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2016届苏州市高三数学过关题3函数3(教师版)


2016 届苏州市高三数学过关题 3
江苏省常熟中学 一、填空题 【考点一】导数的运算及意义 李安

函数(3)

1.已知函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 3x2 ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(5) ? 【答案】6. [解析]∵ f ?( x) ? 6 x ? 2 f ?(2) ∴ f

?(2) ? 12 ? 2 f ?(2) ∴ f ?(2) ? ?12 ∴ f ?(5) ? 6 . 2. 已 知 函 数 f ( x)? a3x?

.

的 图 象 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 过 点 ( 2 , 7, ) 则 x ?1

a?
【答案】1.

.

[解析] f ?( x) ? 3ax2 ? 1 ,切线方程 y ? (3a ? 1) x ? 2a ? 1 ,点 (2, 7) 代入得 a ? 1 . 这类题需看清“在”字和“过”字,谨记从切点入手解答.

3.已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线, 则实数 a 的取值范围是_______________. 【答案】 a ?

1 . 3

[解析] y? ? 3x2 ? 3a ,由题意知 y? ? ?1 无解, ∴a ?

1 . 3

4.[2015 苏州]若曲线 f ( x) ? a cos x 与曲线 g ( x) ? x2 ? bx ? 1 在交点 (0, m) 处有公切线, 则a?b ? 【答案】1. .

[解析]∵ (0, m) 既是公共点也是切点,又 f ?( x) ? ?a sin x , g ?( x) ? 2 x ? b . ∴a ?1 b ? 0. 【考点二】利用导数研究函数的单调性 5.函数 f ( x) ?

ex 的单调递减区间是___________________. x

【答案】 (??, 0) 和 (0,1) .

[解析]∵ f ?( x) ?

x ?1 x e ? 0. x2

∴ (??, 0) 和 (0,1) . 【变式】函数 f ( x) ?

1 的减区间是____ ____. x ln x

1 【答案】 ( ,1)和(1, ??) e
6. 函数 y ? 是 【答案】 [?1, 2] . [解析] y? ? x2 ? 2bx ? (b ? 2) ≥ 0 恒成立,△ ? 4b2 ? 4(b ? 2) ≤ 0 , ∴ b ? [?1, 2] . 【变式】函数 y ?

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 ,若 f ( x) 在 R 是增函数,则实数 b 的取值范围 3
.

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 ,若 f ( x) 在 [0, 2] 上是增函数,则实数 b 的取 3
.

值范围是 【答案】 b ≥ ?1 .

1 7.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? 2 x 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围为 2
【答案】 a ? 1 . [解析]∵ f ? ? x ? ?
1 ax 2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2= , x x



∴ f ? x ? 存在单调递减区间即 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? (0, ??) 有解. ∴a ? (

2x ?1 ) max . x2

∴ a ?1. 【备注】请注意 5—7 三道题是利用导数研究函数的单调性的三种常见题型,学生必须熟 练掌握,学会等价转化. 【考点三】利用导数研究函数的极值和最值
/ 8.函数 f ( x ) 在 x ? x0 处导数存在, q:x ? x0 是 f ( x ) 的极值点, 若 p: f ( x0 ) ? 0 ; 则 (A)

条件.(填充分必要,充分不必要,必要不充分,既不充分也不必要) 【答案】必要不充分. [解析]极值点上除满足导函数值为零外,需注意极值点左右导函数值异号.

p 是q 的

9. 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是



1 【答案】 (0, ) . 2
[ 解 析 ] 函 数 的 定 义 域 为 {x x ? 0} , 导 数 为

f '( x) ? 1 ? 2ax ? ln x , 要 使 函 数 有 两 个 极 值 点 , 则
. f '( x )? 1? 2 ax ? lnx ? 有两个根 0 由 f '( x) ? 1 ? 2ax ? ln x ? 0 得 ln x ? 2ax ? 1 , 令 y ? ln x, y ? 2ax ? 1 ,当直线 y ? 2ax ? 1 与 y ? ln x 相切是的斜率为 k ,

1 1 1 ,由 y ' ? ? 2a ,得切点横坐标 x ? . x x 2a 1 1 1 1 ? 1 ,即 a ? . ? 2a ? ? 1 ? 0 ,解得 此时 ln 2a 2 2a 2a 所以此时切线斜率为 k ? 2a ? 1 . 1 所以 0 ? 2a ? 1 ,即 0 ? a ? . 2 m 10.已知函数 f ( x) ? ln x ? ( m ? R )在区间[1,e]上取得最小值 4,则 m ? ___________. x 【答案】 ?3e .
则满足条件 0 ? 2a ? k . y ' ? [解析]由题意可知 f (1) ≥4 且 f (e) ≥4, ∴ m ≤ ?3e . ∴ f ?( x) ?

