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山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编14:导数

时间:2013-07-12


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山东省 2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 14: 导数
一、选择题 1 .【解析】山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文试题)曲线 y ? (

1 3 x ?x在 3

? 4

? ? 3? 2 A. 9

点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 B.

1 9

C.

1 3

D.

2 3

? 4? y ' ? f '( x) ? x 2 +1 ,在点 ?1, ? 的切线斜率为 k ? f '(1) ? 2 .所以切线方 ? 3? 4 2 2 1 程为 y ? ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? ,与坐标轴的交点坐标为 (0, ? ), ( , 0) ,所以三角形的 3 3 3 3 1 1 2 1 面积为 ? ? ? ? ,选 B. 2 3 3 9 2 . ( 【解析】 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 ) 若曲线 f ( x ) ? x sin x ? 1 在 ? x ? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 的值为 2
【答案】B【解析】

A.-2 C.1

B.-l D.2

【答案】D【解析】直线 ax+2y+1=0 的斜率为 ?

? ? ? ? a f '( ) ? sin ? cos ? 1 ,由 ? ? 1 ? ?1 ,解得 a ? 2 ,选 D. 2 2 2 2 2

a ,函数的导数为 f '( x) ? sin x ? x cos x ,所以 2

3 . (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)设曲线 y=

x ?1 在点(3,2)处的切线与 x ?1

直线 ax+y+3=0 垂直,则 a= A.2 B.-2 C.

?2 1 ,所以函数在 (3, 2) 的切线斜率为 k ? ? ,直线 ax+y+3=0 2 2 ( x ? 1) 1 的斜率为 ? a ,所以 ? a ? (? ) ? ?1 ,解得 a ? ?2 ,选 B. 2
【答案】 函数的导数为 y ' ? 4 .【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学)曲线 y (

1 2

D.-

1 2

? e x 在点 A 处的切线与

直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,则点 A 的坐标为

(A) ?1, e

?

?1

?

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(B) ? 0,1?

(C) ?1, e ?

(D) ? 0, 2 ?
x

【答案】 B

直线 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 1,所以切线的斜率为 1,因为 y ' ? e ,所以由

y ' ? e x ? 1 ,解得 x ? 0 ,此时 y ? e0 ? 1 ,即点 A 的坐标为 ? 0,1? ,选 B.
5 . 【 解 析 】 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 设函数 (

f ? x ? ? x3 ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1 、x2、x3,且 x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是
∵函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? ,
3
2

A. x1 ? ?1
【答案】D

B. x2 ? 0

C. x3 ? 2

D. 0 ? x2 ? 1

∴f′(x)=3x ﹣4.令 f′(x)=0,得 x=± ∵ 当 x??

.

2 3 2 3 2 3 2 3 时 , f '( x) ? 0 ; 在 (? , ) 上 , f '( x) ? 0 ; 在 ( , ??) 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 上 , f '( x) ? 0 . 故 函 数 在 (??, ? ) ) 上 是 增 函 数 , 在 (? , ) 上是减函数,在 3 3 3 2 3 2 3 2 3 ( , ??) 上是增函数.故 f (? ) 是极大值, f ( ) 是极小值.再由 f (x)的三个零点 3 3 3
为 x1,x2,x3,且 x1 ? x2 ? x3 , 得 x1<﹣ 根据 f(0)=a>0,且 f( ∴0<x2<1.选 D.
6 .【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知函数 (

,﹣ <0,得

<x2 >x2>0.

,x3>

.

)=a﹣

? x, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为 ? x ? x, x ? 0
A. [?

1 ,1] 2

B. [?

【 答 案 】 C

1 1 1 C. (? , 0) D. (? , 0] ,1) 2 4 4 由 g ( x) ? f ( x) ? m =0 得 f ( x) ? m , 作 出 函 数 y ? f ( x) 的 图

象,

,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ?

1 2

1 ? 0 ,所以要使 4

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函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则

1 1 ? m ? 0 ,即 (? , 0) ,选 C. 4 4
若 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,则

7 .【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)定义在 R 上的函数 f ( x) 的 (

导函数为 f '( x ) ,已知 f ( x ? 1) 是偶函数 ( x ? 1) f '( x ) ? 0 .

f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系是
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定

【答案】C 由 ( x ? 1) f '( x) ? 0 可知,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 函数递减.当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 函

数递增.因为函数 f ( x ? 1) 是偶函数,所以 f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , f ( x) ? f (2 ? x) ,即函数的 对 称 轴 为 x ? 1 . 所 以 若 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 若 x1 ? 1 , 则 必 有 x2 ? 2 , 则

x2 ? 2 ? x1 ? 1 , 此 时 由 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) , 即 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) , 综 上 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,选 C.
8 .(【 解 析 】 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 文 科 数 学 ) 已 知

