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2012绵阳二诊文科数学试题及答案


温馨提醒:成功不是凭梦想和希望,而是凭努力和实践

绵阳市高中 2012 级第二次诊断性考试
数学(文科)第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 直线x-y=O 的倾斜角为 (A) (B) (C) (D)

2.要从

60 人中抽取 6 人进行身体健康检查,现釆用分层抽样方法进行抽取,若这 60 人中老年人和中年人分别是 40 人,20 人,则老年人中被抽取到参加健康检查的人数是 (A) 2 人 (B) 3 人 (D) 5 人 (C) 4 人 3. 平面内动点P(x,y)与A(-1,0),B(1, 0)两点连线的斜率之积为1,则动点P的轨迹方程为 (A) (B) (C) (D) 4. 若条件 条件 则p是q成立的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 5. 设角a的终边经过点 ,那么 (A) (B) (C) (D) ,已知 (C) (D) ,则 =

6. 在平行四边形ABCD中, (A) (B)

7 已知函数

则函数f(x)的图象是

8. 在等比数列 (A) 2 (B) 4 9. 把函数 则函数 在区间

中,如果 (C) 10

, 是等差数列 (D) 20 的图象按向量

的前n项和,且 平移后得到函数

则 = 的图象,

上的最大值为 (D) -1 ( 为参数)和曲线 关于直线l1对称,直线l2过原点且与l1的夹角

(A) 1 (B) 0 (C) 10.已知曲线

,则直线l2的方程为 为30° (A) (B) (C) (D) 的左、右焦点,过F2且平行于y轴的直线交双曲线的渐近线于M

11.已知F1,F2分别是双曲线

N两点.若ΔMNF1为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是

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(A)

(B)

(C)

(D)

12.已知关于x的方程 的平面区域为D , 若函数 (A) a>2 (B) (C)

的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m、n为横纵坐标的点P(m,n)表示 的图象上存在区域D上的点,则实数a的取值范围为 (D)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13. 已知集合 ,则 14. 已知扇形AOB( 15. 已知 为圆心角)的面积为 =_______ ,半径为2,则 的面积为_______ ,则 ,都有 的、最小值为_______. ,则称 和 在D 上是“

为抛物线

上的动点,点N的坐标为 和, ,若对任意的 的四组函数如下:

16.对于具有相同定义域D的函数 密切函数”.给出定义域均为 ① ② ③ ④

其中,函数 印 在D上为“密切函数”的是_______. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟 17.(本题满分12分)已知向量 且最小正周斯为 , (1) 求函数, 的最犬值,并写出相应的x的取值集合; (2)在 中角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 ,求b的值.

,函数



18(本题满分12分)已知函数 ,且 的反函数为 (1)求a的值; (2)若 , 是数列 的前n项和,若不等式

对任意

恒成立,求实数 的最大值.

19.(本题满分12分)已知圆的半径为1,圆心C在直线 长为 (1) 求圆C的标准方程; (2)设动点P在直线

上,其坐标为整数,圆C截直线

所得的弦

上,过点P作圆的两条切线PA,PB切点分别为A,B,求四边形PACB面积的最小值.

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20. (本题满分12分)已知数列 的前n项和 (1) 求数列 的通项公式; (2) 设 ,求数列 的前n项和

,数列

满足b1=1,

21. (本题满分12分)已知函数 ,a,b为常数, (1) 若曲线 % 在点(2, 0)处有相同的切线,求a,b的值; (2) 当 且 时,函数 在 上有最小值,求实数a的取值范围.

22. (本题满分14分>已知椭圆
vF2

(a>b>0)的左、右焦点分别为Fl . 的垂心?若存在,

,离心率

,A为右顶点,K为右准线与x轴的交点,且

(1) 求椭圆的标准方程 (2)设椭圆的上顶点为B,问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C,D两点,且椭圆的左焦点F1恰为 求出l的方程;若不存在,请说明理由.