1 m x?m + ? 2 ? 0 在[1,e]上恒成立. x x2 x

∴ f ( x ) 在[1,e]上单调递减. ∴ f ( x) min ? f (e) ? 1 ?

m ?4. e

∴ m ? ?3e . 【备注】解答关于含参的题时,不应忙于对参数进行分类讨论,可以根据题意缩小参数的 取值范围,避免一些不必要的讨论. 【考点四】利用导数解决不等式问题 11. 设 函 数 f ?( x ) 是 奇 函 数 f ( x)( x ? R) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时 ,

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是
【答案】 (??, ?1) ? (0,1) .

.

f ( x) , x xf ?( x) ? f ( x) ∴ g ?( x ) ? . x2
[解析]令 g ( x ) ? 由题意可知当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. ∵ f ( x ) 是 R 上的奇函数, ∴ g ( x) 是 R 上的偶函数. ∴ g ( x) 在 (??, 0) 上单调递增. ∵ f (?1) ? 0 , ∴ g (?1) ? 0 , g (1) ? 0 . ∴ f ( x) ? 0 时, x ? (??, ?1) ? (0,1) . 12.[2014 南通三模]定义在 R 上的函数 f ( x ) ,满足 f (0) ? 1 , f ?( x) ? f ( x) ? 1 ,则不等 式 f ( x) ? 1 ? 2e x 的解集为 【答案】 (0, ??) . .

f ( x) ? 1 , ex f ?( x) ? f ( x) ? 1 ∴ g ?( x) ? . ex
[解析]令 g ( x ) ? 由 f ?( x) ? f ( x) ? 1 可知 g ?( x) ? 0 恒成立. ∴ g ( x) 在 R 上为减函数.

∵ g (0) ?

f (0) ? 1 ? 2, e0

∴不等式 f ( x) ? 1 ? 2e x 化为 g ( x) ? g (0) . ∴不等式解集为 (0, ??) . 13. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?3, ??) ,且 f (6) ? 2. f ?( x ) 为 y -3

f ( x) 的 导 函 数 , f ?( x ) 的 图 象 如 图 所 示 . 若 正 数 a , b 满 足
b?3 ,则 的取值范围是 f ( 2a? b)? 2 a?2 3 【答案】 (??, ? ) ? (3, ??) . 2
.

o

x

[解析]由导函数图象可知 f ( x ) 在 (?3, 0) 上递减,在 (0, ??) 上递增, 不等式 f (2a ? b) ? 2 可化为 f (2a ? b) ? f (6) . ∵ a , b 为正数,

?a ? 0, ? ∴ ?b ? 0, ?2a ? 3b ? 6. ?
画出满足 a , b 约束条件的可行域.

b?3 表示连结点 (2, ?3) 和可行域内点 ( x, y ) 的直线的斜率, a?2 3 结合图形可得其范围为 (??, ? ) ? (3, ??) . 2
【考点五】导数在函数中的综合应用 14.[2015 镇江一模]已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:

? ( x? ) ① f ( x) ? a x ? g ( x)(a ? 0 且 a ? 1) ; ② g ( x )? 0; ③ f ( x) g

? f ( x) g (. x)若

f (1) f (?1) 5 ? ? ,则实数 a ? g (1) g (?1) 2

.

【答案】

1 . 2

[解析]∵ f ( x) ? a x ? g ( x) , g ( x) ? 0 , ∴a ?
x

f ( x) , g ( x)



? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0, ? g ( x) ? ? g 2 ( x) ? ?
f ( x) 是减函数,即 a x 是减函数, g ( x)



∴ 0 ? a ? 1. ∵

f (1) f (?1) 5 ? ? , g (1) g (?1) 2
?1

∴a?a ∴a ?

