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北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《统计与概率》(理)及答案


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 统计与概率
一、选择、填空题 1、 (东城区 2015 届高三二模)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、 乙两名同学 8 次数学测验成绩的平均数,s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标 准差,则有 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1

? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2

2、(房山区 2015 届高三一模)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长 为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ? ? 飞镖落在小正方形内的概率是 ____ .

?
6

,现在向该正方形区域内随机地投掷一支飞镖,

3、 (丰台区2015届高三上学期期末)高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状 况, 分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查, 假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样 方法合理, 则下列结论正确的是 (A)两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B)两组同学的样本平均数一定相等 (C)两组同学的样本标准差一定相等 (D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知圆 M : x 2 ? y 2 ? 4 ,在圆周上随机取一点 P,则 P 到直 线 x ? y ? 2 的距离大于 2 2 的概率为

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 5、(朝阳区 2015 届高三上学期期中)设不等式组 ? x ? 0, 表示平面区域为 D ,在区域 D ?y ? 0 ?
内随机取一点 P ,则点 P 落在圆 x ? y ? 1内的概率为
2 2

6、某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽 样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 ______.

7、下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平 均 气 温 的 范 围 是 ?20.5,26.5? , 样 本 数 据 的 分 组 为 ?20.5,21.5? ,

?21.5,22.5? , ?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? .由图中数据可知 a ?
. 频率/组距 0.26 0.22 a

;样

本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为

0.12 0.10

O

20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.5 26.5

平均气温/℃

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 8 、设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 ? y ? ?2 ?

y +2=0 的距离大于 2 的概率是
A.
4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

9、将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率 是( (A) )

2 4 1 2 (B) (C) (D) 21 63 21 63

10、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

二、解答题 1、(2015 年北京高考) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天) 记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为甲, B 组选出 的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

(Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 2、(2014 年北京高考)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立):

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一 场不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小(只需写出结论)

3、 (2013 年北京高考) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日 中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

4、(朝阳区2015届高三一模)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到 不同程度的污损,其中,频 率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),据此解 答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在 [90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

5、(东城区 2015 届高三二模)某校高一年级开设 A , B , C , D , E 五门选修课,每位同学须 彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选 A 课程,不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课 程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程. (Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率; (Ⅱ)用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求 X 的分布列和数学期望.

6、(房山区 2015 届高三一模) 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分 布直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 组的频率之比为 1: 2 : 3 , 其中第 2 组的频数为12 . (Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数; (Ⅱ) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很 多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

7、(丰台区 2015 届高三一模)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯 电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为三类 车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250, C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车型中挑选,乙 从 B,C 两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表:
概率 人 甲 乙 车型

A
1 5

B p
1 4

C q
3 4

若甲、乙都选 C 类车型的概率为 (Ⅰ)求 p , q 的值;

3 . 10

(Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 补贴金额(万元/辆)

A
3

B
4

C
5

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和 为 X,求 X 的分布列. .

8、(海淀区 2015 届高三二模)某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽 取男、女生各 20 名进行测试,记录的数据如下: 男生投掷距离(单位:米) 9 7 7 8 7 6 6 6 8 5 5 3 0 7 3 1 1 2 2 0 已知该项目评分标准为: 男 生 ? 投 掷 距 离 (米) 女 生 ? 投 掷 距 离 (米) 个 人 ? 得 分 (分) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 女生投掷距离(单位:米) 4 6 4 5 5 6 6 6 9 0 0 2 4 4 5 5 5 5 8 1

[5.4, 6.0) [6.0, 6.6) [6.6, 7.4) [7.4, 7.8) [7.8,8.6) [8.6,10.0) [10.0, ??)

