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含参数不等式恒成立问题解法探讨2011-0607


含参数不等式恒成立问题解法探讨 贾士伟 贵州省凯里市第一中学 556000 摘要: 含参数不等式恒成立问题是高考考查的一个热点, 本文力求科学而又系统地探讨这类 问题的解法. 关键词:含参数不等式,恒成立,分离参变量,转化,数形结合 在不等式综合题中常见到这种类型的题目: f ( x, a ) ? 0(或f ( x, a ) ? 0) 对任意 x ? I 恒成立,我们把这类问

题称为含参数不等式恒成立问题,其中 x 是变量, a 是参数.含参数 不等式恒成立问题是高考的一个热点,常与三角函数、数列、圆锥曲线、函数与导数等知 识结合进行考查,综合性强、技巧高,很多专家学者对此进行了深入研究,本文结合教学 实际和最新考题,力求科学而又系统地探讨这类问题的解法. 一、分离参变量 解决恒成立问题最为基本的方法是分离参数与变量,即把原不等式等价变形为 f ( x) ? a (或f ( x) ? a ) 类型,然后利用结论: f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x) min ? a ,f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x) max ? a ,进而转化为最值问题. 1、直接分离参变量 例 1、 (2010 天津)设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? [ , ??) , f ( 2 3 2 x ) ? 4m 2 f ( x ) ? m f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 . 【分析】 这道题式子结构比较复杂, 第一步想到的是化简; 其次要分清谁是参数, 谁是变量; 接着充分利用题目条件 x ? [ , ??) ,想办法把 m 与 x 分离到不等式两边,转化为标准形 式,即 f ( x) ? a (或f ( x) ? a ) 类型,这也是大多数恒成立问题的处理方法. 【解答】由题意, f ( 3 2 x ) ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 可等价变形为 m 1 2x ? 3 1 ? 2x ? 3 ? ? 4m 2 ? 1 ? ? 2 ,即有 2 ? 4m 2 ? 1 ? ? ? 2 ? . 2 m x m x ? min ? 3 2 2? ? 3 3 2x ? 3 1 1 1 8 ? ? 因为 x ? [ , ??) ,所以 ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 x 3 ? x 3? 3 ?3? ? ? ?2? 于是 1 8 3 3 ? 4m 2 ? 1 ? ? ,解得 m ? ? 或m ? . 2 m 3 2 2 【点评】在分类变量时,有时没有必要分离到不等式一边只剩 x (或 a )的程度,我们只需 要参数与变量各在不等式一边即可. 【练习 1】 (2010 山东改编)若对任意 x ? 0 , ax ? (3a ? 1) x ? a ? 0 恒成立,则 a 的取值 2 范围是 . 2 【答案】分离 a 与 x ,则 ax ? (3a ? 1) x ? a ? 0 恒成立可转化为 x ? a 恒成立. x ? 3x ? 1 2 利用均值不等式得 x 1 1 1 ? ? ? , x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 5 1 2 x? ? 3 x x 2 所以 ? x 1 1 ? ? ? ? ,故 a ? . 2 5 ? x ? 3 x ? 1 ? max 5 2 【练习 2】 (2007 湖北)已知函数 f ( x) ? 2sin ? (1)求 f ( x) 的最大值和最小值;