?

5 . 2

1 ( a ? 2 舍). 2

15.[2012 重庆改编]设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函 数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图象如图所示,则 f ( x ) 在 x ? 【答案】2. [解析]由图可知当 x ? ?2 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ?2 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 . 又 f ?(2) ? 0 , ∴ x ? 2 时取极小值. 时取极小值.

16.[2014 辽宁]当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax3 ? x2 ? 4 x ? 3 ≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范 围是 .

【答案】 [?6, ?2] . [解析]提示采用参变分离的方法,需注意对变量 x 的正负零的讨论. x ? 0 时式子恒成立. 当 x ? 0 时, a ≥ 令t ?

1 4 3 ? ? 恒成立. x x 2 x3

1 , t ≥1 . x
2 3

∴ a ≥ t ? 4t ? 3t 恒成立. 可求得 (t ? 4t 2 ? 3t 3 )max ? ?6 , ∴ a ≥ ?6 .

1 4 3 ? ? 恒成立. x x 2 x3 1 1 令t ? ,t ≤ ? , 2 x
当 x ? 0 时, a ≤ ∴ a ≤ t ? 4t ? 3t 恒成立.
2 3

可求得 (t ? 4t 2 ? 3t 3 )min ? ?2 , ∴ a ≤ ?2 .综上, a ?[?6, ?2] . 17. 已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值
3 2

范围为 【答案】 (??, ?2) .

.

[解析]由题意可知 a ? 0 . ∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x , ∴ f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 . a 2 a 2 a

① a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, 0) 和 ( , ??) 上递增,在 (0, ) 上递减,且 f (0) ? 1 , ∴ f ( x ) 有小于 0 的零点,不合题意;

②当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ) 和 (0, ??) 上递减,在 ( , 0) 上递增,且 f (0) ? 1 ,

2 a

2 a

2 f ( x) 有大于 0 的零点,要使这个零点唯一则 f ( ) ? 0 , a
∴a ? 4. ,
2

∴ a ? ?2 . 18. 已 知 函 数 f ( x) ? 为 . 【答案】3. [解析] f ?( x) ? ax 2 ? bx ? c ≥0 在 R 上恒成立 ? ?

a 3 b 2 a?b?c 的最小值 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上 单 调 递 增 , 则 3 2 b?a

? a ? 0, , ?? ≤ 0.

∴ b ? 4ac ≤0 ? c ≥
2

b2 , 4a

a?b?c ≥ b?a


a?b?

b2 b b2 1? ? 2 4a ? a 4a . b b?a ?1 a

b ?1 ? t ? 0 , a a?b?c ≥3, b?a

再利用基本不等式可得 ∴(

a?b?c )min ? 3 . b?a

19.设函数f(x)= 3 sin 取值范围是

πx 2 2 2 .若存在 f ( x ) 的极值点 x0 满足 x0 ? ? f ( x0 ) ? ? m ,则m的 m
.

【答案】 (??, ?2) ? (2, ??) . [解析] f ?( x) ? 3

π πx cos . m m

由题意知,存在 f ( x ) 的极值点 x0 ,则有 f ?( x0 ) ? 3 ∴ x0 ?

?
m

cos

? x0
m

? 0,

m ? km, k ? Z . 2
2

2 2 又 x0 满足 x0 ? ? f ( x0 ) ? ? m ,

∴ m (k ? ) ? 3 ? m , k ? Z .
2 2 2

1 2

∵m ? 0 , ∴存在 k ? Z 使 (k ? ) ?
2

1 2

m2 ? 3 m2 ? 3 1 1 ? {(k ? )2 }min ? , ,即 2 2 m m 2 4

∴m ? 4.
2

∴ m ? ?2 ,或 m ? 2 . 20.已知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? x ? x 图象上的两个不同点, 且在 A ,
3

B 两点处的切线互相平行,则
【答案】 (?1, 0) .

x2 的取值范围为 x1

.