9 2 x ? 6 x ? abc, a ? b ? c, 且f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下 2 结论:① f (0) f (1)>0 ;② f (0) f (1)<0 ;③ f (0) f (2)>0 ;④ f (0) f (2)<0 .其中正确结论 f ( x) ? x3 ?
的序号为: (A)①③
【答案】D

(B)①④
2

(C)②④
2

(D)②③

函数的导数为 f '( x) ? 3 x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 3 x ? 2) ? 3( x ? 1)( x ? 2) .则函数在

x ? 1 处取得极大值,在 x ? 2 处取得极小值,因为 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,所以函数有 3 个 9 ? 5 f (1) ? 1 ? ? 6 ? abc ? 0 ? ? ?abc ? ? 2 零 点 , 则 f (1) ? 0, f (2) ? 0 , 即 ? ,解得 ? 2 ,即 9 2 3 ?abc ? 2 ? f (2) ? 2 ? ? 2 ? 6 ? 2 ? abc ? 0 ? ? ? 2 5 2 ? abc ? , 所 以 f (0) ? ?abc ? 0 , 所 以 f (0) f (1)<0 , f (0) f (2)>0 . 所 以 选 D. 2

9 .(【 解 析 】 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 已 知

f ( x) ? a ( x ? 2a )( x ? a ? 3), g ( x ) ? 2? x ? 2 ,同时满足以下两个条件:

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① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; ② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立, 则实数 a 的取值范围是

1 1 1 1 (D) (?4, ?2) ? (? , ) , 0) (C) (?4, ?2) ? (? , 0) 2 2 2 2 【答案】C 解:由 g ( x) ? 0 ? x ? ?1 ,要使对于任意 x?R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立,则 x ? ?1 时 , f ( x) ? a ( x ? 2a )( x ? a ? 3) ? 0 恒成 立,故 a ? 0 , 且两 根 ?2a 与 a ? 3 均 比 ?1 大 ,得 ?4 ? a ? 0 ①. 因为 x ? (1, ??) )时, g ( x) ? 0 ,故应存在 x0 ? (1, ??) ,使 f(x0)>0, 1 只 要 1 ? ?2a 或 1 ? a ? 3 即 可 , 所 以 a ? ? 或 a ? ?2 ②, 由 ① 、 ② 求 交 , 得 2 1 1 ?4 ? a ? ?2或 ? ? a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (?4, ?2) ? (? , 0) ,选 C. 2 2 10.【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知函数 f ? x ? 的导 (
(A) (?4, ) (B) (??, ?4) ? (? 函 数 f ? ? x ? ? ax ? bx ? c 的 图 象 如 右 图 所 示 , 则 函 数 f ? x ? 的 图 象 可 能 是
2

1 2

【答案】 解:由导函数图象可知当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 递减,排除 A,B.又当 x ? 0 D

时, f ( x) 取得极小值,所以选 D.
11. ( 【解析】 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 已知函数 f ( x) 对定义域 R 内

的 任 意 x 都 有 f ( x) = f (4 ? x) , 且 当 x ? 2 时 其 导 函 数 f ?( x) 满 足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若

2? a ? 4则
A. f (2a ) ? f (3) ? f (log 2 a ) C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2 a )
【答案】C

B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 a ) D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

由 f ( x) = f (4 ? x) , 可 知 函 数 关 于 x ? 2 对 称 . 由 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 得

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( x ? 2) f ?( x) ? 0 , 所 以 当 x ? 2 时 , f ?( x) ? 0 , 函 数 递 增 ,所 以 当 x ? 2 时 , 函 数 递 减 .当

2 ? a ? 4 , 1 ? log 2 a ? 2 , 22 ? 2a ? 24 ,即 4 ? 2a ? 16 .所以 f (log 2 a ) ? f (4 ? log 2 a) ,所
以 2 ? 4 ? log 2 a ? 3 , 即 2 ? 4 ? log 2 a ? 3 ? 2 a , 所 以 f (4 ? log 2 a ) ? f (3) ? f (2a ) , 即

f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2a ) ,选 C.
12.【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学)定义方程 f ( x) ? f ' ( x) (

的实数根 x0 叫做函数 f (x) 的“新驻点”,若函数

g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), ? ( x) ? x 3 ? 1 的“新驻点”分别为 ?,?,? ,则 ?,?,? 的大
小关系为 A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

【 答 案 】 A 【 解 析 】 g '( x) ? 1 , 所 以 由 g (? ) ? g '(? ) 得 ?

?1 .


h '( x) ?


1 x ?1 , 所 以 由
可 知

h( ? ) ? h '( ? )



ln( ? ? 1) ?

