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对称式与轮换对称式 部分完善


竞赛专题
-------对称式与轮换对称式 对称式与轮换对称式
1. 基本概念 【定义 1】一个 n 元代数式 f ( x1,x2, ,xn ) ,如果交换任意两个字母的位置后,代数 】 ,都有 式不变,即对于任意的 i,j ( 1 ≤ i < j ≤ n )

f ( x1, ,xi, ,x j, ,xn ) = f ( x1, ,

x j, ,xi, ,xn )
那么,就称这个代数式为 n 元对称式,简称对称式。 高中定义:如果对 n 元多项式 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 的变数字母的下标集{1,2,…,n}

施行任意一个置换后, f ( x1 , x2 ,L, x n ) 都不改变,那么就称 f ( x1 , x2 ,L, x n ) 为一个

n 元对称多项式.
例如, x + y,xy,

x+ y ,x 2 + y 2 + z 2,xy + yz + zx 都是对称式。 xy

如果 n 元对称式是一个多项式,那么称这个代数式为 n 元对称多项式。 由定义 1 知,在对称式中,必包含任意交换两个字母所得的一切项,例如,在对称多项 式 f ( x,y,z ) 中 , 若 有 ax 项 , 则 必 有 ay 3,az 3 项 ; 若 有 bx 2 y 项 , 则 必 有 bx z ,
3 2

by 2 z,by 2 x,bz 2 x,bz 2 y 项,这些项叫做对称式的同形项,同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义,可以写出含 n 个字母的对称多项式的一般形式,例如,含有三 个字母 x,y,z 的二次对称多项式的般形式是:

a ( x 2 + y 2 + z 2 ) + b( xy + yz + zx) + c( x + y + z ) + d
【定义 2】如果一个 n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式 】 为 n 元 r 次齐次多项式。 由定义 2 知, 元多项式 f ( x1,x2, ,xn ) 是 r 次齐次多项式, n 当且仅当对任意实数 t 有

f (tx1,tx2, ,txn ) = t r f ( x1,x2, ,xn ) 。
例如,含三个字母的三元三次齐对称式为:

a ( x3 + y 3 + z 3 ) + b( x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y ) + cxyz 。
【定义 3】一个 n 元代数式 f ( x1,x2, ,xn ) ,如果交换任意两个字母的位置后,代数 定义 】 式均改变符号,即对于任意的 i,j (1 ≤ i < j ≤ n ) ,都有

f ( x1, ,xi, ,x j, ,xn ) = ? f ( x1, ,x j, ,xi, ,xn )
1

那么就称这个代数式为 n 元交代式。 例如, x ? y, ? y )( y ? z )( z ? x), (x

x? y 均是交代式。 x+ y

【定义 4】如果一个 n 交代数式 f ( x1,x2, ,xn ) ,如果将字母 x1,x2, ,xn 以 x2 代 定义 】

x1 , x3 代 x2, ,xn 代 xn ?1,x1 代 xn 后代数式不变,即 f ( x1,x2, ,xn ) ≡ f ( x2,x3, ,xn,x1 )
那么称这个代数式为 n 元轮换对称式,简称轮换式。 显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如, a ( x 2 + y 2 + z 2 ) 是对 称式也是轮换式; b( x 2 y + y 2 z + z 2 x) 是轮换式,但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质: 对称式、交代式、轮换式之间有如下性质: (1)两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式; (2)两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式; (3)同字母的对称式与交代式的积、商是交代式; (4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式; (5)多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。 【定义 5】下面 n 个对称多项式称为 n 元基本对称多项式。 定义

σ 1 ( x1,x2, ,xn ) = ∑ xi
i =1

n

σ 2 ( x1,x2, ,xn ) =
… … …

1≤ i < j ≤ n



n

xi x j

σ k ( x1,x2, ,xn ) =
… … …

1≤i1 <i2 <



n

< ik ≤ n

xi1 xi2

xik

σ n ( x1,x2, ,xn ) = x1 x2

xn

例如,二元基本对称多项式是指 x + y,xy ,

2

三元基本对称式是指 x + y + z,xy + yz + zx,xyz 当你学完了高等代数的时候就会知道, 任何一个 n 元对称多项式都可以表示为基本对称 多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。

2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用 在本讲里主要介绍二元和三元的情形,对于多元的情形,只需作类似的处理即可。 下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧 (1)若 f ( x,y,z ) 是对称式,则在解题中可设 x ≤ y ≤ z 。 (为什么?) (2)若 f ( x,y,z ) 是对称式,则当 x,y 满足性质 p 时, x,z;y,z 也满足性质 p 。 (3)若 f ( x,y,z ) 是轮换式,则在解题中可设 x 最大(小) ,但不能设 x ≤ y ≤ z 。 (为 什么?) (4)若 f ( x,y,z ) 是轮换式,且 x,y 满足性质 p ,则 y,z;z,x 也满足性质 p 。 (5)若 f ( x,y,z ) 是交代多项式,则 x ? y,y ? z,z ? x 是 f ( x,y,z ) 的因式,即 其中 g ( x,y,z ) 是对称式。

f ( x,y,z ) = ( x ? y )( y ? z )( z ? x) g ( x,y,z )
其中 g ( x,y,z ) 是对称式。 在利用对称式作因式分解时,齐次对称多项式,齐次轮换对称多项式,齐次交代多项式 是常用的。 齐次对称多项式的一般形式: (1)二元齐次对称多项式 一次: a ( x + y ) , 二次: a ( x 2 + y 2 ) + bxy 三次: a ( x 3 + y 3 ) + bxy ( x + y ) (2)三元齐次对称多项式 一次: a ( x + y + z ) 二次: a ( x 2 + y 2 + z 2 ) + b( xy + yz + zx ) 三次: a ( x 3 + y 3 + z 3 ) + b ? x 2 ( y + z ) + y 2 ( z + x ) + z 2 ( x + y ) ? + cxyz ? ? 判定 mx + ny + rz 是否为多项式 f ( x, y , z ) ,的因式的方法是:令 mx + ny + rz = 0 ,计