2 ? ?3 x ? 1, x ≥ 0, ? [解析]∵ f ( x) ? ? 2 ? ?3 x ? 1, x ? 0,

∴要使函数 f ( x ) 在 A,B 两点处的切线互相平行即使 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ,

3x12 3x2 2 ? ? 1且 x2 ? 0 ? x1 . ∴ x2 ? 0 ? x1 且 3x2 ? 1 ? 3x ?1 ,即 2 2
2 2 1



x2 表示连结原点 (0, 0) 和双曲线第四象限内点 ( x1 , x2 ) 的直线的斜率, x1 x2 ? (?1, 0) . x1



二、解答题 21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 在[1,2]上的最小值. [解析](1) f ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? . x x

a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,
∴ f ( x ) 增区间 (0, ??) ,无减区间.

1 1 a ? 0 时, x ? (0, ) 时 f ?( x) ? 0 ; x ? ( , ??) 时 f ?( x) ? 0 . a a 1 1 ∴ f ( x ) 增区间 (0, ) ,减区间 ( , ??) . a a (2)∵ a ? 0
∴由(1)可知 f ( x)min ? min ? f (1), f (2)? . ∴ f ( x)min ? ?

0 ? a ? ln 2, ? f (1) ? ?a, ? f (2) ? ?2a ? ln 2, a ≥ ln 2.
a ,( a ? 0 ). x

22.已知函数 f ( x) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ? (1)求函数 g ( x) 的极值; (2)已知 x1 ? 0 ,函数 h( x) ? [解析](1) g ?( x) ?

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x) 的单调性. x ? x1

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x ∴ x ? (0, a) 时, g ?( x) ? 0 ; x ? (a, ??) 时, g ?( x) ? 0 ; ∴ g ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增; ∴ g ( x) 极小值 ? g (a) ? ln a ? 1. x ? x1 ? ln x1 ? ln x (2) h( x) ? , x ? x1 x1 1 (1 ? )( x ? x1 ) ? ( x ? x1 ? ln x1 ? ln x) ? 1 ? ln x1 ? ln x x x h?( x) ? ? ( x ? x1 ) 2 ( x ? x1 ) 2

? x1 ? 0 ,
∴由(1)可知 ln x ?

x1 在 ( x1 , ??) 上单调递增 x x x ∴ ln x ? 1 ? ln x1 ? 1 即 1 ? 1 ? ln x1 ? ln x ? 0 x x ∴ h?( x) ? 0 在 ( x1 , ??) 上恒成立
∴ h( x) 在 ( x1 , ??) 上单调递增.

23. 某 农 户 准 备 建 一 个 水 平 放 置 的 直 四 棱 柱 形 储 水 窖 ( 如 图 ) ,其中直四棱柱的高

AA1 ? 10m , 两 底 面 ABCD, A1B1C1D1 是 高 为 2 m , 面 积 为 10m 2 的 等 腰 梯 形 , 且

?? ? ?ADC ? ? ? 0 ? ? ? ? 。若储水窖顶盖每平方米的造价为 100 元,侧面每平方米的造价 2? ?
为 400 元,底部每平方米的造价为 500 元.(1)试将储水窖的造价 y 表示为 ? 的函数; (2) 该农户如何设计储水窖, 才能使得储水窖的造价最低, 最低造价是多少元 (取 3 ? 1.73 ) .

[解析] (1)过 A 作 AE ? DC ,垂足为 E ,则 AE ? 2 , DE ? 令 AB ? x ,从而 CD ? x ?

2 2 , AD ? . tan ? sin ?

4 , tan ?



1 4 ? ? ? 2?? x ? x ? ? ? 10 , 2 tan ? ? ?
2 2 , CD ? 5 ? , tan ? tan ?

解得 x ? 5 ?

∴ y ? ? 20 ? 2 AD ?10? ? 400 ? ?10 AB ? ? 500 ? ?10CD? ?100

? 8000 ? 8000 ?

2 2 ? 2 ? ? ? ? 5000 ? ? 5 ? ? ? 1000 ? 5 ? ? sin ? tan ? ? tan ? ? ? ?

1 ?? π? ? 2 ? 38000 ? 8000 ? ? ?? 0 ? ? ? ? . 2? ? sin ? tan ? ??
(2) y ? 38000 ? 8000 ?