1 ? ?1

,



0 ? ? ? 1.
3 2

. ? '( x) ? 3 x ,由 ? (? ) ? ? '(? ) 得 ? ? 1 ? 3? ,当 ? ? 0 时,
2 3 2

不成立.所以 ? ? 1 ? 3? ? 0 ,即 ? ? 1 ,所以 ? ? ? ? ? ,选 A.
13. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题)已知偶函数 f (x) 在 R

上的任一取值都有导数,且 f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f (x) 在 x ? ?5 处的切 线的斜率为 A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】D 解:由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 得 f ( x ? 4) ? f ( x), 可知函数的周期为 4,又函数 f (x) 为偶函数, 所以 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2)=f (2 ? x) ,即函数的对称轴为 x ? 2 ,所以 f (?5) ? f (3) ? f (1) ,所 以函数在 x ? ?5 处的切线的斜率 k ? f '(?5) ? ? f '(1) ? ?1 ,选 D.
14. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)函数 f(x)=1nx-

1 2 x 的图像大致是 2

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【答案】函数的定义域为

{x x ? 0} , 函 数 的 导 数 微 微 f '( x) ?

1 1 ? x2 ,由 ?x? x x

1 ? x2 1 ? x2 ? 0 得, 0 ? x ? 1 ,即增区间为 (0,1) .由 f '( x) ? ? 0 得, x ? 1 ,即减区 x x 1 间为 (1, ??) ,所以当 x ? 1 时,函数取得极大值,且 f (1) ? ? ? 0 ,所以选 B. 2 f '( x) ?
15. (【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)已知 f ′ ( x )

是函数 f ( x ) 的导函数,如果 f ′ ( x ) 是二次函数, f ′ ( x ) 的图象开口向上,顶点坐标为 (1, 3) , 那么曲线 y ? f ( x ) 上任一点处的切线的倾斜角 ? 的取值范围是

?? ? ? ? ? 2? ? ?? ? (C) ? , (D) ? ?3,2? ? ? 3 ,?? ? ?2 3 ? ? ? 2 2 【答案】 B 由题意知 f '( x) ? a ( x ? 1) ? 3, ( a ? 0) ,所以 f '( x ) ? a ( x ? 1) ? 3 ? 3 ,即 ?? ? ? tan ? ? 3 ,所以 ? , ? ,选 B. ?3 2?
(A) ? 0,

? ?

?? ? 3?

(B)

16 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 数 学 文 试 题 ) 若 (

1 ( ? 上是减函数,则 b 的取值范围是 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2) 在 ?1, ?) 2 ( ? ( ?) ? A. ?? 1, ? ? B. ?1, ?) C. ? ?, 1] D. ? ?, 1 ( ? b ( ? 【答案】 C【解析】函数的导数 f '( x) ? ? x ? ,要是函数在 ?1, ?) 上是减函数,则 x?2 b b ( ? 恒成立,即 f '( x) ? ? x ? ? 0 ,在 ?1, ?) ? x ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 2 ? 1 ? 0 , x?2 x?2 2 2 即 b ? x( x ? 2) 成 立 . 设 y ? x( x ? 2) , 则 y ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 , 因 为 x ? ?1 , 所 以 y ? ?1 ,所以要使 b ? x( x ? 2) 成立,则有 b ? ?1 ,选 C. 17.【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)已知函数 y ? f ( x ) 的图象关 ( 于 y 轴对称,且当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立 0.2 a=(2 )· f (20.2 ), b ? (1og? 3) · f (1og? 3), c ? (1og 3 9) · f (1og3 9) ,则 a,b,c 的大小关系
是 A. (

b?a?c

) B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

D. a ? c ? b

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【 答 案 】 A 因 为 函 数 y ? f ( x ) 关 于 y 轴 对 称 , 所 以 函 数 y ? xf ( x ) 为 奇 函 数 . 因 为

[ xf ( x)]' ? f ( x ) ? xf '( x ) , 所 以 当 x ? ( ??, 0) 时 , [ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ? 0 , 函 数 y ? xf ( x) 单 调 递 减 , 当 x ? (0, ??) 时 , 函 数 y ? xf ( x) 单 调 递 减 . 因 为

1 ? 20.2 ? 2 , 0 ? 1og? 3 ? 1 , 1og3 9 ? 2 ,所以 0 ? 1og? 3 ? 20.2 ? 1og3 9 ,所以 b ? a ? c ,选 A.
二、填空题 18. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 函数 y ? ln x ? x 2 的极值点为

____________.

1 1? 2x 2 【答 案】 【答案】 函数的定义域为 (0, ??) ,函数的导数为 y ' ? ? 2 x ? ,由 x x 2 1 ? 2x2 2 2 2 ,当 x ? 时, y ' ? 0 ,当 0 ? x ? 时, y ' ? 0 ,所以当 y' ? ? 0 ,解得 x ? x 2 2 2 2 2 时,函数取得极大值,所以函数的极值点为 . x? 2 2
2

