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含参数不等式恒成立问题解法探讨2011-0607


含参数不等式恒成立问题解法探讨 贾士伟 贵州省凯里市第一中学 556000 摘要: 含参数不等式恒成立问题是高考考查的一个热点, 本文力求科学而又系统地探讨这类 问题的解法. 关键词:含参数不等式,恒成立,分离参变量,转化,数形结合 在不等式综合题中常见到这种类型的题目: f ( x, a ) ? 0(或f ( x, a ) ? 0) 对任意 x ? I 恒成立,我们把这类问

题称为含参数不等式恒成立问题,其中 x 是变量, a 是参数.含参数 不等式恒成立问题是高考的一个热点,常与三角函数、数列、圆锥曲线、函数与导数等知 识结合进行考查,综合性强、技巧高,很多专家学者对此进行了深入研究,本文结合教学 实际和最新考题,力求科学而又系统地探讨这类问题的解法. 一、分离参变量 解决恒成立问题最为基本的方法是分离参数与变量,即把原不等式等价变形为 f ( x) ? a (或f ( x) ? a ) 类型,然后利用结论: f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x) min ? a ,f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x) max ? a ,进而转化为最值问题. 1、直接分离参变量 例 1、 (2010 天津)设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? [ , ??) , f ( 2 3 2 x ) ? 4m 2 f ( x ) ? m f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 . 【分析】 这道题式子结构比较复杂, 第一步想到的是化简; 其次要分清谁是参数, 谁是变量; 接着充分利用题目条件 x ? [ , ??) ,想办法把 m 与 x 分离到不等式两边,转化为标准形 式,即 f ( x) ? a (或f ( x) ? a ) 类型,这也是大多数恒成立问题的处理方法. 【解答】由题意, f ( 3 2 x ) ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 可等价变形为 m 1 2x ? 3 1 ? 2x ? 3 ? ? 4m 2 ? 1 ? ? 2 ,即有 2 ? 4m 2 ? 1 ? ? ? 2 ? . 2 m x m x ? min ? 3 2 2? ? 3 3 2x ? 3 1 1 1 8 ? ? 因为 x ? [ , ??) ,所以 ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 x 3 ? x 3? 3 ?3? ? ? ?2? 于是 1 8 3 3 ? 4m 2 ? 1 ? ? ,解得 m ? ? 或m ? . 2 m 3 2 2 【点评】在分类变量时,有时没有必要分离到不等式一边只剩 x (或 a )的程度,我们只需 要参数与变量各在不等式一边即可. 【练习 1】 (2010 山东改编)若对任意 x ? 0 , ax ? (3a ? 1) x ? a ? 0 恒成立,则 a 的取值 2 范围是 . 2 【答案】分离 a 与 x ,则 ax ? (3a ? 1) x ? a ? 0 恒成立可转化为 x ? a 恒成立. x ? 3x ? 1 2 利用均值不等式得 x 1 1 1 ? ? ? , x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 5 1 2 x? ? 3 x x 2 所以 ? x 1 1 ? ? ? ? ,故 a ? . 2 5 ? x ? 3 x ? 1 ? max 5 2 【练习 2】 (2007 湖北)已知函数 f ( x) ? 2sin ? (1)求 f ( x) 的最大值和最小值;

第七章——不等式

解法,分类讨论、换元、数形结合是解不等式的常用...(0,+∞) 题型二 解含参数的一元二次不等式问题...含参数的一元二次不等式恒成立问题 【例 3】当 ...

剖析数学高考中的恒成立问题

温江二中高 2011 级理科 剖析高考数学中的恒成立问题新课标下的高考越来越注重...要对参 数进行分类讨论,然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题...

不等式测试题及详解

地解决问题的思想意识. 在不等式恒成立问题中要...也可以直接使用分离参数的方法求解,即 ) B.(-∞,...x-2 (理)(2011· 甘肃天水一中期末)不等式 2 <...

第六章不等式

一元二次不等式的解法 2 例 1: (2011 江西)若...含参不等式解法 例 2: (1)解关于 x 的不...探究点三:含参的一元二次不等式恒成立问题 例 3...

不等式19题

题解答题(共 19 小题) 一、求参数的值或取值...恒成立问题 2 8. (2011?琼海一模)[文]已知不...考查绝对值不等式解法,函数的恒成立问题,体现了...

2011年最新高考+最新模拟——不等式

2011年最新高考+最新模拟试题(人教版)2011年最新高考...【答案】A 【解析】本题考查了不等式解法. B....值范围为( ) ,由 对任意实数 恒成立,则实数 的...

江苏省2011届高考数学一轮复习精练不等式

【命题立意】 :本题考查了含有多个绝对值号的不等式解法,需要根据绝对值的...恒成立 2 2 设 g (t ) = m + tm 2 = mt + ( m 2) ,则问题又等价...

76 不等式选讲

2011· 江苏)解不等式 x+|2x-1|<3. 探究点二 绝对值不等式恒成立问题 ...两项含有 a,要想利用条件|a|≤1,必须合并含 a 的项,从 而找到解题思路;...

基本不等式练习题及答案

3】 (2011· 宿州模拟)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立, 则实数 m 的最大值是___. 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例 3】 ?某单...

2011年高中数学复习错题诊断与练习(0)

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