3

算 f ( x,y,z ) ,如果 f ( x,y,z )=0 ,那么 mx + ny + rz 就是 f ( x,y,z ) 的因式,在实际 操作时,可首先考虑 mx + ny + rz 的如下特殊情形:

x,x + y,x ? y,x + y + z,x ? y + z
【例 1】 :已知多项式 f ( x,y,z ) = xy ( x ? y ) + yz ( y ? z ) + zx( z ? x )
2 2 2 2 2 2

(1)求证: f ( x,y,z ) 是齐次式; (2)求证: f ( x,y,z ) 是轮换式; (3)求证: f ( x,y,z ) 是交代式; (4)分解因式 f ( x,y,z ) 。

(4)∵

f ( x,y,z ) 是交代多项式,∴

( x ? y )( y ? z )( z ? x ) 是它的因式。又因为

f ( x,y,z ) 是 4 次齐次式,所以它还有一个一次对称式因式 x + y + z 。
于是, f ( x,y,z ) 可表示为

【例 2】 :分解因式 f ( x,y,z ) = x3 + y 3 + z 3 ? 3 xyz 。

4

【例 3】 :分解因式 f ( x,y,z ) = 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ? ( x 4 + y 4 + z 4 ) 。

【例 4】 :分解因式 f ( x,y,z ) = ( x + y + z )5 ? x 5 ? y 5 ? z 5

5

【例 5】 :分解因式 f ( x, y ) = x 4 + y 4 + ( x + y ) 4 。

【例 6】 :分解因式

( y 2 ? z 2 )(1 + xy )(1 + xz ) + ( z 2 ? x 2 )(1 + yz )(1 + yx) + ( x 2 ? y 2 )(1 + zx)(1 + zy ) 。

6

故 f ( x, y, z ) = ( x ? y )( y ? z )( z ? x )( xyz + x + y + z )

对称式与轮换对称式练习题 对称式与轮换对称式练习题: 练习
1.已知 f ( x,y,z ) = ( x ? y )5 + ( y ? z )5 + ( z ? x)5 (1)求证: f 为 5 次齐次式; (3)求证: f 为交代式; 2.分解因式
2 2 2 2 2 (1) f ( x,y ) = ( x + xy + y ) ? 4 xy ( x + y )

(2)求证: f 为轮换式; (4)分解因式 f 。

(2) f ( x,y,z ) = ( x + y + z ) 4 + x 4 + y 4 + z 4 ? ( y + z ) 4 ? ( z + x ) 4 ? ( x + y ) 4 (3) f ( x,y,z ) = ( x ? y ) + ( y ? z ) + ( z ? x )
3 3 3

(4) f ( x,y,z ) = ( xy + yz + zx )( x + y + z ) ? xyz (5) f ( x,y,z ) = x
4

( y ? z ) + y4 ( z ? x) + z4 ( x ? y )
7

(6) f ( x,y,z ) = ( x + y + z ) ? x ? y ? z
3 3 3

3

(7) f ( x,y,z ) = x + y + z ? x y + z
3 3 3 2

(

2

)? y(z
2

2

+ x 2 ) ? z ( x 2 + y 2 ) + 2 xyz
2

(8) f ( x,y,z ) = x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3 xyz
2 2 2 2

(9) f ( x,y,z ) = x

2

( y + z ) + y 2 ( z + x ) + z 2 ( x + y ) ? ( x3 + y 3 + z 3 ) ? 2 xyz
2

(10) f ( a,b,c,d ) = ( bcd + cda + dab + abc ) ? ( bc ? ad )( cd ? ab )( db ? ac )

练习答案与提示: 练习答案与提示:
1. 5( x ? y )( y ? z )( z ? x)( x 2 + y 2 + z 2 ? xy ? yz ? zx) 2. (1)可设 f = k ( x 2 + Axy + y 2 )( x 2 + Bxy + y 2 ) ,可求得 k = 1,A = B = ?1 (2)可设 f = kxyz ( x + y + z ) ,可求出 k = 12 (3)可设 f = k ( x ? y )( y ? z )( z ? x) ,可求出 k = 3 (4)可设 f = k ( x + y )( y + z )( z + x ) ,可求出 k = 1 (5) f = ( x ? y )( y ? z )( z ? x) ? A( x 2 + y 2 + z 2 ) + B ( xy + yz + zx ) ? ,可求出 A = B = 1 ? ? (6) 3( x + y )( y + z )( z + x ) (7) ( x ? y ? z )( y ? z ? x )( z ? x ? y ) (8) ( x + y + z )( xy + yz + zx )
8

(9) ( x + y ? z )( y + z ? x )( z + x ? y ) (10)当 a = b = c = d 时, f = 0 ,∴ f 有 abcd 的因式,可设

f = abcd ? A(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + B (ab + bc + cd + da + ac + bd ) ? , ? ?
可求得 A = 1,B = 2 ,∴ f = abcd ( a + b + c + d )
2

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