19 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 数 学 文 试 题 ) 若 函 数 (

f ( x) ? x 3 ? 3 x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是____________.
【答案】 ?2, 2) 【解析】 由 (

f ( x) ? x 3 ? 3x ? a ? 0 ,得 f '( x) ? 3 x 2 ? 3 ,当 f '( x) ? 3 x 2 ? 3 ? 0 ,

得 x ? ?1 ,由图象可知 f极大值 (?1)=2 ? a,f极小值 (1)=a ? 2 ,要使函数 f ( x) ? x 3 ? 3 x ? a 有 三个不同的零点,则有 f极大值 (?1)=2 ? a ? 0, f极小值 (1)=a ? 2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 (?2, 2) .
20. 【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文) 已知函数 (

f ? x ? 的定义域为

? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图像如图所示

若函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点,则 a 的取值范围为__________.
【答案】 [1, 2) 【解析】由导数图象可知,当 ?1 ?

x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f '( x) ? 0 ,函数递增. 当 0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 时 , f '( x) ? 0 , 函数 递减 .所以 在 x ? 2 处 ,函 数取得 极小 值 . 由

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y ? f ? x? ? a ? 0 得 f ? x? ? a .

由图象可知,要使函数

y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点,由图象可知 1 ? a ? 2 ,所以 a 的取值范围为 1 ? a ? 2 ,即 [1, 2) .
21. ( 【解析】 山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学) 已知 f ( x) ? x ? 2 xf ' (1) ,
2

则 f ' (0) ? __________. 【 答 案 】 -4 【 解 析 】 函 数 的 导 数 为 f '( x ) ? 2 x ? 2 f '(1) , 所 以 f '(1) ? 2 ? 2 f '(1) , 解 得

f '(1) ? ?2 ,所以 f ( x) ? x 2 ? 4 x ,所以 f '( x) ? 2 x ? 4 ,所以 f '(0) ? ?4 .
三、解答题 22. ( 【解析】 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学) 已知函数

f ( x) ? (ax 2 ? x ? 1)e x ,

其中 e 是自然对数的底数, a ? R . (1)若 a ? 1 ,求曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f (x) 的图象与函数 g ( x) ? 实数 m 的取值范围.
【答案】解:(1)因为

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求 3 2

f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x ,
x 2 x 2 x

所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e ? ( x ? x ? 1)e ? ( x ? 3 x)e , 所以曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0

? (2) f ( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax ? x ? 1)e ? [ax ? (2a ? 1) x]e ,
x 2 x 2 x

1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 2a ? 1 当0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 所以 f (x) 的单调递减区间为 (??,0] , [? ,??) ; a 2a ? 1 单调递增区间为 [0,? ] a 1 1 ②若 a ? ? , f ?(x) ? ? x 2 e x ? 0 ,所以 f (x) 的单调递减区间为 (??,??) . 2 2
①若 ?

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③若 a ? ? 当?

2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a

2a ? 1 1 ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a

所以 f (x) 的单调递减区间为 (??,? 单调递增区间为 [?

2a ? 1 ,0] a 2 x (3)由(2)知, f ( x) ? ( ? x ? x ? 1)e 在 (??,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增,在 [0,??)
上单调递减, 所以 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ?

2a ? 1 ] , [0,??) ; a

3 ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . e

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2 当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g (x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 1 故 g (x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ? ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6
由 g ( x) ? 因为函数 f (x) 与函数 g (x) 的图象有 3 个不同的交点,

? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) 3 1 ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 e 6 ? f (0) ? g (0) ?? 1 ? m ?
23 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2 (Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f (x) 在区间[0,1]上的最大值. f ( x) ?
【答案】解:(Ⅰ)因为 f ' ( x) ? x ? ( 2a ? 1) x ? ( a ? a ) ? ( x ? a )[ x ? ( a ? 1)]
2 2

令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

( ? ?,a )
+ Z

a
0 极大值

(a, a ? 1)
]

a ?1
0 极小值

(a ? 1,??)
+ Z

f (x)
所以 a ? 1

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(由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略))

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4 因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线, 2a ? 1 2 1 所以 f ' ( x) ? ( x ? ) ? ? k 无实数解 2 4 只要 f ' ( x) 的最小值大于 k 1 所以 k ? ? 4 (Ⅲ)因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立 1 所以当 x ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a 2 ? 6 当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a ) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 在 x ? (a,1)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 1 1 所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ? a 3 ? a 2 3 2 当 a ? 0 时,在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递减 所以当 x ? 0 , f (x) 取得最大值 f (0) ? 0 当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 1 又 f (0) ? 0, f (1) ? a 2 ? , 6 6 1 当 ?1 ? a ? 时, f (x) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a 2 ? 6 6 6 当? ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 当a ? ? 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6
(Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ? 综上所述,

6 1 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a 2 ? 6 6 1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2 6 当a ? ? 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6
当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ?

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当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

24.【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学(文)试题)某分公司经销某种品 (

牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管 理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为

k (e 为自 ex

然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为 40 元时,该产品一年的销售量为 500 万件.经物 价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元,最高不超过 41 元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值. 参考公式:
【答案】

25 . 【 解 析 】 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

1 ? 2ax(a ? 0) . x (1)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?
(2)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性;

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(3)若对任意的 a ? ? ?3, ?2 ? , x1 , x2 ? ?1,3? , 恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立, 求实数 m 的取值范围
【答案】解:(1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 ln x ?