2 ? cos ? , sin ?

sin 2 ? ? ? 2 ? cos ? ? cos ? 8000 ?1 ? 2cos ? ? y? ? 8000 ? sin 2 ? sin 2 ?

令 y? ? 0 ,则 ? ? 当 ? ? ? 0,

π . 3

? ?

π? ? 时, y? ? 0 ,此时函数 y 单调递减; 3?

当? ??

?π π? , ? 时, y? ? 0 ,此时函数 y 单调递增. ?3 2?

π 时, ymin ? 38000 ? 8000 3 ? 51840 . 3 ? 答:当 ?ADC ? 60 时,等价最低,最低造价为 51840 元. ? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0, 24. 已知函数 f ( x) ? ? 其中 a 是实数 . 设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为 ln x , x ? 0, ? 该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 . (1)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (3)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.
所以当 ? ? [解析](1)增区间 (?1, 0) 和 (0, ??) ;减区间 (??, ?1) . (2) x ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? 2 ∵ x1 ? x2 ? 0 , ∴ k1k2 ? (2x1 ? 2)(2x2 ? 2) ? ?1 ∴ x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ∴ x2 ? x1 ? ∵ x1 x2 ? 0 ∴当 x1 x2 ?

5 ?0 4
2

? x1 ? x2 ?

3 25 ? 4 x1 x2 ? ( x1 x2 )2 ? x1 x2 ? 2 16

3 时, ( x2 ? x1 )min ? 1 . 4

(3)∵ x ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? 2 ;

x ? 0 时, f ?( x) ?

1 x

∵若 x1 ? x2 ? 0 ,或 0 ? x1 ? x2 ,则 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ∴ x1 ? 0 ? x2 ∴A处的切线方程: y ? (2x1 ? 2) x ? x12 ? a , B处的切线方程: y ? ∵两切线重合,

1 x ? ln x2 ? 1 . x2

1 ? ?2 x1 ? 2 ? x ? 2, ∴? 2 ?? x 2 ? a ? ln x ? 1. ? 1 2
∴ a ? x1 ? ln x2 ? 1 ?
2

1 1 ? ? ln x2 2 4 x2 x2

1 ( x2 ? ) . 2

1 1 2 x2 2 ? 2 x2 ? 1 ? 令 g ? x2 ? ? . ? ? ln x2 , g ? x2 ? ? 4 x2 2 x2 2 x23
∵ 2 x2 ? 2 x2 ? 1 ?
2

1 1 ? 0 在 ( , ??) 上恒成立, 2 2

∴ g ? ? x2 ? ? 0 在 ( , ??) 上恒成立. ∴ g ? x2 ? 在 ( , ??) 上单调递增. ∴ g ? x2 ? ? (?1 ? ln 2, ??) , 即 a ? (?1 ? ln 2, ??) . 25.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 和 g ( x) ? ln x 的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线 相同.(1)若点 P 的坐标为 ( , ?1) ,求 a, b 的值; (2)已知 a ? b ,求切点 P 的坐标.

1 2

1 2

1 e

1 ? 1 ?a b f ( ) ? g ( ), ? 2 ? ? ?1. ? ? e ?e e e [解析](1)由题意可知 ? 即? ? f ?(e) ? g ?( 1 ), ? 2a ? b ? e, ? ? e ?e ?
∴ a ? 2e , b ? 3e
2

(2)∵ a ? b , ∴ f ( x) ? ax2 ? ax, ∴ f ?( x) ? 2ax ? a, 设切点 P( x0 , y0 ) .

g ( x) ? ln x
g ?( x) ? 1 . x

? ax0 2 ? ax0 ? ln x0 , ? ∴? 1 ? 2ax0 ? a ? x . 0 ?

1 ? ?a ? x (2 x ? 1) , ? 0 0 ∴? x ?ln x ? 0 ? 1 . 0 ? 2 x0 ? 1 ? ∵a ? 0, 1 ∴ x0 ? . 2
令 h( x0 ) ? ln x0 ?

x0 ? 1 , 2 x0 ? 1

∴ h?( x0 ) ?