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绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. BCDAD ACCAB BC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.{x|-1≤x<0} 14. 3 15.2 16.①④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sin 17.解: (Ⅰ)∵m= (cos ?x, ?x) ,n= (cos ?x, 3 cos ? ? sin ?x) , 2
∴∣m∣= cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 1 , m· cos n=
2

?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? sin 2 ?x

? cos 2?x ? 3 sin 2?x
1 3 ? 2( cos 2?x ? sin 2?x) 2 2

? 2 sin(2?x ? ) , 6
∴ f ( x) ? 2 sin(2?x ? ) ? 1 .……………………………………………………4 分 6 2? 由T ? ? ? ,解得 ω=1. 2? ∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∴此时 2 x ?

?

?

?

?
6

?

?
2

6

) ? 1.

? 2k? (k∈Z),即 x ?

?
6

? k? (k∈Z),

? k? ,k∈Z}时,f (x)有最大值 3.…………………………7 分 6 (Ⅱ)∵ f (B)=2, ? ? 1 ∴ 由(1)知 2 sin(2B ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(2B ? ) ? . 6 2 6 ? 5? ? 于是 2B ? ? ,解得 B ? . ……………………………………………10 分 6 6 3 1 3 1 ? 6 3 ,解得 a=8, 由 S?ABC ? ac sin B ? 6 3 ,即 a ? 3 ? 2 2 2 1 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB ? 64 ? 9 ? 2 ? 8 ? 3 ? =49, 2 ∴ b=7. ………………………………………………………………………12 分
即当 x∈{x| x ? 18.解: (Ⅰ)令 y ? 3x ? 1 ? ?1 ,则 x ? log3 ( y ? 1) , ∴ f ?1 ( x) ? log3 ( x ? 1),x ? ?1 . ∵ f ?1 (17) ? a ? 2 ,即 log3 18 ? a ? 2 , 解得 a ? log3 2 . ………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)∵ f ?1 (an ? 1) ? log3 n , ∴ log3 an ? log3 n ,即 an ? n .

?

n(n ? 1) , 2 要使 ?an ? 2n ? Sn ≤0 对任意 n ? N*恒成立,
则数列{an}的前 n 项和 Sn ? 即使 λ≤ 2n ?1 ? (n ? 1) 对任意 n ? N*恒成立.

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又数列 bn ? 2n ?1 ? (n ? 1) 为单调递增数列, ? bn 的最小值为 b1 ? 2 , ? λ≤2,即 λ 的最大值为 2. ………………………………………………12 分 19.解: (Ⅰ)设圆心 C 的坐标为(2a,3a),a∈Z,则由题意可知:

1 ?3 解得 a=1. ∴所求圆 C 的标准方程为:(x-2)2+(y-3)2=1. ……………………………4 分 (Ⅱ)因 CA⊥PA,CB⊥PB,|PA|=|PB|,|AC|=1,
2 2

(

| 2a ? 9a ? 9 |

)2 ? (

15 2 ) ? 1, 5

故 S 四边形 PACB=2S△PAC=|AC|· |PA|=|PA|= | PC |2 ?1 . 显然当 PC⊥l0 时,|PC|取得最小值, ∴ |PC|min=
| 2?3? 2| 2 ? 3 2 . 2

此时 | PA |min ?

9 14 ?1 ? . 2 2
14 . ……………………………………12 分 2

即四边形 PACB 面积的最小值为 20.解: (Ⅰ)由 Sn ? n2 ? 4n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ;

? 数列{bn+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, 即 ? bn ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n, bn ? 2n ?1 . …………………………………………6 分
(Ⅱ)由(1)得 cn ? n ? 2n .

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n2 ? 4n ? (n ? 1)2 ? 4(n ? 1) ? 2n ? 3 . ? 当 n ? N*时,an=2n+3. ……………………………………………………3 分 b ?1 ? 2, 又 bn ?1 ? 2bn ? 1,b1 ? 1 ,即 bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1) ,可得 n ?1 bn ? 1

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 2Tn ?
得 ? Tn ?