2x ?1 1 ? 0 ,解得 x ? 2 x 2 ? 1? ?1 ? ∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ?? ? 上是增函数 ? 2? ?2 ? ?1? ∴ f ? x ? 的极小值为 f ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ?2? 2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 (2) f ? ? x ? ? ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) x x x2 x2 ? 1? ? 1 ? ?1 1? ①当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ? , ?? ? 上是减函数,在 ? , ? ? 上是增函数; ? 2? ? a ? ?2 a? ②当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数;
由 f ?? x? ?

1 2 1 2x ?1 , f ?? x? ? ? 2 ? ( x ? 0). x x x x2

1? ?1 ? ? ? 1 1? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数 a? ?2 ? ? ? a 2? (3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数,
③当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 3 由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ? ?3, ?2 ? , x1 , x2 ? ?1,3? 恒成立,
∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ? ∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 即 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 即 m ? ?4 ?
max

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3a 13 2 38 13 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? 3 3a 9 3
26 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 数 学 文 试 题 ) 函 数 (

f ( x) ?

1 1 1 ? 2? 3; x x x
? ? 1? ?

(1)求 y ? f (x) 在 ?? 4, ? 上的最值; ? 2

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(2)若 a ? 0 ,求 g ( x) ?
【答案】

1 2 a ? 2 ? 3 的极值点 x x x

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27 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 (

f ( x) ? x 2 ? ax ? 1nx, a ? R .
(1)若 a=0 时,求函数 y ? f ( x) 在点(1, f ( x) )处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 , 是否存在实数 a,当 x ? (0, e](e 是自然对数的底)时,函数 g ( x) 的最 小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
【答案】

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28.【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题) (

设 f ( x ) ? e ( ax ? x ? 1 ) .
x 2

(I)若 a>0,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)x =1 时, f ( x ) 有极值,证明:当 ? ∈[0,
【答案】

? ]时, | f (cos ? ) ? f (sin ? )|? 2 2

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29.【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)已知函数 (

f ? x ? ? x ln x .

(I)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 在区间 ? e 2 , ?? ? 上为增函数,求 a 的取值范围; ? ? (II)若对任意 x ? ? 0, ?? ? , f ? x ? ?
【答案】

? x 2 ? mx ? 3 恒成立,求实数 m 的最大值. 2

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30. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)设函数 f(x)=m(x ?

1 )-21nx,g(x)= x

2e (m 是实数,e 是自然对数的底数). x
(1)当 m=2e 时,求 f(x)+g(x)的单调区间; (2)若直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且与函数 f(x)的图象相切于点(1,0),求 m 的值.

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【答案】

31. 【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题) 已知函数 (

f ? x ? ? ? ax ? x ? 1? e .
2 x

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(I)若曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)当 a ? 0 时,是否存在实数 m 使不等式 mx ? 1 ? ? x ? 4 x ? 1和2 f ? x ? ? mx ? 1 对任意
2

x ? ? 0, ?? ? 恒成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由
【答案】

32 . 【 解 析 】 山 东 省 青 岛 一 中 2013 届 高 三 1 月 调 研 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? 3 x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? c ,求实数 c 的
最小值; (3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
【答案】解答:(1)?

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 3

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根据题意,得 ? 解得 ?

? f (1) ? ?2, ? f ?(1) ? 0,

即?

?a ? b ? 3 ? ?2, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,

?a ? 1, ?b ? 0.

? f ( x) ? x 3 ? 3 x.

(2)令 f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 f(1)=-2, f (?2) ? ?2, f (2) ? 2 ?当x ? [?2, 2] 时, f ( x) max ? 2, f ( x) min ? ?2. f(-1)=2, 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x) max ? f ( x) min |? 4 所以 c ? 4. 所以 c 的最小值为 4 3 (3)设切点为 ( x0 , y0 ), 则y0 ? x0 ? 3 x0
2 ? f ?( x0 ) ? 3 x0 ? 3 , 2 ? 切线的斜率为 3 x0 ? 3.

则 3 x0 ? 3 ?
2

3 x0 ? 3x0 ? m x0 ? 2

3 2 即 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 ,

因为过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线
3 2 所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解

即函数 g ( x) ? 2 x ? 6 x ? 6 ? m 有三个不同的零点,
3 2

则 g ?( x) ? 6 x ? 12 x.
2

令 g ?( x) ? 0, 解得x ? 0或x ? 2.

x
g ?( x)
g ( x)

(??, 0)
+

0 0 极大值

(0,2) —

2 0 极小值

(2,+∞) +

? g (0) ? 0 ?? ? g (2) ? 0

即?