(4 x0 ? 1)( x0 ? 1) 1 1 . ? ? 2 x0 (2 x0 ? 1) x0 (2 x0 ? 1)2

∴ x0 ? ( ,1) 时, h?( x0 ) ? 0 ; x ? (1, ??) 时, h?( x0 ) ? 0 ; ∴ h( x0 ) 在 ( ,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增; ∴ h( x0 )min ? h(1) ? 0 ,即(*)方程只有一解 x0 ? 1 . ∴ P(1, 0) .
x 26.[2014 福建 ] 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A ,曲线

1 2

1 2

y ? f ( x) 在点 A 处的切线斜率为 ?1 .
(1)求 a 的值及函数 f ( x ) 的极值;

2 x (2)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;

(3)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
2 x

[解析](1)由 f(x)=ex-ax,得 f ′(x)=ex-a. 又 f ′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f ′(x)=ex-2. 令 f ′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x. 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. (3)★[此小题选做]方法一:证明:①若 c≥1,则 ex≤cex.又由(2)知,当 x>0 时,x2<ex. 故当 x>0 时,x2<cex. 取 x0=0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 1 ②若 0<c<1,令 k= >1,要使不等式 x2<cex 成立,只要 ex>kx2 成立. c 而要使 ex>kx2 成立,则只要 x>ln(kx2),只要 x>2ln x+ln k 成立. 2 x-2 令 h(x)=x-2ln x-ln k,则 h′(x)=1- = . x x 所以当 x>2 时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增. 取 x0=16k>16,所以 h(x)在(x0,+∞)内单调递增. 又 h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k, 易知 k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以 h(x0)>0. 16 即存在 x0= ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. c 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 4 方法二:对任意给定的正数 c,取 x0= , c x x x 2 x 2 由(2)知,当 x>0 时,ex>x2,所以 ex=e ·e > ( ) ? ( ) , 2 2 2 2

x 2 x 2 4 x 2 1 当 x>x0 时,ex> ( ) ? ( ) > ( ) = x2, c 2 2 c 2
因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

1 方法三:首先证明当 x∈(0,+∞)时,恒有 x3<ex. 3 1 证明如下:令 h(x)= x3-ex,则 h′(x)=x2-ex. 3 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex, 从而 h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减, 1 所以 h(x)<h(0)=-1<0,即 x3<ex. 3 3 1 1 取 x0= ,当 x>x0 时,有 x2< x3<ex. c c 3 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

三、课本改编题 1.2015 届版【选修 2-2 ,2014 年 6 月版 P20 第 5 题 】直线 y ? 像的切线吗?(1) f ( x) ?

1 x ? b 能作为下列函数图 2

1 ; (2) f ( x) ? x 4 ; (3) f ( x) ? sin x ; (4) f ( x) ? e x . x

改编:若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (i)直线 l 在点 P( x0 , y0 ) 处与曲线 C 相切;(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧.则称 直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l :y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3; ②直线 l :x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2; ③直线 l :y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l :y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l :y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 【答案】①③④ 2.2016届新编【选修2-2 ,2014年6月版 P 34 第4题 第三小题】求函数 f ( x ) ? 区间 ? ?

1 x ? cos x 在 2

? π π? , 上的最大值和最小值. ? 2 2? ?

sin x π ? a 在 x ? (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值. x 2 2 【答案】 π sin x π ? a 等价于在 x ? (0, ) 上恒成立 sin x ? ax ? 0 . [解析]∵ x ? 0 ,∴ x 2 π 令 f ( x) ? sin x ? ax ,显然当 a ≤0时 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ) 上恒成立. 2
改编:若 ∵ f ?( x) ? cos x ? a , ∴当 a ≥1时, f ?( x) ? 0 在 x ? (0, ) 上恒成立, ∴ f ( x ) 在 x ? (0, ) 上单调递减, ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 不符合题意. 当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 有唯一解 x0 ? (0, ) ,

π 2

π 2

π 2

∵ x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ;

π x ? ( x0 , ) 时, f ?( x) ? 0 , 2
∴ f ( x ) 在 x ? (0, x0 ) 上递增,在 x ? ( x0 ,

?
2

) 上递减.

? f (0) ≥ 0 π 2 2 ? ∴要使 f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ) 上恒成立即使 ? π ,∴ 0 ? a ≤ . 综上 a ≤ 即 2 π π f ( )≥0 ? ? 2
amax ? 2 . π


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