[5.1,5.4) [5.4,5.6) [5.6, 6.4) [6.4, 6.8) [6.8, 7.2) [7.2, 7.6)

[7.6, ??)
~

4

5

6

7

8

9

10

注: 满 分

10 分,且得 9 分以上(含 9 分)定为“优秀”. (Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,随机抽取 2 名,求抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列; (Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况.(写出两 个结论即可)

9、(石景山区 2015 届高三一模) 国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对应关系如下表: AQI 值范围 [0,50 ) [50, 100) [100,150 ) [150,200 ) [200,300 ) 300 及以上

下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据: 西部城市 西安 西宁 克拉玛依 鄂尔多斯 巴彦淖尔 库尔勒 AQI 数值 108 92 37 56 61 456 东部城市 北京 金门 上海 苏州 天津 石家庄 AQI 数值 104 42

x
114 105 93

AQI 平均值:135

AQI 平均值:90

(Ⅰ) 求 x 的值,并根据上表中的统计数据,判断东、西部城市 AQI 数值的方差的大小关系(只需写 出结果); (Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行调研, 记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

10、(西城区2015届高三一模)2014 年12 月28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计 价.具体如下表.(不 考虑公交卡折扣情况)

已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元,现从那些只乘坐四号线地铁, 且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人,试估计此 人乘坐地铁的票价小于5 元的概率; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人,记X 为这2 人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车 所花交通费也是5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里, 试写出s 的取值范围.(只需写出结论)

11、(丰台区2015届高三上学期期末)某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内 随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示, 其中样本数据分组区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (I)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (Ⅱ)如果从参加本次考试的同学中随机选取 1名同学,求 这名同学考试成绩在80分以上的概率; (Ⅲ)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这 3名同学中考试成绩在 80分以上的人数记为 X, 求X的分布列 及数学期望. (注:频率可以视为相应的概率)

12、(海淀区 2015 届高三上学期期末)某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性 别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等 5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同 学间隔的人数为 X , X 的分布列为

X

3

2

1

0

P
求数学期望 EX ;

a

b

3 10

2 5

(Ⅲ)考核的第二轮是笔试:5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105, 111,109;结合第一轮 的答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121,119. 这 5 位同学笔试成绩与考核成绩
2 2 2 2 的方差分别记为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论)

13、(西城区 2015 届高三上学期期末)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 概 (2)购买基金: 投资结果 概 (Ⅰ)当 p = 率 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 率 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%

1 2

1 8

3 8

p

1 3

q

1 时,求 q 的值; 4 4 ,求 p 的取值范围; 5

(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中 至少有一人获利的概率大于

(Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方 案中选择一种,已知 p =

1 1 , q = ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学 2 6

期望较大?给出结果并说明理由.

14、(朝阳区 2015 届高三第二次综合练习)某学科测试中要求考生从 A,B,C 三道题中任选一题 作答,考试结束后,统计数据显示共有 600 名学生参加测试,选择 A,B,C 三题答卷数如下表:

(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽出若干 份答卷,其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份,则应分别从选择 B,C 题作答的答卷 中各抽出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中,A,B,C 三题答卷得优的份数都是 2,从被抽出的 A, B,C 三题答卷中再各抽出 1 份,求这 3 份答卷中恰有 1 份得优的概率; (Ⅲ)测试后的统计数据显示,B 题的答卷得优的有 100 份,若以频率作为概率,在(Ⅰ)问 中被抽出的选择 B 题作答的答卷中,记其中得优的份数为 X,求 X 的分布列及其数学期 望 EX.

15、(通州区 2015 高三 4 月模拟考试(一))随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减 少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休”的态度,某校课 外研究性学习小组对某社区随机抽取了 50 人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄 人数 年龄 人数

?20,25?
4

?25,30?
5

?30,35?
8

?35,40?
5

?40,45?
3

?45,50?
6

?50,55?
7

?55,60?
3

?60,65?
5

?65,70?
4

年龄在 ?25,30? ,?55,60? 的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人,现从这两组的被调 查者中各随机选取 2 人,进行跟踪调查. (Ⅰ)求年龄在 ?25,30? 的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率; (Ⅱ)求选中的 4 人中,至少有 3 人赞成的概率; (Ⅲ)若选中的 4 人中,不赞成的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望

参考答案 一、选择、填空题 1、B 2、 1 ?