?6 ? m ? 0 ,∴ ? 6 ? m ? 2 m?2?0 ?

33. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 已知函数

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 , f ( x) 在

点 (3, f (3)) 处的切线方程为 12 x ? 2 y ? 27 ? 0 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)若对任意的 x ? ?1, ?? ? , f ?( x) ? k ln x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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9 9 ,∴ 27 a ? 9b ? ? ① 2 2 2 f ?( x) ? 3ax ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27a ? 6b ? ?6 ② 1 1 ①②联立,解得 a ? ? , b ? 3 2 1 1 ∴ f ( x) ? ? x3 ? x 2 3 2 2 (Ⅱ) f ?( x)= ? x ? x ,∴ ? x 2 ? x ? k ln x 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立;
【答案】解:(Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ?

即 x 2 ? x ? k ln x ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 恒成立; 设 g ( x) ? x ? x ? k ln x , g (1) ? 0 ,
2

∴只需证对任意 x ? ?1, ?? ? 有 g ( x) ? g (1)

k 2x2 ? x ? k ? , x ? ?1, ?? ? x x 2 设 h( x ) ? 2 x ? x ? k , 1 【D】1.)当 ? =1 ? 8k ? 0 ,即 k ? 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 8 g ( x) 在 ?1, ?? ? 单调递增,∴ g ( x) ? g (1) g ?( x) ? 2 x ? 1 ?
【D】2.)当 ? =1 ? 8k ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x2 ?

1 时,设 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? x ? k ? 0 的两根且 x1 ? x2 8

1 ,可知 x1 ? 1 ,分析题意可知当 x2 ? 1 时对任意 x ? ?1, ?? ? 有 g ( x) ? g (1) ; 2 ∴ k +1 ? 0, k ? ?1 1 ∴ ?1 ? k ? 8 综上分析,实数 k 的取值范围为 ? ?1, ?? ?
34 . 【 解 析 】 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e x . (I)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间 x?m (Ⅱ)若不等式 g ( x) ? 有解,求实数 m 的取值菹围; x (Ⅲ)证明:当 a=0 时, f ( x) ? g ( x) ? 2 .
【答案】

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35 . 【 解 析 】 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 (

f ( x) ? ax 2 ? 21nx, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底.

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(1)若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 a>

1 x , g ( x) ? ?5 ? 1n ,若存在 x1 , x2 ? (0, e] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) <9 成立,求 a 的 2 e a

取值范围.
【答案】

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36 . 【 解 析 】 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 ( a ) 函 数 ( )

f ( x) ? x1nx ? ax 2 ? x?a ? R ? . (I)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围;
(III)求证: 1n(2 ? 3 ? ... ? 2013)
1 1007

? 2013 .

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【答案】

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37.(【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)设函数

2 ? a ln x (a ? R ) . x (Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性. f ( x) ? x ?
【答案】

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38 . 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试 数 学 文 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? ln x ? ax(a ? R)
(1)求 f (x) 的单调区间;

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(2) 若 a ? 1, b ? 0 , 函 数 g ( x) ?

1 3 bx ? bx , 若 对 任 意 的 x1 ? (1,2) , 总 存 在 x2 ? (1,2) , 使 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.
【答案】(1)略

39 . 【 解 析 】 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 5 月 适 应 性 练 习 ( 一 ) 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

f(x)=ax-

2a -61nx 在 x=2 处取得极值. x

(1)求实数 a 的值; x (2)g(x)=(x-3)e -m(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ), 若 对 任 意 x1∈(0,2),x2∈[2,3], 总 有 f(x1)-g(x2)≤0 成立,求实数 m 的取值范围.

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【答案】

40.【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )已知函数 f ( x ) ? ln x ? (

a . x

(I)若 a>0,试判断 f ( x ) 在定义域内的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在[1,e]上的最小值为

3 ,求 a 的值; 2

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(III)若 f ( x ) ? x 在(1,+ ? )上恒成立,求 a 的取值范围 【答案】解 (I)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2
2

x x

x

∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 x+a (II)由(I)可知,f′(x)= 2 .

x

①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去) 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数, a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ,∴a=- (舍去) e 2 2 ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,∴a=- e. 2 综上所述,a=- e (Ⅲ)∵f(x)<x2,∴ln x- <x2. 又 x>0,∴a>xln x-x3 令 g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2, 2 1 1-6x h′(x)= -6x= .

a x

x

x

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. g(x)<g(1)=-1, ∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立
41.【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知函数 (

f ( x) ? a ( x 2 ? 1) ? ln x .
(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 a ? (?4,?2) 及 x ? [1,3] 时,恒有 ma ? f ? x ? ? a 成立,求实数 m 的取值范围.
2

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1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0) x x ①当 a ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上是增函数;
【答案】解: (Ⅰ)

f ?( x) ? 2ax ?

②当 a ? 0 时,当 0 ? x ? 当x ?

?

1 1 ) 上是增函数; 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0, ? 2a 2a

?

