A1BD. 证明

(1)因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,所以 BD⊥D1D, 取 AB 的中点 G,连接 DG, 在△ABD 中,由 AB=2AD 得, AG=AD, 又∠BAD=60° ,所以△ADG 为等边三角形. 因此 GD=GB,故∠DBG=∠GDB, 又∠AGD=60° ,所以∠GDB=30° , 故∠ADB=∠ADG+∠GDB=60° +30° =90° 所以 BD⊥AD.又 AD∩D1D=D, 所以 BD⊥平面 ADD1A1,又 AA1?平面 ADD1A1 , 故 AA1⊥BD. (2)连接 AC,A1C1,设 AC∩BD=E,连接 EA1,

因为四边形 ABCD 为平行四边形,

1 所以 EC= AC, 2 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知, A1C1∥EC 且 A1C1=EC, 所以四边形 A1ECC1 为平行四边形, 因此 CC1∥EA1, 又因为 EA1?平面 A1BD,CC1?平面 A1BD, 所以 CC1∥平面 A1BD.

面面位置关系 此类问题多以多面体为载体, 结合线线、 线面的位置关系, 涉及的知识点多, 综合性强, 通常考查面面位置关系的判定及性质,考查学生的推理论证能力. 【例 3】? 如图所示,

在四棱锥 PABCD 中,△PAB 为正三角形,且面 PAB⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是直角 π 梯形,且 AD∥BC,∠BCD= ,AD=1,BC=2,E 为棱 PC 的中点. 4 (1)求证:DE∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PBC. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可,也可转化 为经过这条直线的平面和已知平面平行;(2)证明面面垂直,只需在一个平面内找到另一个 平面的垂线. (1)证明 如图所示,取线段 BC 的中点 F,连接 EF、FD. 在△PBC 中,E、F 分别为 PC、CB 的中点,∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中,F 为 CB 的中点, 1 ∴BF= BC=1. 2

又∵AD∥BC,且 AD=1, ∴AD 綉 BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形, ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD=F,PB∩BA=B, ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE?平面 EFD, ∴DE∥平面 PAB. (2)证明 在直角梯形中,CB⊥AB, 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB∩平面 ABCD=AB,

∴CB⊥平面 PAB. ∵CB?平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PAB.
[来源:学科网]

解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”, 即面面问题退证为 线面问题,再退证为线线问题,充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系. 【突破训练 3】如图,

在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 证明

(1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD, PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° , 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平 面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 平面图形的折叠问题 此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体,并以此为载体考查线线、线面、面面位 置关系及有关计算.考查学生的知识迁移能力和空间想象能力,难度较大.

1 【例 4】如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP,D 是 AP 的 2 中点,E、F 分别为 PC、PD 的中点,将△PCD 沿 CD 折起得到四棱锥 PABCD.

(1)G 为线段 BC 上任一点,求证:平面 EFG⊥平面 PAD; (2)当 G 为 BC 的中点时,求证:AP∥平面 EFG. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)转化为证 EF⊥平面 PAD; (2)转化为证平面 PAB∥平面 EFG. 证明 (1)在直角梯形 ABCP 中,

1 ∵BC∥AP,BC= AP,D 为 AP 的中点, 2 ∴BC 綉 AD,又 AB⊥AP,AB=BC, ∴四边形 ABCD 为正方形. ∴CD⊥AP,CD⊥AD,CD⊥PD. 在四棱锥 PABCD 中,∵E,F 分别为 PC、PD 的中点, ∴EF∥CD、EF⊥AD,EF⊥PD. 又 PD∩AD=D、PD?面 PAD、AD?面 PAD. ∴EF⊥面 PAD. 又 EF?面 EFG,∴面 EFG⊥面 PAD. (2)法一 ∵G、F 分别为 BC 和 PC 中点,∴GF∥BP, ∵GF?面 PAB,BP?面 PAB,∴GF∥面 PAB. 由(1)知,EF∥DC,∵AB∥DC,∴EF∥AB, ∵EF?面 PAB,AB?面 PAB,∴EF∥面 PAB. ∵EF∩GF=F,EF?面 EFG,GF?面 EFG. ∴面 EFG∥面 PAB.∵PA?面 PAB,∴PA∥面 EFG. 法二 取 AD 中点 H,连接 GH、HE. 由(1)知四边形 ABCD 为平行四边形, 又 G、H 分别为 BC、AD 的中点,∴GH∥CD. 由(1)知,EF∥CD,∴EF∥GH.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