3 2

3、D

4、

1 4

5、

π 16

6、【答案】20 【解析】高三的人数为 400 人,所以高三抽出的人数为 7、【答案】0.18,33 8、【答案】D 【解析】不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离等于 2, 所 以 要 使 点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为

45 ? 400 ? 20 人。 900

BC ? 6, B(?2,, 0) C (4,, 0) D( ?6, ? 2),E (4, ? 2),F (4, 3) ,所以 DE ? 10,EF ? 5,
S CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 P ? ?BCF S ?DEF 1 ? 6?3 9 2 ? ? , 选 D. 1 ?10 ? 5 25 2

9、【答案】B 【解析】将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数则有
1 3 5 6 C7 ? C72 ? C7 ? C74 ? C7 ? C7 ? 27 ? 2 ? 126 种,因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 28 ,所以要使两组

中各数之和相,则有各组数字之和为 14.则有 7 ? 6 ? 1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ; 7 ? 5 ? 2 ? 6 ? 4 ? 3 ? 1 ;

7 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 2 ? 1 ;7 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ? 5 ? 3 ; 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 7 ? 6 ? 1 ;6 ? 4 ? 3 ? 1 ? 7 ? 5 ? 2 ; 6 ? 5 ? 2 ? 1 ? 7 ? 4 ? 3 ; 6 ? 5 ? 3 ? 7 ? 4 ? 2 ? 1 共 8 种,所以两组中各数之和相等的概率是
8 4 ,选 B. ? 126 63
10、【答案】C 【解析】从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?
1 1 C2 C2 4 2 ? ? ,选 C. 2 C4 6 3

二、解答题 1、解析:设事件 Ai 为“甲是 A 的第 i 个人”, 事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人” i ? 1,2,3.?7 由题意可知 P ? Ai ? ? P ?Bi ? ?

1 i ? 1,2,3.?7 7

(Ⅰ) 由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人或者第 6 人,或者 第 7 人”甲的康复时间不少于 14 天的概率是

P?A 5 ? A 6 ? A 7 ? ? P?A 5 ? ? P?A 6 ? ? P?A 7 ? ?

3 7

(Ⅱ)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”有题意知

C ? A4 B1 ? A5 B1 ? A6 B1 ? A7 B1 ? A5 B2 ?

P?C? ? P? A4 B1 ? ? P? A5 B1 ? ? P? A6 B1 ? ? P? A7 B1 ? ? P? A5 B2 ? ? P? A6 B2 ? ? P? A7 B2 ? ? P? A7 B3 ? ? P? A6 B6 ? ? P? A7 B6 ?

A6 B2 ? A7 B2 ? A7 B3 ? A6 B6 ? A7 B6

10 49 (Ⅲ) a ? 11或a ? 18 ? 10 P? A4 ?P?B1 ? ?
2、⑴ 李明在该场比赛中命中率超过 0.6 的概率有: 主场 2 主场 3 主场 5 客场 2 客场 4 所以李明在该场比赛中投篮命中超过 0.6 的概率 5 1 P? ? 10 2 3 2 ⑵ 李明主场命中率超过 0.6 概率 P ,命中率不超过 0.6 的概率为 1 ? P 1 ? 1 ? 5 5 2 3 客场中命中率超过 0.6 概率 P2 ? ,命中率不超过 0.6 的概率为 1 ? P2 ? . 5 5 3 3 2 2 13 P? ? ? ? ? 5 5 5 5 25 ⑶ E?X ? ? x. 3、解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,?,13). 根据题意,P(Ai)=

1 ,且 Ai∩Aj= ? (i≠j). 13

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8. 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=

2 . 13

(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且

4 , 13 4 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= . 13
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=
所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

5 4 13 13 5 4 4 12 故 X 的期望 EX=0× +1× +2× = . 13 13 13 13
4、

4 13

(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

5、解:(Ⅰ)设事件 A 为“甲同学选中 C 课程”,事件 B 为“乙同学选中 C 课程”.