1 1 ,??) 上是减函数 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 ( ? 2a 2a 1 ) 上是增函 2a

综上,当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数;当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ?

1 ,??) 上是减函数 2a (Ⅱ)由题意知对任意 a ? ?? 4,?2 ? 及 x ? ?1,3?时,
数, f (x) 在 ( ?
2

恒有 ma ? f ? x ? ? a 成立,等价于 ma ? a 2 ? f ? x ?max 因为 a ? ?? 4,?2 ? ,所以

2 1 1 ? ? ? ?1 4 2a 2 由(Ⅰ)知:当 a ? ?? 4,?2 ? 时, f (x) 在 ?1,3?上是减函数 所以 f ( x) max ? f (1) ? 2a
所以 ma ? a 2 ? 2a ,即 m ? a ? 2 因为 a ? ?? 4,?2 ? ,所以 ? 2 ? a ? 2 ? 0 所以实数 m 的取值范围为 m ? ?2
42 . 【 解 析 】 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 校 际 联 考 数 学 ( 文 ) 设 函 数 ( )

1 2 x - ax - 2a 21nx(a 0). 2 (1)当 a=l 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (1 f (1)) 处的切线方程; f ( x) =
(2)若 f ( x) ? a 对 x ? (0,
2

) 恒成立,求实数 a 的取笸范围.

【答案】

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43. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)已知 P ? x, y ? 为函数

y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? .

1? 3? t (II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? 恒成立,求实数 t 的取值范围. x ?1 1 ? ln x 【答案】解:(Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ? ,x?0 x ln x ? 1 ? ln x ?? 所以 f ? ? x ? ? ? ? ?? 2 x ? x ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

(I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

? ?

? ?

1? ? ( m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1, 1 ?m ? 3 ? 1 3 ? ?2 ? 即实数 m 的取值范围是 ? , 1? ?3 ?

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? x ? 1??1 ? ln x ? t 得t ? x x ?1 x ? 1??1 ? ln x ? ? 令 g ? x? ? x x ? ln x 则 g? ? x ? ? x2
(Ⅱ)由 f ? x ? ? 令 h ? x ? ? x ? ln x 则 h? ? x ? ? 1 ?

+? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,
所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0 ,

1 x ?1 = x x

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, +?

g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2?
44 . 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 2(1 ? a ) ln( x ? 1) x ? (1,??) . 3 (1) x ? 是函数的一个极值点,求 a 的值; 2 (2)求函数 f (x) 的单调区间; a ? 2 时 , 函 数 g ( x) ? ? x 2 ? b, (b ? 0) , 若 对 (3) 当 ?1 ? m1 , m2 ? ? ? 1, e ? 1? , | g (m2 ) ? f (m1 ) |? 2e 2 ? 2e 都成立,求 b 的取值范围. ?e ? 2 【答案】解:(1)函数 f ( x) ? x ? 2(1 ? a ) x ? 2(1 ? a )1n( x ? 1) 2(1 ? a ) , f ?( x) ? 2 x ? 2(1 ? a ) ? x ?1 3 ? x ? 是函数的一个极值点 2 3 ? f ?( ) ? 0 2 3 解得: a ? 2 2(1 ? a ) 2 x( x ? a ) (2)? f ? ? 2 x ? 2(1 ? a ) ? ? x ?1 x ?1 又 ? f (x)的定义域是( , ?) 1? ?当a ? 1时,函数f(x)的单调增区间为( , ?) 1? 当a?1时,( ,a)为减区间,(a,??)为增区间 1
(3)当 a=2 时,由(2)知 f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.





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1 1 ? f (2) ? 0, f ( ? 1) ? 2 , f (e ? 1) ? e 2 ? 3 e e ?1 1 ? y ? f ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域[0, e 2 ? 3] e 1 ? g ( x) ? ? x 2 ? b在[ ? 1, e ? 1]为减函数 e 1 1 ? y ? g ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域为[? e ? 1 2 ? b,?( ? 1) 2 ? b] ( ) e e ? b>0 1 ? ?( ? 1) 2 ? b? 0,?(e ? 1) 2 ? b? 0 e

所以 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 2e 2 ? 2e成立,只要

e 2 ? 3 ? (?e ? 1) 2 ? b) ? e 2 ? 3 ? (e ? 1) 2 ? b ? 2e 2 ? 2e ? 2 ? b? 2e 2 ? 2e成立即可
解得:0<b<2
45 . 【 解 析 】 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 设 函 数 (

