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三角函数知识点


高中数学

必修 4 知识点

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、 角 ? 的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象

限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在 x 轴上的角的集合为 终边在

y 轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 6、弧度制与角度制的换算公式: 7、若扇形的圆心角为 ? 弧长 . .

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则
扇形面积

扇形周长

8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点

? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y P T v O


r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

?

,则 sin ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号: 10、三角函数线: sin ?

? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

M A

x

11 角三角函数的基本关系: ; 12、函数的诱导公式

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限. (5) 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①y=sinx 的图象上所有点向左(右)平移 . (6) .

?

个单位长度,得到函数 1

的图象;再

将函数图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的

1

?

倍 (纵坐标不变) , 得到函数



图象;再将函数图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的

? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
②数

y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

的图象; 再将函数的图象上所有点向左 (右) 平移

? ?

个单位长度, 得到函数

的图象;

再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的

? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
14、函数

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0,? ? 0? 的性质:
;③频率: ;④相位: ;⑤初相:

①振幅: ? ;②周期:

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质

数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 最 值 周 期 性 奇 偶 性 单 调 性 对 称 性 .

2

第三章知识点
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ⑶ sin

?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;
?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?
(tan ??

⑸ tan

t a? n? t a? n?

t?a? n? ? ?? t?a? n? ? ??

; ?1 t? a n ?? t) a n

⑹ tan

?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

(tan ??

. ?1 t? a n ?? t) a n

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴

sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2
⑵ cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2?

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?


?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?



万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
(后两个不用判断符号, 更加好用) ?

26、 半角公式 :

α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα
27 、 合 一 变 形

?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
? . ?

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和 差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的 变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

?
2

的二倍;

?
2



?
4

的二倍;

② 15

o

? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ?

30o 2

;问: sin

?
12

?

; cos

?
12

?



3

③?

? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

⑤ 2?

? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通 常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有: 1 ? sin
2

? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 ; ;

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常 用降幂公式有:

1 ? cos?

常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1? t an ? 1 ? tan ? ? _ _ _ _ _ _ _ ______ _ _ ? __________ ____ ; ; 1? t an ? 1 ? tan ?
tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;

2 tan ? ?

; 1 ? tan

2

??




tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ?
a sin ? ? b cos ? ?
= ; 1 ? cos ? =

; ; (其中 tan ?

?

; )

1 ? cos ? ?

?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊 值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50
o

(1 ? 3 tan10o ) ?

; 。

tan ? ? cot ? ?

4


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