C1 C2 2 3 2 4 则 P( A) ? 2 ? , P( B) ? 3 ? . C3 3 C5 5
因为事件 A 与 B 相互独立, 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

2 2 4 P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? ? ? . ???????4 分 3 5 15
(Ⅱ)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程”. 则 P(C ) ?

C2 3 4 ? . 3 C5 5

X 的可能取值为: 0,1, 2,3 .

1 2 2 4 P( X ? 0) ? P( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)

2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 P( X ? 3) ? P( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75
X 为分布列为: X
P

0

1

2

3

4 75

20 75

33 75

18 75

E( X ) ? 0 ?

4 20 33 18 140 28 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .???13 分 75 75 75 75 75 15

6、解:(I)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,则由条件可得:

? p2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1
解得, p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375. 又因为 p2 ? 0.25 ?

12 , 故 n ? 48 n

??????5 分

(II)由(I)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为

5 p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? , 8

? 5? ? 3? 故X服从二项分布, P? X ? k ? ? C ? ? ? ? ?8? ?8?
k 3

k

3?k

∴随机变量 X 的分布列为:

X
p

0

1

2

3

27 512

135 512

225 512

125 512

则 EX ? 0 ?

27 135 225 125 15 5 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? ,或 EX ? np ? 3 ? ? . 512 512 512 512 8 8 8
??????13 分

3 ?3 q? ? ?4 10 7、解:(Ⅰ)因为 ? ?p ? q ? 1 ?1 ? 5 ?
所以 p ?

2 2 ,q ? . 5 5

????????4 分

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A, 则 P ( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 .

5

5 4

5 4

5

答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 3 .

????????7 分

5
(Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.

1 1 1 , P( X ? 7) ? ? ? 5 4 20 2 1 2 3 2 P( X ? 9) ? ? ? ? ? ; 5 4 5 4 5
所以 X 的分布列为:

1 3 2 1 1 P( X ? 8) ? ? ? ? ? , 5 4 5 4 4 2 3 3 P( X ? 10) ? ? ? . 5 4 10
8 9 10

X P

7

1 20

1 4

2 5

3 10
????????13 分

8、解:(Ⅰ)20 名女生掷实心球得分如下: 5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10. 所以中位数为 8,众数为 9. ??????3 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2. ??????4 分

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C82 14 C12 C8 C12 33 48 ; ; ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ; ? ? ? ? 2 2 2 C20 95 C20 95 C20 95

所以抽取的 2 名男生中优秀人数 X 的分布列为:

X

0

1

2

P
(Ⅲ)略.

33 95

48 95

14 95
??????10 分 ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行 合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在 该项目的训练提出合理建议. 9、(Ⅰ)x ? 82 ??????2 分 D 东部<D 西部 ??????4 分

(Ⅱ)“优”类城市有 2 个,“轻度污染”类城市有 4 个.

根据题意 ? 的所有可能取值为: 1, 2, 3 .

??????5 分

? P(? ? 1) ?

1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? . , , 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

?11 分

? ? 的分布列为:

?
P

1
1 5

2
3 5

3

1 5
??????13 分

所以 E? ? 1? 10、

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

11、解:(I)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:

0.1? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.15 ? 95 ? 76.5

???2 分 (II)设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A.

P( A) ? 0.025 ?10 ? 0.015 ?10 ? 0.4
答:被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4. ?????6 分 (III)由(II)知,从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为

2 , 5

X 可能的取值是 0,1,2,3.

2 3 27 P( X ? 0) ? C30 ( )0 ( )3 ? ; 5 5 125 54 1 2 1 3 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? ; 5 5 125 2 3 36 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? ; 5 5 125 8 3 2 3 3 0 P( X ? 3) ? C3 ( )( ) ? . 5 5 125
X 的分布列为: X P
0 1 2 3

27 125

54 125

36 125

8 125

?????12 分

27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 所以 E ( X ) ? 0 ? 125 125 125 125 5
?????13 分 (或 X ? B (3, ) ,所以 E ( X ) ? np ? 3 ? 12、解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为

2 5

2 6 ? .) 5 5

5 5 ? 30 ? 3 ,女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50
??????4 分

(Ⅱ)由题意可得: P( X ? 3) ? 因为 a ? b ? 所以 b ?