1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ,

由 Tn ? 2Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 , 1? 2 ∴ Tn ? (n ?1) ? 2n ?1 ? 2 . ……………………………………………………12 分 21.解: (Ⅰ)由 g ?( x) ? ?4 x ? 4 , ∴ 切线的斜率 k ? ?4 ? 2 ? 4 ? ?4 . 又 f ?( x) ? 3x2 ? 4ax ? b ,
所以切线斜率 k ? 3 ? 22 ? 4a ? 2 ? b ? 12 ? 8a ? b . 由题意知 ? 4 ? 12 ? 8a ? b , 即 8a ? b ? 16 . ① 0 又点 (2, ) 在 f (x) 的图象上,即 0 ? 4 ? 4a ? b . ② 由①②解得 a ? 3,b ? 8 .……………………………………………………5 分 (Ⅱ)由题意知 h( x) ? x3 ? 2ax2 ? (4a ? 3) x ? 2x2 ? 4x ? x3 ? (2a ? 2) x2 ? (4a ? 1) x , 由 h?( x) ? 3x2 ? 2(2a ? 2) x ? 4a ? 1 ? [3x ? (4a ? 1)]( x ? 1) ,

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4a ? 1 1 ? x2 ? 1(a ? ) . 3 2 4a ? 1 当 h?( x) ? 0 时, x ? 或 x ? 1, 3 4a ? 1 当 h?( x) ? 0 时, ? x ? 1, 3 ∴ h(x) 在 x ? 1 处取得极小值为 h(1) ? 2a .……………………………………8 分
得 h?( x) ? 0 的根为 x1 ? 由 h( x) ? 2a ,即 x3 ? (2a ? 2) x2 ? (4a ? 1) x ? 2a , 可得 x3 ? 2ax2 ? 2 x 2 ? 4ax ? x ? 2a ? 0 , 即 x3 ? 2x2 ? x ? 2a( x ? 1)2 ? x( x ? 1)2 ? 2a( x ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ( x ? 2a) ? 0 , ∴ x=1 或 x ? 2a 使得 h( x) ? 2a . ……………………………………………10 分 要使 h(x) 在 (a ?1, ? a2 ) 上有最小值, 3

? 2a ? a ? 1, ? 2a ? 3 ? a 2, ? 则 2a ? a ? 1 ? 1 ? 3 ? a 2 ,即 ? 2 ?a ? 1 ? 3 ? a , ? 1 ? 3 ? a 2, ? 解得 ? 2 ? a ≤-1.……………………………………………………………12 分 22.解: (Ⅰ)设焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0),
由e ?
2 ,得 a ? 2c . 2



a2 a2 ,0),∴ AF2 =(c-a,0), AK =( -a,0), c c a2 由 AF2 ? AK ? 4 ? 3 2 得 (c ? a ) ? ( ? a ) ? 4 ? 3 2 ② c 由①、②解得 a ? 2 ,c=1,从而 b2=a2-c2=1,即 b=1.
由题知 A(a,0),K(
x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………………………5 分 2 (Ⅱ)假设存在直线 l 满足题意,B(0,1),F1(-1,0), 于是直线 F1B 的斜率为 k F1 B ? 1 .

∴ 椭圆方程为

由于 BF1⊥CD,令 l:y=-x+m,代入 x2+2y2=2 整理,得 3x2-4mx+2m2-2=0. ? ?? ? 8(3 ? m 2 ) ? 0, ? 4m ? , 令 C(x1,y1),D(x2,y2),则 ? x1 ? x2 ? 3 ? ? 2m 2 ? 2 . ? x1 x2 ? 3 ? 又 F1C ? BD =(x1+1,y1)· 2,y2-1) (x =x1x2+x2+y1y2-y1 =x1x2+x2+(m-x1)(m-x2)-(m-x1) =2x1x2+m2-m(x1+x2)-m+(x1+x2) =2x1x2 +(1-m)(x1+x2) +m2-m, 2m 2 ? 2 4m ? (1 ? m) ? ? m2 ? m ? 0 , 由 F1C ? BD ? 0 ,代入 x1+x2,x1x2 得 2 ? 3 3 整理得 3m2+m-4=0,

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4 . ……………………………………………………………11 分 3 当 m=1 时,直线 l 恰过 B 点,于是 B、C、D 不构成三角形,故 m=1 舍去. 4 当 m ? ? 的,满足 Δ=8(3-m2)>0. 3 4 故所求的直线 l 为: y ? ? x ? ,即 3x+3y+4=0.…………………………14 分 3
解得 m=1 或 ?

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