∴四点 E、F、G、H 共面. ∵E、H 分别为 PD、AD 的中点,∴EH∥PA. ∵PA?面 EFGH,EH?面 EFGH,
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

∴PA∥面 EFGH,即 PA∥面 EFG. (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量, 一般情 况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决 问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形, 也要分析折叠前的图形. 【突破训练 4】 如图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60° ,AB=2,AD=4.将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EBD⊥平面 ABD.

(1)求证:AB⊥DE; (2) 求三棱锥 EABD 的侧面积. (1) 证 明 在 △ ABD 中 , ∵ AB = 2 , AD = 4 , ∠ DAB = 60°, ∴ BD =

AB2+AD2-2AB· ADcos∠DAB=2 3. ∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD. 又∵平面 EBD⊥平面 ABD, 平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB?平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD.又∵DE?平面 EBD,∴AB⊥DE. (2)解 由(1)知 AB⊥BD.

∵CD∥AB,∴CD⊥BD,从而 DE⊥BD. 在 Rt△DBE 中,∵DB=2 3,DE=DC=AB=2, 1 ∴S△DBE= DB· DE=2 3. 2 又∵AB⊥平面 EBD,BE?平面 EBD,∴AB⊥BE. 1 ∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE= AB· BE=4. 2 ∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD,∴ED⊥平面 ABD, 而 AD?平面 ABD,∴ED⊥AD, 1 ∴S△ADE= AD· DE=4. 2 综上,三棱锥 EABD 的侧面积 S=8+2 3.

证明线面关系,严禁跳步作答 证明线面位置关系的基本思想是转化与化归,根据线面平行、垂直关系的判定和性质, 进行相互之间的转化,但分析问题时不能只局限在线上,要把相关的线归结到某个平面上, 通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的, 但证明线面垂直又要借助于线线垂直, 在不断 的相互转化中达到最终目的. 【示例】在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C. [满分解答]

(1)连接 BD1,如图所示,在△DD1B 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点, 则 EF∥D1B, ∵D1B?平面 ABC1D1, EF?平面 ABC1D1, ∴EF∥平面 ABC1D1.(6 分) (2)∵ABCDA1B1C1D1 为正方体, ∴AB⊥平面 BCC1B1. ∴B1C⊥AB. 又 B1C⊥BC1,AB?平面 ABC1D1, BC1?平面 ABC1D1 且 AB∩BC1=B, ∴B1C⊥平面 ABC1D1, 又∵BD1?平面 ABC1D1,∴B1C⊥BD1. 又 EF∥BD1,∴EF⊥B1C.(12 分) 老师叮咛:本题失分原因主要有两点:一是推理论证不严谨,在使用线面位 置关系的 判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件,如由 EF∥D1B 就直接得出 EF∥平面 ABC1D1; 二是线面位置关系的证明思路出错,如本题第(2)问的证明,缺乏转化的思想意识,不知道 证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的, 出现证明上的错误. 解这类问题时要注意推理严 谨,使用定理时找足条件,书写规范等. 【试一试】如图,

在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是菱形,SA⊥底面 ABCD,M 为 SA 的中点,N 为 CD 的中点.证明: (1)平面 SBD⊥平面 SAC; (2)直线 MN∥平面 SBC. 证明 (1)∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.

∵SA⊥底面 ABCD,∴BD⊥SA. ∵SA∩AC=A,∴BD⊥平面 SAC. 又∵BD?平面 SBD,∴平面 SBD⊥平面 SAC.

(2)如图,取 SB 中点 E,连接 ME,CE. ∵M 为 SA 中点, 1 ∴ME∥AB 且 ME= AB. 2 又∵ABCD 是菱形,N 为 CD 的中点, 1 1 ∴CN∥AB 且 CN= CD= AB. 2 2 ∴CN 綉 ME. ∴四边形 CNME 是平行四边形,∴MN∥CE. 又 MN?平面 SBC,CE?平面 SBC, ∴直线 MN∥平面 SBC.
[来源:学#科#网]


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