2 3 A2 A3 1 ? . 5 A5 10

??????6 分

3 2 ? ? 1, 10 5
??????8 分

1 . 5

所以 EX ? 3 ?

1 1 3 2 ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 1 . 10 5 10 5

??????10 分

2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

??????13 分

13、(Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且 三种投资结果相互独立, 所以 p +

1 + q =1. 3

?????? 2 分

又因为 p = 所以 q =

1 , 4
?????? 3 分

5 . 12

(Ⅱ)解:记事件 A 为 “甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事 件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”, 则 C = AB U AB U AB ,且 A,B 独立. 由上表可知, P ( A) = ?????? 4 分

1 , P( B) = p . 2
?????? 5 分

所以 P(C) = P( AB) + P( AB) + P( AB)
=
=

1 ? (1 2

p) +

1 ? p 2

1 ? p 2

1 1 . + p 2 2

?????? 6 分

因为 P(C ) = 1 + 1 p > 4 , 2 2 5

3 . 5 1 又因为 p + + q = 1 , q≥0 , 3
所以 p > 所以 p≤ 2 . 3 所以 3 < p≤ 2 . 5 3

?????? 7 分

?????? 8 分

(Ⅲ)解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资股票的获利金额(单位:万元), 所以随机变量 X 的分布列为:
X

4

0

?2

P

1 2

1 8

3 8
????? 9 分

1 1 3 5 则 EX ? 4 ? ? 0 ? ? (?2) ? ? . 2 8 8 4

?????10 分

假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万元), 所以随机变量 Y 的分布列为:

Y

2
1 2

0
1 3

?1
1 6

P

????? 11 分 则 EY ? 2 ?

1 1 1 5 ? 0 ? ? (?1) ? ? . 2 3 6 6

????? 12 分

因为 EX ? EY , 所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.??? 13 分 14、解:(Ⅰ)由题意可得: 题 答卷数 抽出的答卷数 A 180 3 B 300 5 C 230 2

应分别从 题的答卷中抽出 份, 份. (Ⅱ)记事件 :被抽出的 三种答卷中分别再任取出 份,这 份答卷中恰有 份得优, 可知只能 题答案为优,依题意 . 题的答案中得优的份数 的可

(Ⅲ)由题意可知, 能取值为

题答案得优的概率为 ,显然被抽出的 ,且 .









; 随机变量 的分布列为:



所以



15、解: (Ⅰ) 设“年龄在 ?25, 30 ? 的被调查者中选取的 2 人都是赞成”为事件 A , 所以 P ? A? ?

C32 3 ? . C52 10

???????? 3 分

(Ⅱ) 设“选中的 4 人中,至少有 3 人赞成”为事件 B , 所以 P ? B ? ?
1 1 1 1 2 2 C32C2 C1 C3 C2C2 C32C2 1 ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 C5 C3 C5 C3 C5 C3 2

???????? 7 分

(Ⅲ) X 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3. 所以 P( X ? 0) ?
2 1 1 2 1 1 C32C2 C3 C2C2 ? C32C2 C1 2 1 , ? P ( X ? 1) ? ? , 2 2 2 2 C5 C3 10 C5 C3 5

2 2 1 1 1 1 2 1 1 C2 C2 ? C3 C2C2C1 13 C2 CC 1 P( X ? 2) ? ? , P( X ? 3) ? 2 2 2 1 ? . 2 2 C5 C3 30 C5 C3 15

???????? 所以 X 的分布列是

11 分

X
P

0 1 10

1 2 5

2 13 30

3

1 15
???????? 12 分

2 1 22 1 13 ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ? . 所以 EX ? 0 ? 5 15 15 10 30

???????? 13 分


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