1 f ( x) ? mx 3 ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 ( I )若函数 y ? g ( x ) 图象恒过定点 P,且点 P 在 y ? f ( x) 的图象上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x) ,讨论 F ( x) 的单调性; ? f ( x), x ? 1 (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G ( x) ? ? ,曲线 y ? G ( x ) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 1
使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在 y 轴上?如果存 在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)令 ln x ? 0 ,则 x ? 1 ,即函数 y ? g ( x ) 的图象恒过定点 P(1,0), 1 则 f (1) ? m ? (4 ? m ) ? 0,? m ? ?3. 3 (Ⅱ) F ( x ) ? mx 2 ? 2(4 ? m) x ? 8ln x ,定义域为 (0, ??) ,
F ?( x ) ? 2mx ? (8 ? 2m ) ? 8 2mx 2 ? (8 ? 2m) x ? 8 = x x

(2mx ? 8)( x ? 1) . x ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? 0, ? 当 m ? 0 时, 2mx ? 8 ? 0, F ?( x ) ? 0, 此时 F ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,

=

当 m ? 0 时,由 F ?( x ) ? 0 得 0 ? x ? ? 由 F ?( x ) ? 0 得 x ? ?
4 , m

4 , m

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此时 F ( x ) 在 (0, ? 在 (?

4 ) 上为增函数, m

4 , ??) 为减函数, m 综上当 m ? 0 时, F ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数, 4 4 m ? 0 时,在 (0, ? ) 上为增函数,在 ( ? , ??) 为减函数, m m 3 2 ?? x ? x , x ? 1, (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知 G ( x ) ? ? ?a ln x, x ? 1.

假设曲线 y ? G ( x ) 上存在两点 P 、 Q 满足题意,则 P 、 Q 两点只能在 y 轴两侧 设 P(t , G (t ))(t ? 0) ,则 Q ( ?t , t 3 ? t 2 ), ? ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, ??? ???? ? ?OP ? OQ ? 0,??t 2 ? G (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0. ① (1)当 0 ? t ? 1 时, G (t ) ? ?t 3 ? t 2 , 此时方程①为 ?t 2 ? ( ?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 . 此方程无解,满足条件的 P 、 Q 两点不存在 (2)当 t ? 1 时, G (t ) ? a ln t ,方程①为 ?t 2 ? a ln t ? (t 3 ? t 2 ) ? 0, 1 即 ? (t ? 1) ln t , a 1 设 h(t ) ? (t ? 1) ln t (t ? 1) ,则 h?(t ) ? ln t ? ? 1, t 显然当 t ? 1 时 h?(t ) ? 0 即 h(t ) 在 (1, ??) 上为增函数, ? h(t ) 的值域为 ( h(1), ??) ,即 (0, ??) , 1 ? ? 0,? a ? 0. a 综上所述,如果存在满意条件的 P 、 Q ,则 a 的取值范围是 a ? 0
46 . 【 解 析 】 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 检 测 文 科 数 学 ) 已 知 函 数 (

1 f ( x) ? 1nx ? ax 2 ? 2 x 2 (1)若函数 f ( x) 在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; 1 1 (3)若 a ? ? 时,关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数 2 2
b 的取值范围.
【答案】

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47. ( 【解析】 山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试 (数学文) 解析) 已知函数 f ? x ? ?

a ? x ? 1? x2

,

其中 a ? 0 .

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ? x ? 的切线,求实数 a 的值; (III)设 g ? x ? ? x ln x ? x f ? x ? ,求 g ? x ? 在区间 ?1, e ? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的底
2

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数)
【答案】

48.【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学)设函数 f ( x) ? ln x ? ax . (

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 值.

1 , g ( x) ? x( f ( x) ? 1), ( x>1) ,且 g ( x) 在区间 (k , k ? 1) 内存在极值,求整数 k 的 2

1 1 ? ax . ?a ? x x 当 a≤0 时, f ?( x)>0, 函数 f ( x) 在 (0, ??) 内单调递增; 1 当 a>0 时,由 f ?( x)>0, 得 1 ? ax>0, ∴ 0<x< ; a 1 由 f ?( x)<0, 得 1 ? ax<0, ∴ x> . a
【答案】解:(Ⅰ)由已知 x>0, f ?( x) ?

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∴ f ( x) 在 (0, ) 内单调递增,在 ( , ??) 内单调递减.

1 a

1 a

1 1 1 时, g ( x) ? x( f ( x) ? 1) ? x(ln x ? x ? 1) ? x ln x ? x ? x 2 ( x> 1) 2 2 2 ∴ g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> 1), 令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? x ? 2( x> , 1) 1 则 F ?( x) ? ? 1<0, ∴ F ( x) 在 (1, ??) 内单调递减. x ∵ F (1) ? 1>0, F (2) ? ln 2>0, F (3) ? g ?(3) ? ln 3 ? 3 ? 2 ? ln 3 ? 1>0, F (4) ? g ?(4) ? ln 4 ? 4 ? 2 ? ln 4 ? 2<0. ∴ F ( x) 即 g ?( x) 在(3,4)内有零点,即 g ?( x) 在(3,4)内存在极值. 又∵ g ( x) 在 (k , k ? 1) 上存在极值,且 k ? z ,∴k=3.
(Ⅱ)当 a ?


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